專題數(shù)列

?>1

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國(guó)二卷?高考真題）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若S3=6,SS=-5,則$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

2.（2025?北京?高考真題）已知｛的｝是公差不為零的等差數(shù)列，《=-2,若小必，應(yīng)成等比數(shù)列，則6。=（）

A.-20B.-18C.16D.18

3.（2025?天津?高考真題）§=-標(biāo)+8〃，則數(shù)列｛乩｝的前12項(xiàng)和為（）

A.112B.48C.80D.64

4.（2025?上海?高考真題）已知數(shù)列｛4｝、｛〃｝、｛c｝的通項(xiàng)公式分別為。=10//-9,0=2"、，

nnfinn

c.=24+（1-兀）以若對(duì)任意的九凡、b“、。的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)〃有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.1個(gè)D.無數(shù)個(gè)

二、多選題

5.（2025?全國(guó)二卷?席考真題）記S,為等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和，4為｛?。墓?，。>。若$=70=1,

則（）

11

A.q=B.a=

259

C.S5=8D.a”+S“=8

三、填空題

6.（2025?上海?高考真題）己知等差數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)6=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為.

7.（2025?全國(guó)?卷?高考真題）若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該等

比數(shù)列的公比為.

四、解答題

8.（2025?全國(guó)一卷?高考真題）設(shè)數(shù)列｛。｝滿足。=3,

"1n〃+1〃（〃+1）

⑴證明：｛〃見｝為等差數(shù)列；

⑵設(shè)/（?）=a盧+a#+L+a，求（一2）.

9.（2025?天津?高考真題）已知數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，他｝是等比數(shù)列，a產(chǎn)仄=2,%=入+1,生=仄.

⑴求｛可｝，｛仄｝的通項(xiàng)公式；

（2）V/!€N\/S｛0,1｝,有7；=｛p/自+p必仇+...+/V冏核也Li+pMA,|/%p2，...,PiP,e/｝,

（i）求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)為看,均有，＜4"向；

（ii）求，所有元素之和.

Otl

2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?陜西漢中?三模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為工，若為+為=12,則&o=（）

A.30B.40C.60D.120

2.（2025?江蘇南通?三模）在等匕數(shù)列｛凡｝中，349=8,口2+%=20,則d=（）

A.36B.±6C.-6D.6

3.（2025?山東青島三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”:現(xiàn)有5個(gè)人分5錢，5

人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)

為（）

1?25

A.—B._C.—D.一

3236

4.（2025?山西呂梁?三模）已知等差數(shù)列｛。｝的公差=9,則〃=（）

nI23

A.4B.3C.2D.1

5.（2025?遼寧大連?三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛凡｝的前幾項(xiàng)和為工，若$=2§3-&+6.=1,則4=（）

A.16B.32C.27D.81

6.（2025?湖南岳陽(yáng)?三模）已知5“為正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，%為的=%%，5、=7,貝必產(chǎn)（）

A.2B.3C.4D.6

7.（2025?北京海淀?二模）漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長(zhǎng)退休年齡.對(duì)于男職工，

新方案將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲I個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十

三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如表所示：

1965年1月一41965年5月一81965年9月—121966年1月一4

出生時(shí)間???

月月月月

新方案法

定退休年60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月???

齡

那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（）

A.61歲+4個(gè)月B.61歲+5個(gè)月

C.61歲+6個(gè)月D.61歲+7個(gè)月

’1a，〃為偶數(shù)

2”

8.（2025?山東臨沂?三模）在數(shù)列｛4｝中，已知％=1,1平1大將'則a”=（）

G+_,〃為奇數(shù)

I"2

3365

AA.立B.64C.(>4n

9.（2025?河南三門峽?三模）已知數(shù)列｛#｝的前〃項(xiàng)和是號(hào)，若5=（-1嚴(yán)明十刀（〃之2）,,則。2025

)

A.-1B.1C.2D.3

10.（2025?江蘇蘇州?三模）已知數(shù)列｛〃｝滿足。=1上=1」。，則（）

"I772"

1

A.a>aB.a>

mlJ

"2

C.1013a2025<1D.2025生025<

11.（2025?重慶?三模）數(shù)列｛%｝滿足〃0.3=凡+〃向一心2（〃之1，〃eN）又6=1,a2=\,七=2則（）

A.生024=-101?B.?2024=-1012

C.“2025=1013D.々2025=1014

12.（2025?上海?三模）設(shè)數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，其前〃項(xiàng)和為工.設(shè)仃為正整數(shù)，若j-i為正

偶數(shù)時(shí)，都有勺N2q恒成立，且S2=0,則%的最小值為（）

A.0B.22C.26D.31

二、多選題a—

13.（2025?廣西河池?二模）已知數(shù)列｛。｝滿足〃=J且〃=2,則下列說法正確的是（）

"""'

1

A.a=-

34

B.數(shù)列｛4｝是周期數(shù)列

c.是等差數(shù)列

t?n+lj

22.（2025?天津?二模）數(shù)列｛%｝的項(xiàng)是由1或2構(gòu)成，且首項(xiàng)為1,在第々個(gè)1和第A+1個(gè)1之間有兼-1

個(gè)2,即數(shù)列｛凡｝為：1,2,1,222,122,2221，.記數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為工，則&產(chǎn)：

§2025=-

CC

23.（2025?遼寧大連?三模）等差數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S,已知">川,且則S取最大值時(shí)〃

nn-67n

n〃+1

的值為.

24.（2025?重慶?二模）對(duì)于數(shù)列｛.%｝,若存在常數(shù)M〉0,使得對(duì)一切止整數(shù)〃，恒有乂成立，則稱｛.5｝

為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為5,滿足a=1，若｛5｝為有界數(shù)列，則實(shí)數(shù)M的取值范圍

"〃〃w2+4/2+3”

是.

25.（2025?黑龍江哈爾濱?.模）互素是指兩個(gè)自然數(shù)。和〃的最大公因數(shù)為1.歐拉函數(shù)（p（〃）表示不大于

〃（叱N'）且與〃互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)，若數(shù)列｛4｝滿足q押（2"）,且數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,則滿足

S”<2025的〃的最大值為.

26.（2025?甘肅白銀??:模）若數(shù)列｛凡｝是有窮數(shù)列，且各項(xiàng)之和為0,各項(xiàng)的絕對(duì)值之和為I,則稱數(shù)列｛〃”｝

是“〃項(xiàng)優(yōu)待數(shù)列”.若等差數(shù)列出｝是“2&+1項(xiàng)優(yōu)待數(shù)列“，keN,則勿=

四、解答題

27.（2025?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知黑7；分別是等差數(shù)列｛q｝和等比數(shù)列他｝的前〃項(xiàng)和，S5=15,

b2As=H.

（1）求數(shù)列｛4｝和｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵若｛a｝為遞增數(shù)列，孰=。力n，求數(shù)列｛G｝的前〃項(xiàng)和4.

28.（2025?四川攀枝花?三模）已知數(shù)列｛。｝的首項(xiàng)〃=1,〃+。=3x2".

n1nn￥\

⑴求證：｛q-2"｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S〃；

（3）令a=—7力求數(shù)列｛2｝的最大項(xiàng).

a0一（T）

29.（2025?河南?三模）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為工，且6+〃7=6,S12=45.

（1）求；

f|Cln+4/2，”為奇數(shù)

⑵若數(shù)列他｝滿足〃=｛（6r，〃為偶數(shù)，求數(shù)列但｝的前2。項(xiàng)則.

3().(2025?廣東廣州?三模)已知數(shù)列｛q｝滿足0=1,%=6,且對(duì)任意的〃N2,都有

%+%=2an+3.

⑴設(shè)勿=〃”.「%，求證：數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，并求出其的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式;

.213[11

(3)若c?=3%+§〃-2，求V卜的前〃項(xiàng)而口

31.(2025?河北秦皇島??模)設(shè)5為數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)和，已知〃=4,'%+0'是公比為2的等比數(shù)歹|j.

""1

⑴證明：《〃"｝是等比數(shù)列；

⑵求｛為｝的通項(xiàng)公式以及S,,；

⑶設(shè)8=(〃-5)“，若助wN*,r2m-2<b,求機(jī)的取值范圍.

nn+n

32.(2025?廣東廣州?三模)己知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列出｝滿足。產(chǎn)”=1,且四,%,44成

等比數(shù)列，43,28,也成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛如｝和也｝的通項(xiàng)公式;

⑵令冊(cè)=3"”，去掉數(shù)列｛。,｝中的第弘項(xiàng)(keN),余下的項(xiàng)順序不變，構(gòu)成新數(shù)列｛1｝,寫出數(shù)列｛1,｝的前

4項(xiàng)并求｛/”｝的前2〃項(xiàng)和隊(duì),；

33.(2025?湖南長(zhǎng)沙?三模)已知數(shù)列｛》｝,OeN"記集合4=&<M的元素個(gè)數(shù)為f

(1)若｛a｝為1,2,4,8,12,寫出集合A,并求同的值；

(2)若｛a｝為1,3,a,b,且詞=3,求｛2｝和集合A；

⑶若數(shù)列也,｝項(xiàng)數(shù)為，，滿足。,3>瓦,(〃=1,2,,r-l),求證：葉卜一1”的充要條件是“｛4｝為等比數(shù)列”.

34.(2025?天津?三模)已知數(shù)列｛斯｝和｛a｝的滿足?=4,仇=2必用=2%+2+2力肝|=2”,+〃“一2,

(1)(i)求=+瓦的值;

n

(ii)求2>；-環(huán))的值.

F=l

⑵若數(shù)列｛c｝滿足對(duì)于<c,求證：譏eN?,使得X2_>2025.

41G+I

35.(2025?山東臨沂?三模)定義：若數(shù)列儲(chǔ)｝滿機(jī)。-,向-(〃-則稱數(shù)列｛4｝為“數(shù)

項(xiàng)增數(shù)列”.

⑴若。=1-3〃，b=2"-3,判斷數(shù)列｛〃｝,也｝是否為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”？

〃nfin

⑵若等差數(shù)列｛g｝為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列“，且4=2,求｛《｝的公差4的取值范圍；

(3)若數(shù)列｛4｝為共4項(xiàng)的“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”,滿足4e｛l,2,3,4,5,6,7,8,9｝(i=123,4),求所有滿足條件的數(shù)列

｛4｝的個(gè)數(shù).

36.(2025?天津?二模)已知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且③=2,。必=64.對(duì)于任意AcN',

在生和生+i之間插入4個(gè)數(shù)“，42，…，血，使得4，Ai?才￡2，q+i這k+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)

列，記新得到的數(shù)列為｛2｝.

⑴求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式：

(2)記G=bm-b“，證明對(duì)于任意的c?<；

〃(/t+D

(3)求￡bk(其中〃eN*).

hl

專題數(shù)列

It

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國(guó)二卷?高考真題）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若S3=6W=-5,則$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項(xiàng)q和公差d的方程求出首項(xiàng)6和公差d,再由等差

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,則由題可得產(chǎn)+34-6n『=-3.

5a）+10J=-5［卬=5

所以56=6t/1+15J=6x5+15x（-3）=-15.

故選：B.

2.（2025?北京?高考真題）己知｛0｝是公差不為零的等差數(shù)列，4二-2,33MM6成等比數(shù)列，則《。=（）

A,-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合箏差數(shù)列的基木量運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為之（"工0），

因?yàn)橥?，卬，。6成等比數(shù)列，且為=-2,

所以即（一2+34）2=（-2+21）12+51）,解得d=2或d=。（舍去），

所以mo=?+9d=—2+9x2=16.

故選：C.

3.（2025?天津?高考真題）S“=-，，+8〃，則數(shù)列｛|%|｝的前12項(xiàng)和為（）

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由題設(shè)結(jié)合小=￡-求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列｛〃/各項(xiàng)正負(fù)情況即可求解..

【詳解】因?yàn)镾產(chǎn)-〃2+8〃，

所以當(dāng)〃=1時(shí)，％=4=-12+8X1=7,

當(dāng)〃？2時(shí)，an-S“-S,i=(一〃?+)]=-2〃+9,

經(jīng)檢驗(yàn)，仙=7滿足上式，

所以a”=-2n+9(〃wN'),令4=-2/2+920n〃44,an--2n-I-9<0=>/?>5,

設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為7；，

則數(shù)列｛4,｝的前4項(xiàng)和為〃==—4?+8x4=16

數(shù)列｛凡｝的前12項(xiàng)和為

%=?+%++。12=0+。2+%+。4一4一。6一-02

2

=254-S｝2=2X16-(-12+8X12)=80.

故選:C

4.(2。25?I1海?圖考具題)已知數(shù)外(。八?,j的通J貝公式分別為〃=1。〃一"，。=2"、，

nnnnn

c“=九凡+(1-1)/加若對(duì)任意的兀w[0.1],%、b八%的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)，?有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.1個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【答案】B

【分析】由金=入1+(1-九)兒可知G范圍,再由三角形三邊關(guān)系可得以，兒,C”的不等關(guān)系,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解

不等式可得.

【詳解】由題意用，",%>0，不妨設(shè)A(〃,an),5(〃也),C(〃,q),

三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由4=3+(1。)2可知，fiC=mie[0,l],

故點(diǎn)C恒在線段AB±,則有min｛a?,bn｝<cn<max｛an,bn)<an+b”.

即對(duì)任意的大。”<生+久恒成立，

令10x-9=2X,構(gòu)造函數(shù)fix)=21-10x+9,x>0,

則尸。)=2、In2-10,由f\x)單調(diào)遞增,

又/'(3)<0,/'(4)>0,存在原w(3,4),使/。)=0,

即當(dāng)0<x</時(shí)，(。)<0,"X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>與時(shí)，f\x)>0,fix)單調(diào)遞增；

故f(x)至多2個(gè)零點(diǎn)，

又由〃1)>0J(2)<0,/(5)<0,/(6)>0,

可知」(%)存在2個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)孫仔(l1〈玲)，且仍如1,2),占6(5,6).

①若％Wb”,即10〃-9W2"時(shí)，此時(shí)〃=1或心6.

則飆4C，可知也+弓成立,

要使%、2、c0的值均能構(gòu)成三角形,

所以a”+cn＞何恒成立,故幾＜2%,

所以巾薪應(yīng)解得i

②若4之2,即10〃-922"時(shí)，此時(shí)〃=2,3,4,5.

則%".他,可知小+金＞兒成立,

要使小、b八牖的值均能構(gòu)成三角形,

所以4+cn>an恒成立,故a”<2b?,

10〃-922〃&“日

所以有《10〃-9<2”…解得〃=4或5；

綜上可知，正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選：B.

二、多選題

5.（2025.全國(guó)二卷.高考真題）記S.為等比數(shù)歹￡凡｝的前〃項(xiàng)和，夕為｛q｝的公比，夕＞0若$=7必=1，

則（)

I

A.q=_B.

259

C.S$=8D.an+Sn=8

【答案】AD

【分析】對(duì)人，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式得到方程組，解出叫,4,再利用其通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)

和公式一一計(jì)算分析即可.

ai=4a\=9

【詳解】對(duì)A,由題意得〈,結(jié)合4＞0,解得1或1（舍去），故A正確;

必+4必+4<7'=7q=&—

對(duì)B，則為=q/=4x］；j=；，故8錯(cuò)誤;

\4x(1--

/

對(duì)C,S$=~)_I32號(hào)故C錯(cuò)誤；

1一夕1-_

2

對(duì)D,an-4x8-2-2,

2

則&+工=2工+8-2?=8,故D正確;

故選:AD.

三、填空題

6.(2025?上海?高考真題)己知等差數(shù)列也｝的首項(xiàng)劣=-3,公差4=2,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為.

【答案】12

【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.

6x5

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S=6a+--d=\2.

o?2

故答案為：12

7.(2()25?全國(guó)一卷?高考真題)若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該等

比數(shù)列的公比為.

【答案】2

【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的定

義，得到關(guān)于9的方程，解之即可得解：法三：利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于4的方程，解之即可

得解.

【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為｛斯｝，S,是其前〃項(xiàng)和，則S產(chǎn)4,Sg=68,

設(shè)｛斯｝的公比為4(4>0),

當(dāng)g=l時(shí)，S4=4d)=4,即a1=1,則&=8。|=8=68,顯然不成立，舍去；

當(dāng)4。1時(shí)，貝JS’=""iL4,58='"夕L68，

1-q1-q

兩式相除得上乙曳，即(W)(l+/)=i7，

1-/4

則l+q4=l7,所以夕=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法二：設(shè)該等比數(shù)列為｛〃”｝,S”是其前〃項(xiàng)和，則&=4,&=68,

設(shè)｛七｝的公比為q(4>0)，

所以$4=4]+=4,

SR=0+生++/++4

4

=al+a2+a3+fl4+a(7+a+a￡

=(%++/+d4)(l+q&)=68,

所以4(1+T)=68,則1+/=17,所以g=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法三：設(shè)該等比數(shù)列為｛如｝,S”是其前〃項(xiàng)和，則1=4,§8=68,

設(shè)｛〃”｝的公比為4(4＞。)，

因?yàn)镾g—Sq=牝+&+%+/=3+02+43+%0=68-4=64,

又§4=6+〃2+%+4=4,

所以。J，='=曰二16,所以q=2,

S、4

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

四、解答題?

8.(2025?全國(guó)?卷?高考真題)設(shè)數(shù)列｛。｝滿足。=3,二=二

“1n〃+1n(n+1)

⑴證明：｛〃凡｝為等差數(shù)列；

ax，

⑵設(shè)/(x)=+a29+L+m"?求/'2).

【答案】(1)證明見解析；

⑵

【分析】(1)根據(jù)題目所給條件置=備+;^已?化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論

(2)先求出｛q｝的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以無，作差并利用等比數(shù)列前八項(xiàng)和得出導(dǎo)

函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意證明如下，reNS

在數(shù)列｛%｝中，4=3,智=含+^^

工(〃+1)?！?|=nan+1,即(〃+1)-na?=1,

???｛〃4｝是以q=3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由題意及(1)得，/IeN*?

在數(shù)列｛，叫｝中，首項(xiàng)為3,公差為1,

2

na=3+lx(n-l),即〃=1+一，

n

2,n

在f(x)=%x+a2x++amx中，

f(x)=3x+2x2+U+[\+—f(x)=3+4x++(/n+2)x,w-1

.J|r(x)=3+4x++5+2)N

??'4<x)=3x+4戈？+□+(w+2).rw,

當(dāng)xwl且kwO時(shí)，

???(17)r(x)=3+%+f++//-3+2)爐=3+'(:丫)_(/〃+2)L，

.-。)=3+M…

.31-X(l-x)-l-x

.r/_2x=3+-2卜(—2門+2)(-2f

..1-(-2)]「1-(-2)]j1-(-2)

人(-2)[『(一2)時(shí)']_(,n+2)(-2f

93

2（一2『3+2）（-2廣

=1———

993

_7_（3m7）（-2）m

―+?

99

9.（2025.天津?高考真題）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛〃,｝是等比數(shù)列，卬=%=2,生=仇+1,為=甌

⑴求包｝，仇｝的通項(xiàng)公式；

⑵6￡N*,/€｛0』｝,有T'=｛〃嗎仇+p2a2b2+…+也I+24瓦IPi，PA；P,I，P”e/｝,

（i）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)“小,均有f<a向加；

（i：）求。所有元素之和.

【答案】⑴氏=3〃-1也=2”；

⑵⑴證明見解析；（ii）2fL「8+（3〃-4）2”力

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d，數(shù)列｛"｝公比為式#0）,由題設(shè)列出關(guān)于d和q（gnO）的方程求解,

再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；

（2）（i）由題意結(jié)合（1）求出％%i和〃同也+「*2bZ+.S+PM^/LI+PE力”的最大值,再作差比較兩者

大小即可證明；

（ii）法一：根據(jù)P”P2,…,P.T，P”中全為1、一個(gè)為0其余為1、2個(gè)為0其余為....全為。幾個(gè)情況將，

中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；

法二：根據(jù)，元素的特征得到。中的所有元素的和中各項(xiàng)。也（注｛1，2,出現(xiàn)的次數(shù)均為2叫欠即可求

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛。“｝的公差為d，數(shù)列｛2｝公比為9（4,0），

則由題得空與繆J抬,

II

所以/=2+3（〃_l）=3“T,"=2X2"T=2"；

（2）（i）證明：由（1）pab=（3〃-1）2"P=0或=（3n-l）2->0,ab乂3〃+2）2叫

nnnnnnnn+lrn-l

當(dāng)PM瓦=（3〃-1）2”>0時(shí)，

n

設(shè)S〃=p同自+p必瓦+...+pn_也t+pnajjn=2x2+5x2?+...+（3〃_4）2-'+（3〃-1）2",

所以2sli=2x2?+5x23+…+（3〃-4）2"+⑶?一1）2用，

所以一1=4+3x（22+23+...+2〃）一（3〃一1）2向=4+3x~”一?1（3〃—1）2向=一8+（4-3〃2向，

1—2

所以，=8+（3b4）2向，為T”中的最大元素,

此時(shí)-S.=（3〃+2）2〃+J「|_8+（3〃-4）221」=6?2向-8>0恒成立，

所以對(duì)V/eT；,均有

（ii）法一：由⑴得S.=8+（3〃-4）2,為兀中的最大元素，

由題意可得。中的所有元素由以下系列中所有元素組成：

當(dāng)內(nèi)，P2a”均為1時(shí)：此時(shí)該系列元素只有5.=8+（3〃-4）2向即（：1個(gè)；

當(dāng)PJ，P2,…,Pi，P”中只有?個(gè)為0，其余均為1時(shí)：

此時(shí)該系列的元素有Sn--a2b2&-a3b3，…,5〃一斯瓦共有C）個(gè)，

則這〃個(gè)元素的和為（。生+池2+…+?！ǎ?（C>-C。）S“；

當(dāng)Pl，P2，”“iPn中只有2個(gè)為0,其余均為1時(shí)：

此時(shí)該系列的元素為S2,...,〃}心力共有C2個(gè)，

nr?jJn

則這〃個(gè)元素的和為CH-CL（a仇+a"+...+a4）=（C2,C「）S”；

當(dāng)小，〃2-，〃.1，，”中有2個(gè)為（），其余均為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為

S-ab-ab-ab（i,j,ke{/工k）共有C，個(gè)，

niijjkkn

則這〃個(gè)元素的和為C，S-C?（ah+ab4-...+ab）=（C--C2）S：

nnn-1I122nnnn-\n

???

當(dāng)p,，〃中有〃-1個(gè)為0,1個(gè)為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為。a〃共有C"」個(gè),

12n-ln1122nnn

則這〃個(gè)元素的和為CRS「Cf（Q仇+「2+…+a4）=9；Jc*）S”；

當(dāng)小〃2i/力/.均為0時(shí)：此時(shí)該系列的元素為o=（c；-ck）s“即C：尸I個(gè)，

綜上所述，。中的所有元素之和為

2

V（C\-1）S?+（CW-C;）S“+（C：CQS/…+（―）S.+0

=L?+C+...+c丁+c)-(c3+c2+...+=；+啕自

=(2"一)S'=2"」Sn=M.[-8+(3n-4)2^'jl；

法二：由⑴得乂=8+(3〃-4)2，為：中的最大元素,

由題意可得

7；={S”,S”-(電,Sn-a,b,-a}bj,Sn-一a內(nèi)一a也a"+,a力,0},(i,J,Aw{1,2,...,〃},i工J=A),

所以7；的所有的元素的和中各項(xiàng)3(M{1,2，…,〃})出現(xiàn)的次數(shù)均為C3十C3?…?C-??。；二?2”一1次,

所以4中的所有元素之和為2內(nèi)(3+%4+...+/4)=2"-5=2i?「[_8+(3〃-4)2向1.

Otl

2025高考模擬題

一、單選題

1.(2025?陜西漢中?三模)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若包+的=12,則5%=()

A.30B.40C.60D.120

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求5I0.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，故'"°("；'%)=5(%+,)=60,

故選：C

2.(2025?江蘇南通?三模)在等比數(shù)列｛〃"｝中，a5-a6a7=S,a2+a6=20,則田=()

A.36B.±6C.-6D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】等比數(shù)歹lj｛。“｝中％4%=〃：=8，?6=2,?2=18,

二.刈=土《a2a&=±6,由于。2>0,故。4>0,所以。4=6,

故選：D.

3.(2025?山東青島?三模)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個(gè)人分5錢，5

人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的?人錢數(shù)

為()

A.1B.LC.-D.1

3236

【答案】C

【分析】設(shè)第〃(lW〃〈5,〃eN.)所得錢數(shù)為a.錢，設(shè)數(shù)列勺、％、外/、q的公差為〃，根據(jù)已知條件

可得出關(guān)于卬、d的值，即可求得生的值.

【詳解】設(shè)第〃(l?〃W5,〃wN)所得錢數(shù)為4錢，則數(shù)列多、生、外小。為等差數(shù)列，

設(shè)數(shù)列為、生、生、4、%的公差為d，

I5x4\a.=—

則卜+亍小，解得(3故悠=0+44=；4x；=W

|2《+d=3m+%/"=」363

I6

故選：C

4.(2025?山西“梁?.模)匕知等差數(shù)列)的公左d>U,a=l,〃?a=9,貝卜=()

nI23

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將生、的用外和d表示出來，再代入已知等式求解d.

【詳解】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式〃“=4+(〃T)d可得：6=0+d,

已知〃]=1,所以“2=l+d;4=〃i+2d=1+2d.

將出=1+〃，%=1+加代入。一%=9可得:(1+4)2-(1+2/)=9,

則l+2d+d2T_2d=9,化簡(jiǎn)可得：42=9,解得4=3或d=-3.

因?yàn)橐阎頳>0,所以舍去d=-3,得到d=3.

故選：B.

5.(2025?遼寧大連?三模)己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃.｝的前〃項(xiàng)和為5“，若54=2S3-S2+6必=1，則%=()

A.16B.32C.27D.81

【答案】C

【分析】應(yīng)用S「S.\=an,再結(jié)合等比數(shù)列基本量運(yùn)算計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)?=2品一用+6,生=1,則SLS3=S3—S2+6,

所以a4=4+6.

因?yàn)樯?1，所以才=q+6,q>0,

所以4=3或g=-2舍，

所以的=1x3、27.

故選：C.

6.(2025?湖南岳陽(yáng)?三模)已知S.為正項(xiàng)等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和，a必a?=a必，$=7,貝ija產(chǎn)()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】等比數(shù)列的性質(zhì)可得4=1，即。附2=1,再結(jié)合題干條件$3=7,利用等比數(shù)列求和公式，得到關(guān)

I

于的一元二次方程，解出公比即得卬的值.

q

【詳解】由題意，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛&｝的公比為。，其中4>o,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知%%=%為，由題干可得%=1，即％d,

若4=1,則$=3。］=3,不合題意，故#1,

所以I'T；+"）="1+4+力;（1+*）=）+；+1=7，

解得'=2或,=-3（舍去），故為二=4.

qqq

故選:c.

7.（2025?北京海淀；.模）漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長(zhǎng)退休年齡.時(shí)于男職工，

新方案將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十

三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如表所示：

1965年1月一41965年5月一81965年9月一121966年1月一4

出生時(shí)間???

月月月月

新方案法

定退休年60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月???

齡

那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（）

A.61歲+4個(gè)月B.61歲+5個(gè)月

C.61歲+6個(gè)月D.61歲+7個(gè)月

【答案】B

【分析】解法一：出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年齡記為處，出生年月在1965年5月一8

月的人的法定退休年齡記為七，生年月在1965年9月一12月的人的法定退休年齡記為例，…，分析可

知數(shù)列｛凡｝構(gòu)成等差數(shù)列，求出亥數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出卬7,即可得解；解

法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個(gè)月，可得結(jié)果.

【詳解】解法一：根據(jù)題意，出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年齡記為例，

出生年月在1965年5月一8月的人的法定退休年齡記為生，

出生年月在1965年9月一12月的人的法定退休年齡記為由，…，

則｛斯｝構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)4=60歲+1個(gè)月，公差d為1個(gè)月，可得《=60歲+〃個(gè)月.

依此規(guī)律，1970年5月出生的男職工，他的退休年齡應(yīng)該是｛4｝的第17項(xiàng),

即他的退休年齡為加=60歲+17個(gè)月=61歲+5個(gè)月.

解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個(gè)月.

出生年

退休年齡

齡

1965.560歲+2個(gè)月

1966.560歲+5個(gè)月

1967.560歲+8個(gè)月

60歲+11個(gè)

1968.5

月

1969.561歲+2個(gè)月

1970.561歲+5個(gè)月

故選:B.

為偶數(shù)

8.(2025?山東臨沂?三模)在數(shù)列也｝中,已知3=1,a=P\則外=(

)

a+_,〃為奇數(shù)

［“2

A.更B.C./D.昌

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出色”一1即可求解.

［詳解］依題意，6加|=：(。方1+1，則,“一彳=而4-1=；'

因此數(shù)列｛/I-1｝是以1為首項(xiàng)，』為公比的等比數(shù)歹IJ,

2/1-122

a“I所以當(dāng)〃=6時(shí)，a=-+(-)6=—.

a22"2264

故選:B.

9.(2025?河南三門峽三模)已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和是$,若$=(-1)"％”+〃(〃22),〃￡川，則。期5=

()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由數(shù)列的通項(xiàng)與前“項(xiàng)和的關(guān)系，分別令〃-2027,“=2026,解方程可得所求值.

【詳解】數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和是S”，若S“=(T)a/+〃(〃22),neN\

則當(dāng)〃N2時(shí),Sz=(7)"+/-1,

兩式相減可得為=(-1嚴(yán)勺一(一1)”％+1(〃之2),

當(dāng)〃=2027時(shí)，^2027=“2027+“2026+】，解徨。2026=一1，

'|=2026時(shí),q026=一』2026~~a2C25+】,解得。2025=3.

故選：D.

10.（2025?江蘇蘇州?三模）已知數(shù)列｛。｝滿足a=\,^_=[--a，則（）

"'%2"

A.a>aB.a>

m-inn-T

C.1013a2025VlD.2025a2025<1

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，變形計(jì)算判斷AB；裂項(xiàng)，結(jié)合累加法求通推理判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,由&^=1一；4，得〃，產(chǎn)。，a”一。用=；">0,則””>a”+i，A錯(cuò)誤: