專題21因的有關(guān)性質(zhì)（9大考點，精選39題）

考點概覽

考點1垂徑定理的有關(guān)計算

考點2垂徑定理的證明

考點3有關(guān)圓的認識的計算與證明

考點4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

考點5圓周角定理

考點6圓周角定理的計算與證明

考點7圓內(nèi)接四邊形

考點8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題

考點9利用隱圓解決最值問題

考點1垂徑定理的有關(guān)計;

1.（2025?四川涼山?中考真題）下列說法正確的是（）

A.若悶=網(wǎng)，則

B.若am<bin,則a<Z?

C.對■角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的孤

2.（2025?四川宜賓?中考真題）如國，人8是。O的弦，半徑"一八8于點。.若AB=8,OC=5.則。。的

5

A.3B.2C.6D.-

2

3.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，是0。的弦.半徑于點D,且AB=8,OC=5.則0c的

長是.

4.（2025?湖北?中考真題）如圖，是V48C的外接圓，NB4C=45。.過點。作。尸_LA8,垂足為E,

交AC于點。，交。。于點尸.過點尸件。。的切線，交C4的延長線于點G.

⑴求證：FD=FG；

（2）若A3=12,/G=10,求0O的半徑.

考點2垂徑定理的證明

5.（2025?河南?中考真題）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，創(chuàng)立了“割圓術(shù)〃.如圖是研

究‘割圓術(shù)”時的一個圖形，所在圓的圓心為點。，四邊形為矩形，邊CO與0。相切于點E,連

接BE,ZABE=\50,連接OE交48于點F.若A8=4,則圖中陰影部分的面積為.

6.（2025?山東東營?中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧

田面積所用公式為：弧山面積（弦x矢+矢2）,弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中〃弦〃

指圓弧所對弦長A8,"矢"等十半徑長與圓心。到弦的距離之差.在如圖所本的弧田中，“弦"為8,"矢”為2,

貝I」cosNOAb的值為.

7.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如圖1,月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞,形如滿月，故稱“月洞門〃,

其形制可追溯至漢代，但真正在美學與功能上成熟于宋代，北宋建筑學家李誡編撰的《營造法式》是中國

占代最完整的建筑技術(shù)典籍之一.如圖2是古人根據(jù)《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計圖，月

洞門呈圓弧形，用ACB表示，點。是AC8所在圓的圓心，A8是月洞門的橫跨，是月洞門的拱高現(xiàn)在我

們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計圖如圖3,已知月洞門的橫跨為AB,拱高的長度為4作法

如下：

①作線段A8的垂直平分線垂足為。；

②在射線OM上截取OC=a；

③連接AC,作線段AC的垂直平分線交C。于點。；

④以點。為圓心，OC的長為半徑作AC8.

則AC8就是所要作的圓弧.

請你依據(jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）

考點3有關(guān)圓的認識的計算與證明

8.（2025?河南?中考真題）如圖，四邊形48CZ）是平行四邊形，以4C為直徑的圓交于點E.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

⑵若點E是AO的中點，連接。ACE.求證：四邊形AOCE是平行四邊形.

9.（2025?廣西?中考直題）如圖.已知4A是的百杼,點C。在。。卜.ZABC=65°,BC=CD.

⑴求證：△BOCWADOC,,

（2）求—的度數(shù).

⑴求證：A8〃CO；

⑵如果AB=8。，求證：AB2=BFOB.

考點5圓周角定理

13.（2025?青海?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，NG48=4）。，則/ADC的度數(shù)是（

B.50°C.40°D.25°

14.（2025?重慶?中考真題）如圖，點A,B,C在。。上,N40B=100。，/C的度數(shù)是（）

B.50°C.80°D.100°

15.（2025?湖南長沙?中考真題）如圖，AC,BC為。。的弦，連接OA,OB,OC.若/403=40。,/0。4=30。,

)

A.40°B.45°C.50°D.55°

16.（2025?新疆?中考真題）如圖，CO是0。的直徑，AB是弦，AB1CD,ZADC=30°,則NBOC=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

17.（2025?山西?中考真題）如圖，相為0。的直徑，點C。是0。上位于AA異側(cè)的兩點，連接A。、8.若

4c=8C，則/。的度數(shù)為（

C.60°D.75°

18.（2025?湖北?中考真題）如圖，VA8C內(nèi)接于0。,/班。=30。.分別以點A和點8為圓心，大于的

長為半徑作弧，兩弧交于M,N兩點，作直線MN交AC于點。，連接80并延長交。。于點E,連接QA,

0E,則/AOE的度數(shù)是（）

C.60°D.75°

19.（2025?四川瀘州?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0。，8。為00的直徑.若AB=AC,ZACB=70°,

MZCBD=（）

20.（2025?四川自貢?中考真題）PA,依分別與。。相切于A,8兩點.點C在。。上，不與點48重合.若

NP=8（）。，則NAC3的度數(shù)為（）

A.50°B.100°C.130°D.5（）?；?30。

21.（2025?浙江?中考真題）如圖，矩形AKC。內(nèi)接于OO,E是AO上一點，連接訪，KC分別交A。于點

F,G.若A￡=LEG=FG=3,則0。的直徑為.

22.（2025?陜西?中考真題）如圖，A8為。。的直徑，BC=BD，NC7）B=24。，則ZACD的度數(shù)為

23.（2025?安徽?中考真題）如圖，A8是。。的弦，/火與。。相切于點從圓心O在線段抬上.已知NP=50°,

則NPAB的大小為。.

24.（2025?江蘇揚州?中考真題）如圖，點A,B,C在。。上，ABAC=5^,則/OBC=

25.（2025?江蘇連云港?中考真題）如圖，VA8C是。。的內(nèi)接三角形，ZBAC=45°.若。。的半徑為2,

則多孤8c的長為.

A

考點6圓周角定理的計算與證明

26.（2025?北京?中考真題）如圖，過點。作0。的兩條切線，切點分別為A,B,連接04,0/3,OP,取0。

的中點C，連接AC并延長，交C。于點。，連接BO.

⑵延長OP交。8的延長線于點E.若AP=10,tan/40P=g,求。七的長.

27.（2025?安徽?中考真題）如圖，四邊形ABC。的頂點都在半圓。上，A8是半圓。的直徑，連接OC,

ZZMB+2ZABC=180°.

O

⑴求證:OC//AD-,

(2)若4)=2，3C=2JJ,求A8的長.

考點7圓內(nèi)接四邊形

28.（2025?山東東營?中考真題）如圖，四邊形A8CZ）內(nèi)接于0。，若N8OD=130。，則/ECO的度數(shù)是（）

BCE

A.50°B.55°C.65°D.70°

29.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，AB=BC,連接8D,若乙的。=70。,

則N3QC的度數(shù)為（）

A.20°B.35°C.55°D.70°

30.（2025?四川廣安?中考真題）如圖，四邊形/WCO是0a的內(nèi)接四邊形，N8C/）=120。，0。的半徑為6,

則BD的長為________.

31.（2025?吉林?中考真題）圖①、圖②均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點VAH：內(nèi)接

于口0,且點4,B,C,O均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

圖①圖②

⑴在圖①中找一個格點。（點。不與點。重合），畫出上4）。：使=

（2）在圖②中找一個格點￡,畫出/AEC,使ZAEC+ZA8C=1BO。.

32.（2025?江西?中考真題）如圖，點A,B,C在。。上，乙4。=35。，以胡，8c為邊作oMCQ.

圖1圖2

⑴當經(jīng)過圓心0時（如圖1）,求一。的度數(shù)；

（2）當A。與相切時（如圖2）,若0。的半徑為6,求AC的長.

考點8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題

33.（2025?廣東深圳?中考真題）如圖，以矩形A4C7）的4點為圓心，4C的長為半徑作交A5于點產(chǎn)，

點E為AD1二一點,連接CE,將線段CE繞點石順時針旋轉(zhuǎn)至EG,點G落在。B上，且點尸為EG中點.若

AF=1,AE=3,則CO的長為.

34.（2025?四川南充?中考真題）如圖，AC為正方形ABC。的對角線，CE平分NACB,交AB于點E,把ACBE

繞點3逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△AM,延長CE交"于點M,連接DM,交AC于點N.給出下列結(jié)論:

①CMJ.AA②C/=AF；③NCMD=45。；④桀=&-1.以上結(jié)論正確的是.（填寫序號）

35.（2025?四川達州?中考真題）綜合與實踐

問題提出：探究圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常將一個圖形分割成幾個圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段

之間的數(shù)量關(guān)系.

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1,在V4BC中，AC=BC,P是AB邊上一點，過點P作PO_L4C于。，PE上BC于E,

過點A作4尸_Z8C于F.連結(jié)CP,由圖形面積分割法得：S摻BC=&+；則AF=+.

實踐應(yīng)用：如圖2,V4BC是等邊三角形，AC=3,點G是邊上一點，連結(jié)CG.將線段CG繞點C逆

時針旋轉(zhuǎn)60。得CF,連結(jié)G/交8。于〃，過點/，作P￡>_LGC于。，PELCF于E,當AG=1時，求尸D+PE

的值.

拓展延伸：如圖3,已知43是半圓。的直徑，AC,BE是弦,AC=BE,?是/W上一點，PD1AC,垂

足為/1.AB=\O,AD=2,BD=4顯求S“AC+S△的的值.

36.（2025?福建?中考真題）如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于。O,AD,BC的延長線相交于點E,AC,BZ）相交

于點F.G是上一點，GO交八。于點H,且A8=AC,8G=DG.

(2)求證：AH2=HFHC;

⑶若tanZABC=石,AO=2OE,CD=#，求&AGH的周長.

考點9利用隱圓II解決最值問題

37.（2025?山東?中考真題）【圖形感知】

（1）求CO的長；

【探究發(fā)現(xiàn)】

老師指導(dǎo)同學們對圖1所示的紙片進行了折疊探究.

在線段CO上取一點E,連接班?將四邊形48石。沿8E翻折得到四邊形A3&）,其中4,以分別是4,D

的對應(yīng)點.

（2）其中甲、乙兩位同學的折疊情況如下：

①甲：點以恰好落在邊BC上，延長交C。于點尸，如圖2.判斷四邊形OB4'尸的形狀，并說明理由：

②乙：點H恰好落在邊上，如圖3.求OE的長；

（3）如圖4,連接交8E于點P,連接CP.當點E在線段C。上運動時，線段CP是否存在最小值？若

38.（2025?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

在探索幾何圖形變化的過程中，通過直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運用幾何

⑴【幾何直觀】如圖1，VAAC中，NR4C=90。，AB=AC,在VABC內(nèi)部取一點。，連接A。，將線段AO

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AO,連接B。，CD',則CD與H。的數(shù)量關(guān)系是:NADC與

NA/用的數(shù)量關(guān)系是；

（2）【類比推理】如圖2,在正方形A8C。內(nèi)部取一點E,使NC￡O=90。，將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段CE,連接E8,延長￡8交OE的延長線于點?，求證：四邊形CE7詞是正方形；

⑶【深度探究】如圖3,矩形A8C。中，AB=3,BC=4,在其內(nèi)部取一點E,使NC9=90。，將線段CE

CG4

繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,延長CE至點G,使"=可，連接GB,延長G