線性代數(shù)（慕課版）第6講線性方程組的應(yīng)用(2)第4章

線性方程組01向量組與線性方程組02利用線性方程組解的理論求解線性方程組03矩陣方程與線性方程組本講內(nèi)容03矩陣方程與線性方程組31.AB=0與齊次線性方程組??定理4.6設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，若AB=0，則B的列向量均為齊次線性方程組AX=0的解向量.證記，則則這說(shuō)明B的列向量均為齊次線性方程組AX=0的解向量.03矩陣方程與線性方程組4特別的，若|A|=0，由得，??定理4.6設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，若AB=0，則B的列向量均為齊次線性方程組AX=0的解向量.A*的列向量都是Ax=0的解；A的列向量都是A*x=0的解.??推論1設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，若AB=0，且B≠0，則齊次線性方程組AX=0有非零解.03矩陣方程與線性方程組5也即.設(shè)A、B都是n階方陣，且AB=0，證明證將矩陣B按列分塊則，即B的每一個(gè)列向量皆為方程組AX=0的解向量.又因r(A)=r，則基礎(chǔ)解系中含向量個(gè)數(shù)為n-r.于是向量組的秩≤n-r，即r(B)≤n-r，??例1103矩陣方程與線性方程組6??例2設(shè)為三階非零矩陣，且AB=0，則對(duì)于3×3矩陣A，要使AX=0有非零解，其等價(jià)條件是|A|=0.解由AB=0且B≠0，說(shuō)明齊次線性方程組AX=0有非零解.所以必有t+3=0，即t=-3.03矩陣方程與線性方程組7??例3設(shè)A2=E，E為單位矩陣，則下列結(jié)論正確的是(A)A-E可逆(B)A+E可逆(C)A≠E時(shí)，A+E可逆(D)A≠E時(shí)，A+E不可逆解應(yīng)用排除法(A)、(B)、(C)不正確.事實(shí)上，當(dāng)A

=E時(shí)，則A2=E，而A-E不可逆；當(dāng)A=-E時(shí)，A2=E，但A+E亦不可逆.因而只有(D)正確，也可直接判定(D)是正確的選項(xiàng).03矩陣方程與線性方程組8故A≠E時(shí)方程有非零解.

由于A2=E，所以因此，即A+E不可逆.03矩陣方程與線性方程組92.解矩陣方程求解矩陣方程時(shí)，一定要記住：先化簡(jiǎn)，再求解.??注03矩陣方程與線性方程組10由，用初等變換法求.解??例4已知，其中，求矩陣A.得，可逆.從而，03矩陣方程與線性方程組1103矩陣方程與線性方程組1203矩陣方程與線性方程組13由，用初等變換法求解得，2??例5已知，其中，求矩陣X.03矩陣方程與線性方程組143可逆.03矩陣方程與線性方程組15由，用初等行變換法求解得，4??例6已知，其中，求矩陣X.03矩陣方程與線性方程組16503矩陣方程與線性方程組17603矩陣方程與線性方程組18解得，且解7??例7已知，其中，為A的伴隨矩陣，E為四階單位矩陣，求矩陣X.03矩陣方程與線性方程組19803矩陣方程與線性方程組20903矩陣方程與線性方程組21解設(shè)??例8其中βT是β的轉(zhuǎn)置，求解方程由題