2024.2025學(xué)年甘肅省臨夏州高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若z=—2+5i,則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且Q=2b,sin4=則sinB=()

11「32

A；n?：n

A.32kC4D.=5

3.已知4B,C為隨機(jī)事件，A與8互斥,B與C互為對(duì)立,且P(4)=0.2,P(C)=0.6,則P(AUB)=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.已知角6的終邊過(guò)點(diǎn)P(-V3,1),則sin(y+2。)的值為()

A.—yB.—C.,rD.——

5.已知五不=一16且問(wèn)=2,則向量方在向量了上的投影向量為()

A.2bB.-2bC.4bD.-4b

6.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓，其母線長(zhǎng)為44，被立行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面半

徑為C的小圓錐，則所得圓臺(tái)的體積為()

A.21KB.42TTC.63TlD.84n

7.在直角梯形力BCD中，已知4B〃CO/￡MB=90。,48=240=200=4,點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是C。

邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).則瓦5.加的取值范圍是()

8.設(shè)函數(shù)f(x)=cos2-y+sind；x—>0),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)3的取

值范圍為()

A.保朗B欄與。隹與D噌與

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.我市某中學(xué)高一三班有50人，其中男生、女生的人數(shù)及其團(tuán)員人數(shù)如表所示.

第1頁(yè)，共13頁(yè)

項(xiàng)目團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)

男生102030

女生51520

合計(jì)153550

記事件人為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到男生”，事件B為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到團(tuán)員”.下列說(shuō)法正

確的是()

A.事件A的對(duì)立事件為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到女生”

B.事件4與事件8互斥

C.P(4)=I，P(B)=

D.事件4與事件3相互獨(dú)立

10.對(duì)于平面向量瓦瓦下列說(shuō)法正確的是()

A.若不〃%.則工?5=0

B.若五"VO,則G與了的夾角為鈍角

C.a=(V^,sin0),b=(1,2A/~2COS0),則五與力可能垂直

D.若0+司?(萬(wàn)一萬(wàn))=萬(wàn)2-/，則同=|3

11.正八面體是一種正多面體，由8個(gè)正三角形面組成，對(duì)角面為正方形.如圖，正八面體448。。尸的棱長(zhǎng)

為5,M為棱/C上一點(diǎn)，且CM=1,則()

A.平面EDC〃平面FBA

B.該正八面體外接球的表面積為507T

C.二面角E-AD-尸的余弦值為一g

D.異面直線AE與8M所成角的余弦值為詈

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i,則|z|=.

第2頁(yè)，共13頁(yè)

13.甲、乙二人進(jìn)行一場(chǎng)游戲比賽，且比賽中不存在平局，先贏三局者獲勝，并可以獲得800元獎(jiǎng)金.已知

甲、乙二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同.已知當(dāng)甲連贏兩局，乙一局未贏時(shí)，因某種特殊情況需要

終止比賽.現(xiàn)將800元獎(jiǎng)金按兩人各自最終獲勝的可能性的比例進(jìn)行分配，則甲應(yīng)該分得元.

14.直三棱柱力8c-4/6的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=2,AAY=4,Z.BAC=120°,則此球的

表面積為，體枳為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知△力8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量而=(b-a,-c),n=(b+a,a+c),且而1n.

(1)求B；

(2)若h=2V3，求占ABC面積的最大值.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sin2x—4，^cos2》2\/_3.

(1)求函數(shù)/(乃的圖象的對(duì)稱軸方程；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)當(dāng)引時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P中，底面力BCD為平行四邊形，CD=^AD=4V7,△PC。為等邊三角形，平面

P4C1平面PCD,PA1CD.

(1)設(shè)G,H分別為PB,4c的中點(diǎn)，求證：G“〃平面PCD；

(2)求證：/Ml平面PCD；

(3)求更線力D與平面P4C所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

科技進(jìn)步能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的DeepSeek.小明、小華兩位同學(xué)報(bào)名參加某公司擬開

展的。eepSeek培訓(xùn)，培訓(xùn)前需要面試，面試時(shí)共有3道題目，答對(duì)2道題則通過(guò)面試(前2道題都答對(duì)或

都答錯(cuò)，第3道題均不需要回答).已知小明答對(duì)每道題目的概率均為玄小華答對(duì)每道題目的概率依次為

第3頁(yè)，共13頁(yè)

答案解析

1.【答案】C

【解析】【分析】先求得復(fù)數(shù)Z=-2+5i的共規(guī)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)z=-2+5i可得，=-2-5i,

復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-5),在第三象限.

故選：C.

2.【答案】A

【解析】【分析】利用正弦定理計(jì)算易得.

【詳解】由正弦定理魄二芻可得sinB=d=；x弓二).

s\nAsinna233

故選：A.

3.【答案】B

【解析】【分析】利用8與C互為對(duì)立求出P(8),再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案.

【詳解】由8與C互為對(duì)立,則P(B)=1-P(C)=1-0.6=0.4,

又4與8互斥，則P(AUB)=P(H)+P⑻=0.2+0.4=0.6.

故選：B.

4.【答案】A

【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義求出sin。，然后利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.

【詳解】角6的終邊過(guò)點(diǎn)尸(一/m,1),則丁=|。。|=/(一4豆)2+12=2,所以sinog,

從而sin符+2。)=-cos20=-(1-2sin20)=-1-2x6)j=-

故選:A.

5.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)槲?石二-16且同=2,

所以向量N在向量3上的投影向量為(背)后二贄石=一4反

故選：D.

6.【答案】A

【解析】【分析】作出圖形的軸截面，利用勾股定理及相似比求出圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式即可

得解.

第5頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r,

由睡意可得：圓錐底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的圓弧長(zhǎng)，即2iTr=4，F(xiàn),解得廠=24,

如圖，作出圖形的軸截面，其中E,B分別為圓臺(tái)的上下底面圓的圓心，

其中DE=yJl,AC=4y/l,AB=r=2<3,則C8=\!AC2-AB2=6,

由保=第=今可得CE=3,8E=3,

則所得圓臺(tái)的體積為V=|irx[(^)2+(2V3)2+V3x2V3]x3=21n.

故選：A.

7.【答案】D

【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(%2),xe[0,2],求出瓦5,喬的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)

運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

如圖，以點(diǎn)力為原點(diǎn)，分別以484。所在直線為％y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

依題意，有4(0,0),C(2,2),8(4,0),F(3,l),

設(shè)E(%2),則％W[0,2],

且方=(-x,-2),EF=(3-x,-l),

由鉆?EF=-x(3-x)4-2=x2-3%+2=(%-1)2-i,

因工€[0,2]，故而?前W

故選：D.

第6頁(yè)，共13頁(yè)

8.【答案】C

【解析】【分析】先利用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，結(jié)合給定區(qū)間求出￡=3x+2的范圍，借助

O

于y=sine的圖象，即可建立關(guān)于3的不等式，求解即得.

【詳解】由/(%)=cos2等+:sincox—g=i+c；s3x+苧sing%-g

=^ysinwx+|coso>x=sin(3X+]),

設(shè)C=3X+],由%￡(0,9),可彳0V0)X+[<孩3+[,U|Jt€

oLboZobZo

作出函數(shù)y=sint的圖象.

斗

y=sin/4

。，「X、4%/,函數(shù),"x)在區(qū)間(z0,以上恰有4個(gè)零點(diǎn)，

_兀_兀_1_兀

片G片2口+不

由圖，則4n<%+岸5IT,解得3€冷，弱.

乙。O0

故選：C.

9.【答案】AC

【解析】【分析】對(duì)于4根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷即可：對(duì)于B,根據(jù)互斥事件的定義判斷即可；對(duì)于C,

直接用占典概型概率的公式計(jì)算即可；對(duì)于D，直接使用獨(dú)立事件的定義驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于力，事件力的對(duì)立事件為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到的不是男生”，即“在班級(jí)里隨機(jī)選一

人，選到女生”，故力正確；

對(duì)于B,由于存在既是男生乂是團(tuán)員的人，故事件人與事件8可能同時(shí)發(fā)生，從而不是互斥事件，故〃錯(cuò)誤;

對(duì)干。，總?cè)藬?shù)為50,男生30人，團(tuán)員15人，則P(A)=愣=V，P(B)=^二焉故C正確；

DUDDUXU

對(duì)于。，總?cè)藬?shù)為50,既是男生又是團(tuán)員的人數(shù)為10,則P(/18)=養(yǎng)=右

結(jié)合選項(xiàng)C可知尸(48)*P(4)P(B),故事件4與事件B不相互獨(dú)立，故。錯(cuò)誤，

故選：AC.

10.【答案】CD

【解析】【分析】對(duì)于工，利用五萬(wàn)=0等價(jià)于五15判斷；對(duì)?于氏利用向量數(shù)量積的定義判斷：對(duì)于C,

利用向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷；對(duì)于D,由向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷.

【詳解】對(duì)干兒因五?石=0等價(jià)干五,丸由五〃石顯然得不至唳_L石，故力錯(cuò)誤：

第7頁(yè)，共13頁(yè)

對(duì)于B,由五/VO可得力與b的夾角為鈍角或平角，故8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由a?b=，^+2，5sin8cos6=0可得sin2J=-1,當(dāng)9=,時(shí)五?石=0成立，此時(shí)辦與b垂直，故

C正確；

對(duì)干。，由（4十5）.@一萬(wàn)）=五2-記=丁一五2,可得不=京，即得同=|司，故。正確.

故選：CD.

11.【答案】ABC

【解析】【分析】由線面平行結(jié)合面面平行判定定理判斷4再根據(jù)正八面體的性質(zhì)結(jié)合外接球表面積公式

計(jì)算判斷B,運(yùn)用二面角定義得到乙ENF即二面角的平面角，再結(jié)合余弦定理求解判斷C,根據(jù)線

線平行得出異面直線所成角為，8WF,利用余弦定理計(jì)算即可判斷D.

【詳解】對(duì)于4由正八面體的性質(zhì)，ED//BF,8Fu平面FB力，EDU平面F54所以〃平面F&4,

乂因DC//48,48u平面FB4,DCC平面故OC//平面FBA,

又EDnDC=D,ED,DCu平面EDC,故平面EDC〃平面尸8人故力正確；

0

/

對(duì)干B,連接￡凡AC,設(shè)EFn/lC=。，則AO即該正八面體的外接球的半徑，

因4。=號(hào)更=浮，則該正八面體的外接球的表面積為：411X（苧產(chǎn)=5071,故8正確；

對(duì)于C,取40中點(diǎn)N,連接EN,FN,易得EN工AD,FN上AD,則NEN尸即二面角E—40—尸的平面角,

因正八面體E4BCD"的棱長(zhǎng)為5,則EN=FN=竽,E"=5/2.

由氽弦定理，可得cos乙ENF=（竽）“（雪）：￥'⑵"=一最故C正確；

2X—X—

第8頁(yè)，共13頁(yè)

對(duì)干D,因“〃4E,故尸為異面直線4E與所成的角,

又因CM=1,FM=4,/.BFM=

22

由余弦定理，BM=J5+4-2X5X4XCOS^=/IT,

則cos乙BMF="：（；21臂52_辭，故D錯(cuò)誤.

ZX*rXV/1L1.

故選：ABC.

12.【答案】75

【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)z=2—i,代入模的計(jì)算公式得|z|二A.

【詳解】由（l+2i）z=4+3i=z=^=2-i,

JL?乙C

所以|z|=V22+#

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模的計(jì)算.，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】700

【解析】【分析】由題意，如果匕賽繼續(xù)，乙要連贏三局才能獲勝，根據(jù)二人在每局比賽中獲勝的可能性

相同，計(jì)算出他們最終獲勝的概率，即可得甲應(yīng)該分到的獎(jiǎng)金數(shù).

【詳解】由題意，如果比賽繼續(xù)，乙需要連贏三局才能獲勝，因甲、乙二人在每局比賽中獲勝的可能性均

相同，

則乙連贏三局獲勝的概率為Jx|x1=i,甲獲勝的概率為1-J5

ZZZooo

所以甲應(yīng)該分得獎(jiǎng)金的1乙應(yīng)該分得獎(jiǎng)金的即甲應(yīng)該分得《X800=700元.

oUo

故答案為：700.

14.【答案】32口；；

64匯

—11

【解析】【分析】先求底面三角形的外接圓半徑，再根據(jù)外接球球心在三棱柱的中截面上，求出外接球半

徑，進(jìn)而根據(jù)公式求球的表面積和體積.

【詳解】如圖:

第9頁(yè)，共13頁(yè)

因?yàn)?8=/C=2,Z.BAC=120°,所以BC=2x2sin60o=2dl.

設(shè)底面△ABC外接圓半徑為r,則爸奈=2r=r=2.

sinlZO

設(shè)底面△ABC的外接圓圓心為0],過(guò)。1作平面ABC的垂線，在三梭柱力BC-481cl的同側(cè)取點(diǎn)0,使得。1。=

竽=2,則。為三棱柱/18C-44。外接球的球心.

設(shè)三棱柱力BC-%/的外接球的半徑為R,則■=r2+。1。2=22+22=8=R=2JI.

所以球的表面積為：4n/?2=4nx8=32n；

體枳為：gn/=gnx16A/~^=^

故答案為：32n；罕口

J

15.【答案】(1)因?yàn)橛?五,所以沆?五=(b-a)(b+a)-c(a+c)=0,

npc24-c2—b2=—ac,

由余弦定理得cosB二次嗜一川二一因?yàn)?￡(0,n),所以8=融

(2)由(1)得一ac=a2+c2-12>2ac-12,即QC<4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

則顯.Be=^acsinB=<1/1,

所以當(dāng)a=c=2時(shí)，△ABC面積的最大值為，3.

【脩析】(1)利用向量垂直的坐標(biāo)公式和余弦定理，余弦函數(shù)的圖象即可求得答案；

(2)先由(1)的結(jié)論和基本不等式推出a。W4,利用三角形面積公式即可求得其最大值.

16.【答案】(1)因f(%)=2sin2x-4A/~5cos2%+2\/~3=2sin2x-2A/3COS2%=4sin(2x—日),

由2x-H+/ar,kWZ,可得“相+3UwZ,

第10頁(yè)，共13頁(yè)

即函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為X=*+?,k6Z;

(2)由-y+2/CTT<2x—^<^+2kir,kWZ,可得-+kirWxW目+kix,Ze€Z,

4OCaXLtX

即函數(shù)/1(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一/+%,相+/nr],kEZ；

(3)因/(x)=4sin(2x—5)，當(dāng)xw[o,同時(shí),取t=2%一搭€[—^，引，

OLDJD0O

因函數(shù)y=4sint在[一?引上單調(diào)遞增，

故/(%)=4sin(2無(wú)一?)的值域?yàn)閇-2/3,2<3].

【解析】(1)先利用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱軸求解即得；

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列不等式，求解即得：

(3)先由給定區(qū)間求出整體角C=2%；的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的值域.

17.【答案】(1)如圖，連接BD,因底面4BG)為平行四邊形，則｛Cd8D=H,BH=HD,

因BG=GP,則GH〃PD,因GH<t平面PC。，PDu平面PC0,故GH〃平面PCD.

(2)取PC中點(diǎn)E,連接。E,因△PCD為等邊三角形,則DEJLPC,

又平面W平面PCD,平面尸的Cn平面PCD=PC,DEu平面PCD,

則DEJ■平面P4C,又P4u平面P4C,故DE1PAf

因P41CD,CDnDE=D,CD,DEu平面PCD,故P4J_平面PCD.

(3)由(2)已得DEI平面PAC,連接力E,則zDAE即直線力。與平面PAC所成角，

因。PC。為等邊三角形，CD=4,則?！?

又4。=4y/2,在RfAED中,sinzD/lF=%=第二?.

AD4V24

即直線4D與平面/MC所成角的正弦值為千

第11頁(yè)，共13頁(yè)

【解析】(1)連接BD,則力CnBO=",利用三角形中位線定理證明GH〃PO,由線線平行即匕證得線面平

行；

(2)取PC中點(diǎn)E,連接DE,證明DE1PC,利用平面P4C1平面PCD證明。E1平面P4C,得DE1P4結(jié)合條

件，再由線線垂直即可證得P41平面PCZ)；

(3)由(2)已得。E1平面/MC,則乙DAE即直線/W與平面P4c所成角，則可借助于RfAED,利用三角函數(shù)的

定義即可求得.

18.【答案】(1)若事件月發(fā)生，則小明前兩題都答對(duì)或都答錯(cuò)，

所以P(4)=(T+G)2=|.

(2)若事件B發(fā)生，則小華前兩題答對(duì)一題，答錯(cuò)一題，第三題答對(duì)，

根據(jù)題意則小華3道題都回答且通過(guò)面試的概率為P(8)=|x|x|+lx|x|=§,

由胭意可知，事件4B相互獨(dú)立，

則PQ4B)=P(4).P(B)=數(shù)§二套

(3)記小明沒(méi)有通過(guò)面試為事件C,

即分前兩道回答對(duì)一道且最后一道錯(cuò)誤或前兩道均回答錯(cuò)誤兩種情況，

則小明沒(méi)有通過(guò)面試的概率為P(C)=1xlxi+ix^x1+ixl=^,

可得小明通過(guò)面試的概率為尸?=1-言=言.

記小華