專題10軸對(duì)稱綜合題一線段、面積、角度問題（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：1（）0分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：中等

試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，常考，壓軸類問

題建行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)

化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（本題2分）（

2024秋?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線。是一條輸氣管道，M,N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃

向M,N兩村莊供應(yīng)天然氣.在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（）

2.（本題2分）（2018?天津河北八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系工3,中，直線/是一三象限的

角平分線，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,1）,點(diǎn)M是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是“軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+MN的最小值為（）

3C.4D.5

3.（本題2分）（

2024秋?重慶南川?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇?個(gè)格子涂陰影，使得整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱

軸的軸對(duì)稱圖形，則把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字（）的格了吶.

A.1B.2C.3D.4

4.（本題2分）（

2025春?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù).、，=心”的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（2,0）,

8（。,4）,點(diǎn)C,Q分別是OA,A8的中點(diǎn)，。是。8上一動(dòng)點(diǎn)，則PO+PC的最小值是（）

A.石B.4C.2拒D.272+2

5.（本題2分）（

2025春.福建漳州?八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）如圖，在“5C中，AB=AC,BC=6,SAflC=18,

。是BC中點(diǎn)，夕?垂直平分人B,交AA于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，在E尸上確定一點(diǎn)使24+PD最小，

則這個(gè)最小值為（）

C.9D.12

6.（本題2分）（

2024秋?新疆烏魯木齊?八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知NAOB的大小為。，。是

NAOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP=5,點(diǎn)E、”分別是。4、上的動(dòng)點(diǎn)，若八P所周長的最小值等于5,

則。=（）

A

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.（本題2分）（

2024秋?全國?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4-2,2），以2,6）,點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB

的值最小時(shí)，三角形B鉆的面枳為（）

A.1B.6C.8D.12

8.（本題2分）（

2024秋?河北邢臺(tái)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)需要在某條街道/上修建一個(gè)核酸檢測點(diǎn)兒向居住在A,B小

區(qū)的居民提供核酸檢測服務(wù)，要使P到A,3的距離之和最短，則核酸檢測點(diǎn)P符合題意的是（）

BB

A/A/

z?

?/?z

1、/IZ

A.：\/B.：/'

fLIf

:/p1p1

:/

r

BB

A/4\

/1

■、、z'、；

C.\:D.、、、、;

4

c

M

ON

D

12.（本題2分）（

2024秋?寧夏石嘴山?八年級(jí)?？计谀┰?工8c中，AB=AC,BC=5,S5c=15,ADJ.BC于點(diǎn)、D，EF

垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F,在E尸上確定一點(diǎn)P，使PB+PD最小,則這個(gè)最小值為.

13.（本題2分）（

2024秋?江蘇連云港?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中RA8C,ZC=90°,/8=60。，點(diǎn)。在8C上，BD=4,

點(diǎn)。、E分別是AC、48上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。尸+砂的值最小時(shí)，BE=5,則4B的長為

14.（本題2分）（

2024秋?湖北黃石,八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知ZAO8=30。，OC平分NAO8,在。4上有一點(diǎn)M,

OM=I0V3cm,現(xiàn)要在OCCM上分別找點(diǎn)Q,N,使QM+QN最小，則其最小值為cm

C

B

15.（本題2分）（

2024秋?湖南岳陽?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線/垂直平分二A8C的人8邊，在直線/上任取一動(dòng)點(diǎn)O,連結(jié)

OA.OB、OC.若04=5,則。8=.若AC=9,BC=6,則二8OC的最小周長是.

2025春?河南開封?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在周長為16的菱形A8C。中，點(diǎn)E、尸分別在邊A氏AO上,

AE=\,AF=3tP為8。上一動(dòng)點(diǎn)，則線段EP+FP長度的最小宣為.

17.（本題2分）（

2025春?湖南婁底?八年級(jí)婁底一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在,工中，ZC=90°,ZA=30。，BC=1,直線

〃，垂直平分AC,點(diǎn)P為直線機(jī)上的動(dòng)點(diǎn)，則P3+PC的最小值是.

A

18.（本題2分）（

2024秋?河北滄州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)。，點(diǎn)E分另J是等邊三角形ABC中8C,A8邊的中點(diǎn),

ED=5,點(diǎn)尸是AO由動(dòng)點(diǎn)，則M+防的最小值.

BD

19.（本題2分）（

2024秋?湖北十堰?八年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊.43。中，。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為

A&A。上的點(diǎn)，8P=AQ=4,。。=3,在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E,則正+。"的最小值為.

20.（本題2分）（

2024秋?山西晉城.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在小8c中，AB=AC=\3,BC=10,A。為中線，點(diǎn)七在中線

AO上運(yùn)動(dòng)，但不與點(diǎn)A,。重合，點(diǎn)F在AB上運(yùn)動(dòng)，但不與點(diǎn)A,/?重合，連接8七和E凡則AE+印的

最小值是.

三、解答題：本大題共8小題，21?22題每小題6分，23.28題每小題8分，共60分.

21.（本題6分）（

?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示.

（I）作出ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形；

⑵在X軸上確定一點(diǎn)使得叫+尸C最??；

（3）求出A8C的面積.

22.（本題6分）（

2025春?廣東河源?八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖已知平面直角坐標(biāo)系中/\（-l,3）,B（2,0）,C（-3,-l）

⑴在圖中作出ABC關(guān)于V軸的對(duì)稱圖形△A8￡,并寫出點(diǎn)兒,BitG的坐標(biāo).

（2）在丁軸上找一點(diǎn)/）,使尸A+尸C最短，并求出尸點(diǎn)的坐標(biāo).

23.（本題8分）（

2024秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地4吃草，然后趕羊到小河〃飲水，之

后再回到3處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為他設(shè)計(jì)一條最短的路線，標(biāo)明吃草與飲水的位置.

小河

24.（本題8分）（

2024秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形A8CO為正方形，M,N分別是AB,BC邊的中點(diǎn)，請?jiān)趯?duì)角線AC

上找一點(diǎn)P，使PM+/W的值最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）.

2024秋?山西陽泉?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知718c的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,4),13(-4,0),C(-2,2).

(I)作”8C關(guān)于)，軸的軸對(duì)稱圖形得△AeG，畫出圖形，并直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)」

⑵已知點(diǎn)夕是工軸上一點(diǎn)，則B+PC的最小值是

26.(本題8分)(

2025春?四川南充?八年級(jí)南部縣第二中學(xué)校考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。ABC的對(duì)角線OB在

x軸上，已知點(diǎn)44,2),點(diǎn)。在Q4上，坐標(biāo)為(2,〃?)，在。8上求作一點(diǎn)P,使得PD+PA最小

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求HJ+E4最小值.

27.(本題8分)(

2025春?湖北襄陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X/中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線A氏y=匕-1

與直線4c：V=-2x+b交于點(diǎn)4,兩直線與X軸分別交于點(diǎn)和C（2,0）.

V7

（1）求直線AK和直線AC的解析式；

（2）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)尸A+QC最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

28.（本題8分）（

2025春.廣西南寧.八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線/為x+y=8.點(diǎn)P（Y，N）在/上，且x>0.），>0,點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（4,0）.

⑴設(shè)△辦?的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出工的取值范圍；

（2）當(dāng)S=10時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在直線/上有一點(diǎn)"，使OM+M4的和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

專題10軸對(duì)稱綜合題一線段、面積、角度問題（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：中等

試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？?，壓軸類問

題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)

化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（本題2分）（

2024秋?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線。是一條輸氣管道，M,N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃

在直線。上修建一個(gè)供氣站O,向M,N兩村莊供應(yīng)天然氣.在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（）

【答案】C

【分析】利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.

【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線〃的對(duì)稱點(diǎn)連接MN交直線a于。

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)C修建的管道，則所需管道最短.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題.這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.由于所給的條件

的不同，解決方法和策略上又有所差別.

2.（本題2分）（2018?天津河北?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜為中，直線/是一三象限的

角平分線，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3/），點(diǎn)M是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則尸M+MN的最小值為（）

D.5

【答案】B

【分析】作N點(diǎn)關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)M,根據(jù)對(duì)稱性可得MN=MM,故欲使PM+MN'最小要保證尸、M、N

三點(diǎn)共線，則故軸時(shí)取得最小值，故此時(shí)/W'=3即為所求.

???/是一三象限的角分線，

???大軸與）'軸關(guān)于/對(duì)稱，

作N點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)N',

則N'必在軸上，鳧MN=MN',

欲使尸M+MN最小，

只需+最小，

欲使PM+MN'最小至少要保證「、M、N'三點(diǎn)共線，

此時(shí)最小值為PAC恰為。點(diǎn)到），軸的連接，

點(diǎn)到直線的連線中垂線段最短，

故PM_Ly軸時(shí)取得最小值，

此時(shí)產(chǎn)M=3,

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作N點(diǎn)關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)N',再根據(jù)對(duì)稱性求解.

3.（本題2分）（

2024秋?重慶南川?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個(gè)格子涂陰影，使得整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱

軸的軸對(duì)稱圖形，則把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字（）的格子內(nèi).

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】從陰影部分圖形的各頂點(diǎn)向虛線作垂線并延長相同的距離找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接各點(diǎn)可得答案.

【詳解】如圖所示，

把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字3的格子內(nèi)所組成的圖形是軸對(duì)稱圖形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是作簡單平面圖形軸對(duì)稱后的圖形，其依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，基本作法：①先確定圖

形的關(guān)鍵點(diǎn)；②利用軸對(duì)稱性質(zhì)徑出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；③按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn).

4.（本題2分）（

2025春?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)，=履"，的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（2,0）,

8（0,4）,點(diǎn)C,。分別是。4,的中點(diǎn)，P是08上一動(dòng)點(diǎn)，則尸。+尸。的最小值是（）

C.2&D.2a+2

【答案】C

【分析】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C',連接PC'，連接CD，交），軸于點(diǎn)匕，由對(duì)稱知，PC=PC,

由兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PC=PD+PCiiCD取最小值；由中位線定理，

CD//OB,8=2,■△C'C￡>中，CC=2,C&=>/cD2+CC2=2x/2.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接PC',連接CQ，交y軸「點(diǎn)匕.由對(duì)稱知，PC=PC,

APD+PC=PD+PCi7CD,當(dāng)C',P,。三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PC=PD+PC^CD,取最小值,

VC,。分別是OA,A8的中點(diǎn)

:.CD〃OB、CD=lofi=l?42

22

7DCO?CVP90?

RtACCD中，CC0=2OC=2

/.C=ylcD2+CC2=找+2?=2&,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)作出輔助線，將求線段和最小

值轉(zhuǎn)化為求線段長是解題的關(guān)鍵.

5.（本題2分）（

2025春?福建漳州?八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）如圖，在..A8C中，AB=AC,8c=6,SxfiC=18,

。是中點(diǎn)，垂直平分48,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，在石尸上確定一點(diǎn)?，使最小，

則這個(gè)最小值為（）

【答案】B

［分析］連接8R根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)即“J求解.

【詳解】解:如圖所示：連接研

A

AB=AC,BC=6,8c=18,。是BC中點(diǎn)，

/.ADjBC于點(diǎn)D,

：.AD=6,

EF垂直平分AB,

???點(diǎn)P到A,8兩點(diǎn)的距離相等，

.?.人。的長度=心+產(chǎn)。的最小值，

即PB+PD的最小值為6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，線段的垂直平分線為性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，知道AD的長

度=P8+PD的最小值是解題的關(guān)鍵.

6.（本題2分）（

2024秋?新疆烏魯木齊?八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知/AOB的大小為/）是

N4O8內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP=5,點(diǎn)E、尸分別是04、上的動(dòng)點(diǎn)，若,.尸石尸周長的最小值等于5,

則a=（）

A.3（尸B.45uC.60uD.9（）。

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)為￡>,當(dāng)點(diǎn)E、尸在CO上時(shí)，一莊戶的周長為

PE+EF+FP=CD,此時(shí)周長最小，根據(jù)8=5可得出C8是等邊三角形，進(jìn)而可求出?？谏锥葦?shù).

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)。，連接CQ,交04于E,0B于F.

此時(shí)，一尸所的周長城小.

連接OC,OD,PE，PF.

點(diǎn)2與點(diǎn)。關(guān)于OA對(duì)稱，

」.Q4垂直平分PC,

:.ZCOA=^AOP,PE=CE,OC=OP,

同理，可得NDOB=NBOP,PF=DF,OD=OP.

:./COA+NDOB=NAOP+/BOP=NAOB=a,OC=OD=OP=5,

:.ZC0D=2a.

乂?.一PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,

..OC=OD=CD=5,

.「COD是等邊三角形，

「.2a=60。，

/.a=30°.

故選：A.

【點(diǎn)睛1本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點(diǎn)E和”的位置是解題的關(guān)鍵.要使4Pb的周長最小，

通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決.

7.（本題2分）（

2024秋?全國?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,2），4（2,6）,點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB

的值最小時(shí)，三角形R:的面積為（）

A.1B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A8交x軸于點(diǎn)連接AP,此時(shí)尸A+月?的值最小，進(jìn)

而根據(jù)SPAB=S—StAA-p,即可求解.

【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接交x軸于點(diǎn)P,連接的，此時(shí)A4+PA的值最小,

B

x

Af

由圖可知，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（-1,0）,

VA（-2,2）,8（2,6）,4（一2,-2）,玳一1,0）,

:?SPAB=SAA.R-SM，p=；x4x4一;x4xl=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考杳了軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（本題2分）（

2024秋?河北邢臺(tái)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)需要在某條街道/上修建一個(gè)核酸檢測點(diǎn)兒向居住在A,B小

區(qū)的居民提供核酸檢測服務(wù)，要使P到A,8的距離之和最短，則核酸檢測點(diǎn)P符合題意的是（）

B

AA

【答案】A

【分析】作人點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)B交/于點(diǎn)P,進(jìn)而根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：作A點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)4交/于點(diǎn)P,0即為所求；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱中的最短路線問題，關(guān)鍵是作4點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn).

9.（本題2分）（

2024秋.河南信陽.八仔級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，248=90。，AC—6,BC—8,48=10,

AO是力川C的平分線.若P,Q分別是A。和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

A.8B.6C.2.4D.4.8

【答案】D

【分析】由題意可以把。反射到的。點(diǎn)，如此尸C+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段4B卜某?點(diǎn)。

的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解.

【詳解】解：如圖，作。關(guān)于心的對(duì)稱點(diǎn)。，連接尸O,過點(diǎn)C作。/_L/出于點(diǎn)M,則PQ=PO,所以

O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CO=PJPO=PC+PQ,此時(shí)尸C+PQ有可能取得最小值，

???當(dāng)8垂直于AK即8移到CM位置時(shí)，CO的長度最小,

??.PC+PQ的最小值即為CM的尺度，

V5vVw/TD,cL=-2AfixGW=-2ACxCB,

6xX

ACM=-^=4.8,即PC+PQ的最小值為4.8,故D正確.

故選：D.

［點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一

點(diǎn)到線段某點(diǎn)連線段最短問題是解題關(guān)鍵.

10.（本題2分）（

2024秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線機(jī)表示一條河，點(diǎn)M、N表示兩個(gè)村莊，計(jì)劃在加上

的某處修建一個(gè)水泵向兩個(gè)村莊供水.在下面四種鋪設(shè)管道的方案中，所需管道最短的方案是（圖中實(shí)線

表示鋪設(shè)的管道）（）

N

【答案】D

【分析】利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.

【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線，"的對(duì)稱點(diǎn)M',連接NM'交直線〃?于Q,

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)D修建的管道最短,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問題，這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.由于所給的條件的

不同，解決方法和策略上又有所差別.

二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.

11.（本題2分）（

?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)P關(guān)于。4、。8的對(duì)稱軸分別為C、D,連接C。，交。4于時(shí)，交。8于

N.408=46°,求乙MPN=.

【答案】88。/88度

【分析】首先求出NC+/O=46。證明+NPMN=NC+/CPM=2NC,,

推出/必W+N7WM=92。，可得結(jié)論.

【詳解】解：TP關(guān)于04、。8的對(duì)稱軸分別為C、D,

:.PM=CM,PN=DN,NC=NCPM,4D=NDPN,

???ZAOB=46°,

???/。。。=180。-46。=134。，

???4+/￡>=46。，

.??/PNM=ND+NDPN?=2ND,NPMN=NC+/CPM=2/C,

???/PMN+/PNM=2x46°=92°,

/.乙MPN=180°-(4PMN+4PNM)=180°-92°=88°.

故答案為：88°.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

12.（本題2分）（

2024秋?寧夏石嘴山?八年級(jí)?？计谀┰谥校珹B=AC,BC=5,5^BC=15,ADJ.BC于點(diǎn)D,EF

乖有平分AR,^.AR千點(diǎn)E,交力C干點(diǎn)F,在EF上確定一點(diǎn)P，使PR+0力最小，則塊個(gè)最小侑為.

【答案】6

【分析】連接8P,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示：連接研

AB=AC,BC=5,S△48c=15,ADJ.BC于點(diǎn)D，

AD=6，

M垂直平分A3.

???點(diǎn)。到A,8兩點(diǎn)的距離相等，

AD的長度=PB+PD的最小值，

即尸8+?D的最小值為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，知道A。的長

度=PB+PD的最小值是解題的關(guān)鍵.

13.（本題2分）（

2024秋?江蘇連云港?八年級(jí)統(tǒng)考期木）如圖，在中NC=9Qc,點(diǎn)。在小。上，BD=4,

點(diǎn)P、E分別是AC、4B上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。P+￡P(guān)的值最小時(shí)，BE=5,則AB的長為.

【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)0、。、￡（E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)）三點(diǎn)共線且?！阓LA9于點(diǎn)￡時(shí),

DP+￡P(guān)=OP+PE=DE的值最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】如圖所示，以AC為對(duì)稱軸作VA8C,E的對(duì)稱點(diǎn)為E'：

:.DP+EP=DP+PE,

當(dāng)D、P、￡三點(diǎn)共線且￡>￡J_4T時(shí)，DP+EP=DP+PE=DE的值最小,

VDEVAB',N8=N3'=60。，BE=B'E=5,

&D=2FE'=10,

/.BB=BD+BD=14,

???ZB=ZB,=60°,

???△ABT?是等邊三角形，

A8=*4=14,

故答案為14.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路徑問題，等邊三角形和直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱最短

路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形中，30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.

14.（本題2分）（

2024秋.湖北黃石.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知4403=30。，OC平分NA08,在OA上有一點(diǎn)M,

OM=10V3cm,現(xiàn)要在OCOA」;分別找點(diǎn)Q,N,使QM+QN最小，則其最小值為cm.

【答案】s6

【分析】作M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)P,過點(diǎn)。作/W_LOAJ：M交OCrQ,則此時(shí)QM+QN的值最小，可

求。P=OM=106cm，PQ=MQ,N尸NO=90。，再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】作M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)P,過點(diǎn)、P作PN工OA于N,交OC于Q,則此時(shí)QM+QN的值最小，

VZAOB=30°,OC平分NAOA,在。4上有一點(diǎn)用.

：.OA、OB美「OC對(duì)稱，

???點(diǎn)〃在。8上，

??.。尸=OM=10辰m,PQ=MQ,NPNO=90°,

?.?p/v=-OP=-xlOx/3=5x/3cm,

22

???QM+QN=PQ+QN=PN=5&m,

故答案為：5G.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱一最短路線問題，垂線段最短的應(yīng)用，能夠確定

Q.N的位置是解題的關(guān)鍵.

15.（本題2分）（

2024秋?湖南岳陽?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線/垂直平分二A8C的4B邊，在直線/上任取一動(dòng)點(diǎn)。，連結(jié)

OB、OC.若。4=5,則。8=.若AC=9,BC=6,則48OC的最小周長是.

【答案】515

【分析】根據(jù)宜線/是人〃邊的垂直平分線，則AO=8O,O8+OC=AC最小，此時(shí)二8OC的周長有最小值

為BC+AC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】當(dāng)直線/與AC的交點(diǎn)為。時(shí)（即點(diǎn)。移到4c上時(shí)），如圖，

,直線/是A8邊的垂直平分線，

：.AO=BO,

:.CO+BO=CO+AO=AC,止匕時(shí)03+OC=AC最小，

.jBOC的周長=8。+OC+8C=A8+AC,

此時(shí)..40C的周長有最小值為AC+AC,

AC=9,BC=6,

'.BOO周長的最小值為15

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（本題2分）（

2025春?河南開封?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在周長為16的菱形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊A&AD上,

AE=\,AF=3fP為BDk一動(dòng)點(diǎn)則線段EP+FP長度的最小直為.

【答案】4

（分析］在。C上截取DG=卜D,連接EG,則EG與BD的交點(diǎn)為P,EG的長就是EP+FP的最小值，據(jù)

此即可求解.

【詳解】解：???菱形48。的周長為16,

AB=BC=CD=DA=4^

在0C上截取OG=H>,連接EG,則石G與的交點(diǎn)為P.

.?.PF=PG,

EP+FP=PG+PE=EG,即￡G的長就是叮+尸尸的最小值,

A

C

..DG=FD=AD-AF=4-3=\,

,:AE=1,

：.GD=AE,

???四邊形AEGO是平行四邊形

..EG=AD=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，理解菱形的性質(zhì)，對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸是關(guān)鍵.

17.（本題2分）（

2025春?湖南婁底?八年級(jí)婁底一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在，工BC中，ZC=90°,乙4=30。，BC=\,直線

，〃垂直平分AC,點(diǎn)戶為直線機(jī)上的動(dòng)點(diǎn)，則P8+PC的最小值是.

A

【答案】2

【分析】根據(jù)直線，”垂直平分AC,得到點(diǎn)A與C關(guān)于直線m對(duì)稱，設(shè)直線〃?與A8的交點(diǎn)為。，當(dāng)點(diǎn)P

與D重合時(shí)，P8+PC的值最小，且最小值是AB的長度，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】解：???直線〃?垂直平分AC,

，點(diǎn)A與。關(guān)于直線，〃對(duì)稱，

設(shè)直線m與AB的交點(diǎn)、為D,

當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí)，P3+PC的值最小，此時(shí)小=PC則叫+PC最小值是/W的長度，

???在A&C中，ZC=90°,ZA=30°,BC=\,

AB=2BC=2,

???PB+尸C的最小值是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，含30度角的直角三角形以及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是找到點(diǎn)P所在的位置.

18.（本題2分）（

2024秋.河北滄州.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)。，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC,43邊的中點(diǎn)，

￡0=5,點(diǎn)尸是AO由動(dòng)點(diǎn)，則8/+E"的最小值__________.

【答案】5石

【分析】根據(jù)已知條件得出等邊三角形的邊長為10,連接CE，CF,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出

BF+EF=CF+EF之EC,當(dāng)“在線段EC上時(shí)，取得最小值，最小值為EC的長，勾股定理即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)點(diǎn)E分別是等邊三角形A8C中8C,A8邊的中點(diǎn)，￡0=5,

.?.AD1BC,BD=CD=BE,

又,430=60。

???.80是等邊三角形，

ED=BE=EA=-AB,

2

???AB=2ED=10^E=BD=-BC=5,

2

如圖，連接8,CF,則/"'+Er=B+MNEC,當(dāng)r在線段EC上時(shí)，取得最小值，最小值為EC的長,

*/E為A3的中點(diǎn)，

：.CE±AB

??CE=dBC?-BE?=7102-52=5>/3

即M+斯的最小值為5>/J.

故答案為：5-75.

【點(diǎn)睛】本題考查/軸對(duì)稱-最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30度角的宜角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

19.（本題2分）（

2024秋?湖北十堰.八年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊..A8C中，。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為

AHA。上的點(diǎn)，AP=AQ=4,。。=3,在8。上有一動(dòng)點(diǎn)E,則總+如'的最小值為.

【答案】10

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)。，連接PQ'交8OFE,連接QE,此時(shí)PE+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ'.

【詳解】如圖，???JSC是等邊三角形，

:,BA=BC,ZA=60°

???O為AC中點(diǎn)，

??.BD±ACt

作點(diǎn)。關(guān)于B。的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接PQ'交4。于E,連接QE,比時(shí)莊+旦2的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ',

A

AD=DC=AQ+QD=7,QD=DQ=3

CQ=CD-DQ'=4=BP,

，AP=AQ=\（）,

???乙4=60。，

:.△AP0是等邊三角形，

二PQ=PA=10,

??.P￡+Q七的最小值為10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決

最短問題，屬于中考?？碱}型.

20.（本題2分）（

2024秋?山西晉城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在乂中，AB=AC=\3,8c=10,4。為中線，點(diǎn)七在中線

AO上運(yùn)動(dòng)，但不與點(diǎn)A,。重合，點(diǎn)F在AB上運(yùn)動(dòng)，但不與點(diǎn)A,/?重合，連接8E和即.則AE+印的

最小值是.

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得4O/8C,得到點(diǎn)B、點(diǎn)C關(guān)于直線AO對(duì)稱，過C作CFSAB

交A。于凡則此時(shí)8E+EF=CE的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：AB=AC=13,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

；.ADLBC,

???點(diǎn)從點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱，

過C作±AI3交AD廣E,則此時(shí)E13+EF=EC+EF=CF的值最小，

5.=-ABCF=-BCAD,

ABMC22

「尸BCAD10x12120

/.Cr=------------=----------=------,

AB1313

120

.?.6E+M的最小值為

故答案為：詈120.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，垂線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利

用垂線段最短來解答本題.

三、解答題：本大題共8小題，21?22題每小題6分，23?28題每小題8分，共60分.

21.（本題6分）（

?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示.

（1）作出ABC關(guān)于丁軸對(duì)稱的圖形△A卅。1:

⑵在X軸上確定一點(diǎn)使得叫+尸C最??；

（3）求出A8C的面積.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

嗚

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)禰的性質(zhì)作圖即可；

（2）過x軸作點(diǎn)4的對(duì)稱點(diǎn)A,連接4C,與大軸交于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)尸即為所求；

（3）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可.

【詳解】⑴解:如圖，△AB6即為所求.

作法：I.41,2）,3（3』）。4,4）關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為/\（-1,2）2（-3］）＜（-4,4）,

2.順次連接A，B1，G，

故即為所求.

（2）解：如（1）中圖，點(diǎn)P即為所求.

作法：1.作點(diǎn)41,2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)4（12）,

2.連接4c交工軸于點(diǎn)P,

故點(diǎn)尸即為所求.

1117

（3）解：S”?=3x3——x2xl——x3xl——x2x3=-

7

?，.的面積為—.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱?最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

22.（本題6分）（

2025春?廣東河源?八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖已知平面直角坐標(biāo)系中A（-l,3）,B（2,0）,C（-3,-l）

⑴在圖中作出/8C關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A4G，并寫出點(diǎn)A，4，G的坐標(biāo).

⑵在〉軸上找一點(diǎn)P,使PA+PC最短，并求出?點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴圖見解析，4（1,3）,4（-20）,G（3,—l）

⑵P（0,2）

【分析】（1）找出..ABC三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于了軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再連接對(duì)稱點(diǎn)即可得到△A4G，根據(jù)坐標(biāo)系

寫出點(diǎn)A，濟(jì)，G的坐標(biāo)即可求解；

（2）連接八。，交y軸于〃，這時(shí)產(chǎn)A+PC最短，利用待定系數(shù)法先求出直線AC的解析式，再求出與y軸

的交點(diǎn)即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，作的三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)A，用，G連接A4、AG、及就

即得到△AMG,

“(1,3),B](-2,0),C,(3,-l)

（2）連接AC，交y軸于這時(shí)RA+PC最短,

，直線經(jīng)過4（1，3）和。（一3,-1）,

k+b=3

，，t

r3k+b=-\，

解得：，k=.1，

b=2

.??直線AC解析式為：y=x+2,

當(dāng)工=0時(shí)，y=2,

??.P(0,2)

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合最短問題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱圖形性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)，數(shù)

形結(jié)合進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

23.（本題8分）（

2024秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地4吃草，然后趕羊到小河〃飲水，之

后再回到8處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為他設(shè)計(jì)一條最短的路線，標(biāo)明吃草與飲水的位置.

小河

【答案】見解析

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于力的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)8關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接防，分別交4,4F點(diǎn)C，即可得

出答案.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于4的對(duì)稱點(diǎn)石，點(diǎn)5關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接石尸，分別交心4于點(diǎn)C，D.

小河

點(diǎn)C為吃草的位置，點(diǎn)。為飲水的位置，則AC-CO-O8是他走的最短路線.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

24.（本題8分）（

2024秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形A8CO為正方形，M,N分別是48,8c邊的中點(diǎn)，請?jiān)趯?duì)角線4c

上找一點(diǎn)使月W+PN的值最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）.

【答案】見解析

【分析】連接8。交AC于。，連接NP并延長交A。于兀由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí),

PM+尸N的值最小.

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求.

連接4。交AC于0,連接NP并廷長交AO于-

由正方形的對(duì)稱性可知M、7關(guān)于AC對(duì)稱，

/.PM=PT,

PM+PN=PT+PN,

???當(dāng)凡T、M三點(diǎn)共線時(shí)，PT+PN最小，即PM+/W最小，此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑問題，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

25.（本題8分）（

2024秋?山西陽泉?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知S8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6,4）,4（-4,0）,C（-2,2）.

（I）作WC關(guān)于），軸的軸對(duì)稱圖形得△AMG，畫出圖形，并直接寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)」

⑵已知點(diǎn)夕是工軸上一點(diǎn)，則%+PC的最小值是

【答案】（1）畫圖見解析，4（6,4）

(2)：0

【分析】（1）分別確定A,B,c關(guān)于），軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)A，4，G，再順次連接即可，再根據(jù)A的位置

可得其坐標(biāo)；

（2）如圖，作A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,交X軸于P,可得PA=PG,則PA+PC=PG+PC=CG,

此時(shí)最短，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：如圖,△下與G即為所求作的三角形;

???4（6,4）.

（2）如圖，作A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,交X軸于P,

:.PA=PG,

由勾股定理可得：CG^CK'KG。=后+外二10,

???P4+PC的最小值是10.

【點(diǎn)睛】本題考查的是畫軸對(duì)稱，坐標(biāo)與圖形，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，熟練的運(yùn)用軸對(duì)

稱的性質(zhì)進(jìn)行畫圖是解本題的關(guān)鍵.

26.（本題8分）（

2025春?四川南充?八年級(jí)南部縣第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。48C的對(duì)角線08在

x軸上，已知點(diǎn)A（4,2）,點(diǎn)。在上，坐標(biāo)為（2,〃?），在。8上求作一點(diǎn)尸，使得2力+PA最小

（2）求叨+Q4最小值.

【答案】⑴哈q

⑵而

【分析】（I）連接。C，交0B于點(diǎn)P,連接"，則Q4=PC,則點(diǎn)P即為所求，進(jìn)而求得。,c的坐標(biāo),

得出8的直線解析式，即可求解；

（2）勾股定理求得C。的長，即可求解.

???點(diǎn)44,2）

21

設(shè)直線04的解析式為，-U,則△=；=；，

???直線04的解析式為y=

當(dāng)x=2時(shí)，y=l,

???鞏2,1）；

???四邊形O"C是菱形,

???A,C關(guān)丁x軸對(duì)稱,

???C(4,-2)

設(shè)直線8的解析式為y=cx+dt

則|142cc+dJ=-12

_3

解得：\C>=~2

d=4

3

???直線c。的解析式為y=-尸+4,

Q

當(dāng)了=0時(shí)，x=-

???P件。｝

(2)解：由(1)可得0(2,1),C(4,-2),PD+PA=PC+PD=CD,

即PZ)+QA的最小值為CD=^(4-2)2+(-2-1)2==V13.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與幾何圖形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和

的最值問題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

27.(本題8分)(

2025春?湖北襄陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系.rOy中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線43:>=依-1

與直線A