線性代數(shù)（慕課版）第2講特征值與特征向量（2）第5章矩陣的特征值與特征向量01特征值與特征向量的性質(zhì)本講內(nèi)容??性質(zhì)5.1設(shè)矩陣的特征值為則??定義5.2設(shè)矩陣，稱為矩陣A的跡.301

有關(guān)特征值的性質(zhì)??例1已知三階矩陣有特征值

1=

2=3,

3=12，則x=______.解，則解得x=4.401

有關(guān)特征值的性質(zhì)??性質(zhì)5.2矩陣A與AT有相同的特征值證??性質(zhì)5.3設(shè)A是n階可逆矩陣，

為特征值，則(1)

≠0;(2)

是A-1的特征值.證(1)假設(shè)

=0，則

對(duì)應(yīng)得特征向量記為α，由定義知而矩陣A可逆，故上式兩端同時(shí)左乘以A-1得這與特征向量α≠0矛盾，故

≠0.501

有關(guān)特征值的性質(zhì)(2)由條件知由非零向量α滿足Aα=

α，兩邊左乘以A-1得因

≠0，于是有為A-1的特征值.所以??性質(zhì)5.4若

是A的特征值，則f(

)為f(A)的特征值.

代數(shù)多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式601

有關(guān)特征值的性質(zhì)已知三階矩陣A的特征值-1,1,2,求??例2解設(shè)f(x)=x3-5x2，則f(A)=A3-5A2，由性質(zhì)5.4知f(A)的全部特征值為f(-1)=-6，f(1)=-4，f(2)=-12故701

有關(guān)特征值的性質(zhì)??例3已知三階矩陣A的特征值1,-1,2,則矩陣B=2A+E(E為三階單位陣)的特征值為______.解若

為矩陣A的特征值，即又所以2

+1是B=2A+E的特征值于是A的特征值為1,-1,2,則B的特征值為3,-1和5n階單位矩陣E的特征值為任意n維非零列向量均為n階單位矩陣E的特征向量f(

)為f(A)的特征值.??結(jié)論801

有關(guān)特征值的性質(zhì)??例4設(shè)

為n階方陣A的特征值，證明

2為A2的特征值.證??拓展設(shè)

為n階方陣A的特征值，證明

m為Am的特征值.901

有關(guān)特征值的性質(zhì)??總結(jié)抽象矩陣求特征值的公式設(shè)

為A的特征值，則(1)k

為kA的特征值；(2)

m為Am的特征值；(3)f(

)為f(A)的特征值；(4)A可逆，則

-1為A-1的特征值；(5)A可逆，則為A*的特征值；1001

有關(guān)特征值的性質(zhì)??定理5.1n階矩陣A的相異特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；??推論n階矩陣A的相異特征值是特征值

i所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征變量，則個(gè)特征向量線性無關(guān).1101

有關(guān)特征值的性質(zhì)??注1k重特征值最多有k個(gè)線性無關(guān)的特征變量.??注2屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍為特征向量.??注3屬于不同特征值的特征向量的線性組合不是特征向量.1201

有關(guān)特征值的性質(zhì)??例5設(shè)

1,

2為n階方陣A的特征值，且

1≠

2，而x1,x2分別為對(duì)應(yīng)的特征向量.試證明:x1+x2不是A的特征向量.解反證法設(shè)x1+x2是A的屬于特征值

的特征向量，即把代入上式得由

1≠

2知x1、x2線性無關(guān)這與

1≠

2矛盾故x1+x2不是A的特征向量.1301

有關(guān)特征值的性質(zhì)??例6設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則x和y應(yīng)滿足的條件為____.解得特征值

1=1(二重),

2=-1.欲使

1=1有二個(gè)線性無關(guān)的特征向量.1401

有關(guān)特征值的性質(zhì)于是得x+y=0矩陣1501

有關(guān)特征值的性質(zhì)設(shè)A為二階矩陣，α1,α2為線性無關(guān)的二維列向量，??例7則A的非零特征值為__.解解法一知2α1+α2是A的關(guān)于特征值1的特征向量，1是A的非零特征值.解法二由1601

有關(guān)特征值的性質(zhì)滿足Aα1=0，Aα1=2α1+α2，記P=(α1,α2),由α1,α2線性無關(guān)知P可逆，從而所以A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值，此結(jié)論是相似矩陣的結(jié)論，后而則

1,2=0,1，所以A的非零特征值為1.1701

有關(guān)特征值的性質(zhì)解法三設(shè)

為A的特征值，由可得若

只能取0，即A為零矩陣，所以Aα2=0，即2α1+α2=0，與α1,α2線性無關(guān)矛盾.由于α2為非零向量，所以A2-A有零特征值，即

2-

=0，從而

=0或

=1.1801

有關(guān)特征值的性質(zhì)∴

=1，即A的非零特征值為1.??例8設(shè)x0,y0分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.設(shè)xt,yt分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，有關(guān)系式如下：試預(yù)測(cè)該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系.1901

有關(guān)特征值的性質(zhì)解令由上式知由于A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為

1=4,

2=1.當(dāng)

1=4時(shí)，解方程(A-4E)X=0.得特征向量2001

有關(guān)特征值的性質(zhì)當(dāng)

2=1時(shí)，解方程(A-E)X=0.得特征向量顯然p1,p2線性無關(guān)分三種情況分析：(1)取由特征值與特征向量的性質(zhì)知2101

有關(guān)特征值的性質(zhì)即或這表明：下，惡化趨勢(shì).環(huán)境污染也保持著同步t年后水平達(dá)到較高程度時(shí)，在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的前提(2)取因?yàn)閥0=-2<0，所以不討論此情況.(3)取因?yàn)棣?不是特征向量，所以不能類似分析但是α0可以由p1,p2唯一線性表示α0=3p1-2p2.2201

有關(guān)特征值的性質(zhì)因?yàn)榧从纱丝深A(yù)測(cè)該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.因p2無實(shí)際意義而在(2)中未作討論，但在(3)的討論中起到了重要的作用.2301

有關(guān)特征值的性質(zhì)??例92401

有關(guān)特征值的性質(zhì)1解??例102501

有關(guān)