專題12.25三角形全等幾何模型-手拉手模型（鞏固篇）

（專項練習(xí)）

手拉手模型的定義：

定義：有兩個頂角相等而且有公共頂點的等腰三角形開成的圖形。

特別說明：其中圖一、圖二為兩個基本圖形?…等腰三角形，E豆二至圖七為手方

型，（左手拉左手，右手拉右手）

乎為B（左手）

A〉

>A（頭）

B（左尹）c（/if）c（右手）

圖一圖二

去

￡

圖三圖四圖五

士F

EC

圖六圖七

3、如右圖：手拉手模型的重要結(jié)論：

結(jié)論1:AABCWAA?。'（SAS）

BC=B/d（左手拄左手等于右手拉右手）

結(jié)論2：ZBOB=ZBAB（利用三角形全等及頂角相等

的等腰三角形底角相等）

結(jié)論3：AO平分4BO。（利用三角形全等面積相等，再利用角平分線性質(zhì)定理證明）

一、單選題

1.如圖，正△ABC和正中，B、C、。共線，且BC=3CD,連接A。和班;相交于點

F,以下結(jié)論中正確的有（）個

①NA尸8=60。②連接尸。，則C尸平分NH")@BF=3DF?BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

2.如圖.在心A48C和陽AAOE中，=ZZME=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,

點產(chǎn)，Q,A分別是8。，DC,OE的中點.把△相＞￡：繞點A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則APQR的

面積不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

3.如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC

和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接

PQ,有以下5個結(jié)論：①AD=BE；②PQ〃AE：③AP=BQ；?DE=DP；⑤NAOB=60。.其

中一定成立的結(jié)論有（）個

C

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD=40°,

連接AC,BD交于點M,連接OM.下列結(jié)論：?AC=BD：②NAMB=40。：③OM平分

ZBOC：④MO平分/BMC.其中正確的個數(shù)為（）

二、填空題

5.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=50°,AD、BE交于點H,連接CH,則

ZCHE=.

6.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE

和正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長線交于點M,下列結(jié)論：①BG=CE；

?BG±CE；③AM是△AEG的中線；@ZEAM=ZABC.其中正確的是.

7.如圖所示，等邊AA8。的頂點6在x軸的負半軸上，點A的坐標(biāo)為（-1,-G）,則點6坐

標(biāo)為;點。是位于1軸上點〃左邊的一個動點，以AC為邊在第三象限內(nèi)作等邊

AACD,若點。（加，〃）.小明所在的數(shù)學(xué)興趣合作學(xué)習(xí)小組借助于現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)，課余

時間經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)無論點。在點B左邊x軸負半軸任何位置，/〃，〃之間都存在著一個固定

的一次函數(shù)關(guān)系，請你寫出這個關(guān)系式是.

NDBE.

(1)如圖1,如果A、B、。在一直線上，且NABC=60。，求證：△8WN是等邊三角形：

(2)在第(1)問的情況卜，直線AE和C。的夾角是°；

(3)如圖2,若A、B、。不在一直線上，但NA8C=60。的條件不變則直線AE和CD的夾

角是°;

(4)如圖3,若NAC8=60。，直線AE和。。的夾角是°.

II.如圖1,在AABC中，AE_L8c于E,AE=BE,D是AE上一點，且。E=CE,連接BD,

CD.

(1)判斷8。與AC的位置關(guān)系和數(shù)屋關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,若將AOCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否

發(fā)生變化？并證明；

(3)如圖3,將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求4。與人C

夾角的度數(shù).

12.在3c中，A8=AC,點。是直線上一點(不與3,C重合)，以A。為一邊在

人力的右側(cè)作△人。E,使人。=人￡ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)(請直接寫出你的結(jié)論)如圖1,當(dāng)點。在線段8c上：

①如果/BAC=90。，則N8CE=_。；

②如果NBAC=100。，則N8CE=_。；

(2)設(shè)N8AC=a,ZBCE=p.

①如圖2,當(dāng)點。在線段3c上移動，則服夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②當(dāng)點。在直線8c上移動，則。、尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你

的結(jié)論.

13.已知：等腰心△A8C和等腰用AADE中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZEAD=90°.

(I)如圖1,延長DE交BC于點F,若N84E=68。，則NOEC的度數(shù)為:

(2)如圖2,連接EC、BD,延長必交6。丁點“，若NAEC=9(F,求證：點M為6。中

(3)如圖3,連接EC、BD,點G是CE的中點，連接4G,交8。于點〃，AG=9,HG=5,

直接寫出/MEC的面積.

14.問題發(fā)現(xiàn)

D,

AD

(1)如圖①，已知△/WC,以八B、AC為邊向A/WC外分別作等邊△相"和等邊△人CE,連

接CD,BE.試探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

問題探究

(2)如圖②，四邊形A8CO中，/ABC=45。，/C4Q=90。，AC=AD,AB=2BC=60.求

8。的長.

問題解決

(3)如圖③，“灰?中，AC=2,BC=3,N4CB是一個變化的角，以A/3為邊向外

作等邊△A8D,連接CD,試探究，隨著NACB的變化，C。的長是否存在最大值，若存在求

出C。長的最大值及此時/ACB的大小；若不存在，請說明理由.

15.如圖，和MCE都是等邊三角形，NA4CC105。，AE與DC交于點F.

(I)求證：AE=DC\

(2)求NBFE的度數(shù);

(3)若AF=9.17cm,8尸=1.53cm,CF=7.53cm,求CO.

。、

16.如圖，點C為線段M上一點，△ABCaCDE都是等邊三角形，AD與CE交于點F,BE

與AC相交于點G.

(1)求證：YACD^BCE：

(2)求證：AACF玨BCG

(3)若C尸+CG=8,8O=25,求"C。的面積.

17.己知在AABC中，AB=AC,過點8引一條射線用W,力是上一點.

【問題解決】

(1)如圖1,若NA8C=60°,射線8M在/ABC內(nèi)部，ZADB=60°,求證：N8￡)C=60’.小

明同學(xué)展示的做法是：在BM上取一點E使得A￡=A。，通過已知的條件，從而求得NBDC

的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程：

【類比探究】

(2)如圖2,已知NA8C=NA/加=3(T.

①當(dāng)射線BM在ZABC內(nèi)，求NBDC的度數(shù)；

②當(dāng)射線8W在〃C下方，如圖3所示，請問NMC的度數(shù)會變化嗎？若不變，請說明理由,

若改變，請求出NBDC的度數(shù)

18.(1)如圖①，△A8C和△(7￡)￡：都是等邊三角形，且點B,C,E在一條直線上，連結(jié)

8。和人石，直線8。，人工相交于點則線段8。與八￡的數(shù)量關(guān)系為.BD

與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為.

(2)如圖②，點、B,C,￡不在同一條直線匕其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立.

圖①圖②圖③

(3)應(yīng)用：如圖③，點心C,E不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時恰好有

Z4EC=305.設(shè)直線AE交于點Q,請把圖形補全.若尸。=2,則OP=

19.如圖，已知等邊△A8C,點。為△ABC內(nèi)的一點，連接DB、DC,ZADB=15OC,以

CD為邊向CD上方作等邊△COE,連接AE(0°<ZACE<60°).

(1)求證：ABDC芻AAEC.

(2)請判斷△AQE的形狀，并證明你的結(jié)論.

(3)若AO=A￡CO=2G,求NAC。的度數(shù)及△ABD的面積(用含。的代數(shù)式表示).

參考答案

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)“手拉手”模型證明"CE會“CQ,從而得到NC8￡=NC4。，再結(jié)合三角形的外角性

質(zhì)即可求解NAM=/4C8=60。，即可證明①；作CMJL8E于“點，CN工AD于N點、,

證明△CEMGACDN,結(jié)合角平分線的判定定理即可證明②：利用面積法表示△8b和

△D6的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長補短”的思想，在4。上取點Q,使得

FC=FQ,首先判斷出△尸CQ為等邊三角形，再結(jié)合“手拉手”模型推出△BCFGAACQ即可

證明④.

【詳解】

解：①?二△ABC和△COE均為等邊三角形，

ZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC,

/.ZACB+ZACE=/ECD+/ACE,

???ZBCE=ZACD,

在△/?(7￡1和/XACO中，

BC=AC

<NBCE=ZACD

EC=DC

：.△BCE'ACD(SAS),

/.NCBE=NCAD,

〈ZAFB=ZCBE+ZCDA,ZACB=ZCDA+ZCAD,

AZAF5=ZACB=60°,故①正確；

②如圖所示，作于M點，CNLAD于N點、,

貝ij/CME=NCND=90°,

???△8CE%ACD,

????EM=ZCDiV,

在△CEM和△aw中，

"CME=/CND

<NCEM=ZCDN

CE=CD

.?.△CEM%CDV(A4S),

/.CM=CN,

???。―平分/4「。，故②正確；

③如圖所示，作尸P_L8D于夕點，

S...=-BF?CM=-BC?FP,S=-DF.CN=-CD?FP,

bR(r22△22

c-BF.CM-BC.FP

?\RCF_2_________________

**s1-1，

ZDCF±DF.CN-CD.FP

22

CM=CN,

??.整理得:黑夸，

?;BC=3CD,

.BF3CD_.

??——J,

DFCD

:?BF=3DF,故③正確；

④如圖所示，在A。上取點Q,使得k二八2,

???NAF8=NAC8=60。，CF平分NBFD,

，ZBFD=120°.NCFD=-NBFD=60°,

2

為等邊三角形，

AZFCQ=60°,CF=CQ,

,/ZACB=60°,

ZACB+ZACF=NFCQ+ZACF,

ZBCF=^ACQ,

在和zMCQ中，

BC=AC

<NBCF=ZACQ

CF=CQ

J△比戶絳ACQ⑶S),

Z.BF=AQ,

VAQ=AF+FQfFQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正確；

綜上，①②③④均正確；

故選：A.

【點撥】本題考查等邊三免形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等邊三角形

的基本性質(zhì)，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補短的思想

等是解題關(guān)鍵.

2.A

【解析】

【分析】

由于已知兩個三角形是等提直角三角形并且構(gòu)成手拉手模型，所以連接30,CE,的延

長線交CE的延長線于0,AC交8。子”.根據(jù)中位線定理以及角的關(guān)系證明AP。?是等腰

直角三角形，再利用三角形的三邊關(guān)系求出PQ的范圍即可解決問題.

【詳解】

連接BO,CE,80的延長線交CE的延長線于。，AC交B0于H.

VAB=AC,AD=AE,NBAC=ND4石=90。，

：.ZBAD=ZCAE,

A△fiAD^VCAE,

:.BD=CE,ZABH=ZOCH,

*/ZAHB=NCH0,

???NO=NBA/7=90°,

:點P,Q，K分別是BC,DC.OE的中點，

PQ=gl3D,PQJ/BO,QR=*C,QR//CO,

BOLOC,

；.PQ±RQ,PQ=QR,

???△PQR是等腰直角三角形,

:?S&pQR=g.PQ)

VAB=5,AO=2,

A3<BD<7,

37

.\-<PQ<-,

22

.?.24PQ*竺,

828

???△PQR的面積不可能是8,

故選：A.

【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定

理等知識，添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【分析】

①由于△ABC和4CDE是等邊三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,從而

證出AACDg/XBCE,可推知AD=BE；

③由△ACD也4BCE得NCBE=/DAC,加之NACB=/DCE=60。，AC=BC,得至lj

△ACP^ABCQ(ASA),所以AP=BQ：故③正確；

②根據(jù)②^CQB絲ACPA(ASA),再根據(jù)NPCQ=60。掛出△PCQ為等邊三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；

④根據(jù)NDQE=NECQ+NCEQ=6(T+NCEQ,ZCDE=60°,可知NDQErNCDE,可知④錯

誤；

⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC〃DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCBE=NDEO,于是

ZAOB-ZDAC+ZBEC-ZBEC+ZDEO-ZDEC-600,可知⑤正確.

【詳解】

①丁等邊4ABC和等邊ADCE,

/.BC=AC,DE=DC=CE,ZDEC=ZBCA=ZDCE=60。，

AZACD=ZBCE,

在AACD和^BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE；DC=CE,

/.△ACD^ABCE(SAS),

.\AD=BE；

故①正確；

③?「△ACDqaBCE(已證)，

AZCAD=ZCBE,

NACB二NECD=60。(已證)，

:.ZBCQ=180°-60°x2=600,

/.ZACB=ZBCQ=60°,

在AACP與ABCQ中，

ZCAD=ZCBE,AC=BC：ZACB=ZBCQ=60°,

.,.△ACP^ABCQ(ASA),

???AP=BQ：

故③正確；

?VAACP^ABCQ,

APC=QC,

???△PCQ是等邊三角形，

,NCPQ=60。，

AZACB=ZCPQ,

???PQ〃AE：

故②正確；

?VAD=BE,AP=BQ,

AAD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE-ZECQ+ZCEQ-600+乙CEQ,ZCDE-60n,

AZDQE^ZCDE,

ADE/QE,

則DPRDE,故④錯誤;

@VZACB=ZDCE=60°,

，ZBCD=60°,

???等邊

ZEDC=60°=ZBCD,

，BC〃DE,

，NCBE=NDEO,

AZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，錯誤的結(jié)論只有④，

故選D.

【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，此圖形是典型

的“手拉手”模型，熟練掌握此模型的特點是解題的關(guān)鍵.

4.D

【解析】

【分析】

由S4S證明MOC=AB。/)得出NOC4=NOD3,AC=BD.①正確；

由全等三角形的性質(zhì)得出ZOAC=NOBD,由三角形的外角性質(zhì)得：

ZAMB+ZOAC=ZAOB+Z.OBD,得出=ZAOB=40°,②正確；

作OGJ.MC于G,OH1MB于H,如圖所示：則NOGC=NO"。=90。，由A4S證明

DOCG@DODH(AAS),得;HOG=O"，由角平分線的判定方法得出MO平分N8MC,④正

確；

由NAO3=NCO￡>,得出當(dāng)NZXW=N4OM時，OM才平分/3OC,假設(shè)NOOM=Z/UW.

由AAOC二ABOD得出？COW?BOM,由MO平分N8MC得出NCWO=N8WO,推出

DCOM@DBOM,得OB=OC,而04=04,所以O(shè)A=OC,而OA>OC,故③錯誤；即可

得出結(jié)論.

【詳解】

解：v^AOB=ZCOD=40n,

/.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

即ZAOC=ZBOD,

在A4OC和ABOQ中，

iOA=OB

\?AOC?BOD,

\oc=OD

：.AAOC=ABODiSAS),

:.NOCA=NODB,AC=BD,①正確；

/./OAC=/OBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOAC=ZAOB4-ZOBD,

:.ZAMB=ZAOB=40P,②正確；

作OG_LMC于G,?！盻1/38于〃，如圖2所示：

圖2

則NOGC=NO/70=9O。，

在AOCG和AODH中，

!?OCA?ODB

l?OGC1OHD,

|OC=OD

^OCG^^ODH(AAS),

:.OG=OH,

二.MO平分/BMC,④正確；

ZAOB=ZCOD,

當(dāng)NDOM=ZAOM時，?！辈牌椒諾BOC,

假設(shè)NZX)M=ZAOM

MOC=ABOD,

\?COM?BOM,

何。平分4BMC,

\2CMO2BMO,

在ACOM和M3OM中，

?COM?BOM

OM=OM,

?CMO?BMO

\DCOM@DBOM(ASA),

:.OB=OC,

\OA=OB

：.OA=OC

與。4>0。矛盾，

二③錯誤；

綜上所述，正確的是①②④；

故選：D.

【點撥】本題考杳了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的判定等知識,

熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)健.

5.65°

【解析】

【分析】

先判斷出AACDwABCE,再判斷出AACMwABCN即可得到C"平分即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：加圖，VZACB=ZDCE,

:.NACD=NBCE,

CA=CB

在AAC。和MCE中，,4。。=/BCE

CD=CE

:./^ACD=ABCE(SAS)；

過點。作CM_LA。「M,CNLBE+N,

?.?AACOwMCE,

/.4cAM=/CBN,

2cAM=/CBN

在AACM和bBCN中，/AMC=4BNC=90°

AC=BC

:.^ACM=^BCN,

:.CM=CN,

,_(CM=CN

在RtACMH與RtACNH中

CH=CH

/.RtACMH=RtACNH(HL),

.\ZMCH=ZNCHt

..CH平分

?.?AACONMCE,

NCAD=/CBE,

ZAFC=ABFH,

:.ZAHB=ZACB=50°f

ZA//F=180o-50°=130°,

/CHF=-/AHF=-x]30°=65°,

22

故答案為：65°.

【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中，注意掌

握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.①②③④

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△4BG且△4EC,然后艱據(jù)仝等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)BG、CE相交于點N,AC、8G相交于點K,如圖1,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NACE

=ZAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NCNG=/CAG=90。，于是可判斷②；過點

￡作￡。_1_44的延長線于P,過點G作GQJ_AM于Q,如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；

利用AAS即可證明^ABH9AEAP,可得七p=人〃，同理可證GQ=AH,從而得到EP=GQ,

再利用AAS可證明△石PMgAGQM,可得石M=GM,從而可判斷③，于是可得答案.

【詳解】

解：在正方形4BDE和4C/G中，AB=AE,AC=AG,/84E=NC4G=90。，

/.ZBAE+ZBAC=NCAG+N8AC,

即NC4E=N84G,

???△A4G0△4EC(SAS),

：.BG=CE,故①正確；

設(shè)伏；、C上相交于點N,AC'、AG相交于點K,如圖1,

G

ZACE=NAGB,

ZAKG=ZNKC,

，/CNG=NG4G=90。，

：.BG1CE,故②正確；

過點E作EP_L〃A的延長線于P,過點G作GQ_LAM于Q,如圖2,

3HC

圖2

VA/71BC,

，NABH+N8AH=90。,

VZBAE=90°,

???NEAP+N8A，=90°,

AZABH=ZEAP,即/￡4M=NA8C,故④正確;

???/4”6-/尸一90%AB-AEf

C.^ABH^^EAP(AAS),

:?EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：,EP=GQ,

???在△石?加和^GQM中，

NP=NMQG=90。

<NEMP=/GMQ,

EP=GQ

:.△EPMQ4GQM(AAS),

：,EM=GM,

???AM是△AEG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作

輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

7.3(-2。)n=+2>/J

【解析】

【分析】

過點A作x軸的垂線，垂足為E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OE和AE,再根據(jù)三線合一

得到OB即可；再連接BD,過點D作x軸的垂線，垂足為F,證明△OACgZXBAD,得到

ZCAD=ZCBD=60°,利用30。所對的直角邊是斜邊的一半以及點D的坐標(biāo)得到BF和DF

的關(guān)系，從而可得關(guān)于m和n的關(guān)系式.

【詳解】

解：如圖，過點A作x軸的垂線，垂足為E,

???△ABO為等邊三角形,A(-l,-V3),

/.0E=1,AE=75,

ABE=1,

AOB=2,即B(-2,0)；

連接BD,過點D作x軸的垂線，垂足為F,

VZOAB=ZCAD,

AZOAC=ZBAD,

VOA=AB,AC=AD,

/.△OAC^ABAD(SAS),

AZOCA=ZADB,

VZAGD=ZBGC,

.\ZCAD=ZCBD=60o,

???在ABFD中，ZBDF=30°,

VD(m,n),

DF=-m,DF=-n,

VB(-2,0),

BF=-m-2,

VDF=73BF,

/.-n=>/3(-m-2),

整理得：〃=+

故答案為：5(-2,0),n=^3m+2y/3.

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，仝等三角形的判定和

性質(zhì)，一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三用形，有一定難度.

8.①②④⑤

【解析】

【分析】

由“SAS'、'可證三兇CE,可得NCBE=/DAC,由“ASA”可得C?=CQ,利用全等三角

形的性質(zhì)依次判斷可求解.

【詳解】

解：???等邊AA8C和等邊ACOE,

/.AC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=60。，

:.ZACB+/BCD=NDCE+/BCD,即ZACD=ZBCE,

在A4CD與MCE中，

AC=BC

/ACD=ZBCE,

CD=CE

:./^ACD^^BCE(SAS),

:.^CBE=^DAC,

又?.?ZACB=/DCE=60°,

:.^CD=60°,HPZACP=ZBCQ,

又???AC=3C,

/.&CQBs^CPA(ASA),

:.CP=CQ,

又「NPCQ=60。,

.?.△PC。為等邊三角形，故④正確；

/.ZP(2C=ZZ)C￡=60o,

：.PQ//AE,故①正確;

vZmC+Z?l￡S=ZmC+ZADC=ZDC￡=60o,

ZAOE=120°,故②正確；

如圖，在AP上截取NQ2,連接CN,

?.?△CQ8三△CR4,

：.CP=CQ,NCPN=NCQO,BQ=AN,

:NPN"CQCKSAS),

：.CN=COf4BCN=KOCQ,

:.ZACN=ZBCO,NNCO=60。，

又???AC=BC,

/.MC/V=MCOiSAS),

:.BO=AN,

?.NM笫=&T，CO=CN,

??.&MCO是等邊三角形，

:.NO=CO,

:.AO=AN+NO=BO+CO,故⑤正確；

OC不一定垂直AE,

/.ZACO不一定等于/ECO,

ZBCO不一定等于/DCO,

.-.CO不一定平分NBCD,故③錯誤；

故答案為：①②④⑤.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角

形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（1）80；（2）△AEO是等邊三角形；（3）PE-PD=2AB.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知A￡=EC=￡D,再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得NE4C=NE。，

4EDC=/ECD,利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得NA￡￡>=2NAC8,由此求解即可;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出NA￡D=2NACB=60。即可證明△〃￡?￡）是等邊三角形；

（3）根據(jù)利用對稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當(dāng)PE-尸。的值最大時的，點位置,

再證明對稱點3kj4。兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)仝等模型即可證明

△ACD二△E。'。，從而可知PE—PD=PE—PD=ED=AC,再根據(jù)30。直角三角形性質(zhì)可

知AC=2AA即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）???點七為線段4C,CO的垂直平分線的交點，

AE=EC=ED,

/.Z￡4C=ZEG4,乙EDC=NECD,

JZEAC+/EDC=ZACE+ZECD=ZACD,

*/ZEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

/.2ZACD+ZAED=360°,

NACO+NAC4=180。，

ZAED=2ZACB,

???在AAYC中，Z^=90°.N8AC=5(T,

ZACB=4(r,

???ZAED=2Z4C^=80°,

故答案為：80°.

(2)①結(jié)論：中是等邊三角形.

證明：???在△A8C中，N8=90。，ZH4C=6O°,

JZACB=30°,

由(1)得：ZAED=2Z4C/?=60°，AE=EC=ED,

???△A￡D是等邊三角形.

②結(jié)論：PE-PD=2AB.

證明：如解圖1,取。點關(guān)于直線A/的對稱點連接P。、PD；

6

/?PU=PD.

-\PE-PDf\<Ery,等號僅尸、E、以三點在一條直線上成立,

如解圖2,P、E、M三點在一條直線上，

由（1）得：ZC4E+^EDC=ZACD,

又???ZCFD=ZCAE,

二?ZCFD+Z.CDE=ZACD,

又：Z4CD+ZACT=180°.ZCFD+ZCDE+ZPCD=180°，

，/PCD=ZACB=30。,

???點4點總是關(guān)于直線AF的對稱點，

/.CD=CD',AD'CD=2ZPCD=60。，

???△DC。是等邊三角形，

:.CD=DD,NCO0=6O。，

???△A￡D是等邊三角形，

AAD=ED,ZADE=60°,

ZADC+ND7M=^D'DA+/EDD,

???ZADC=/EDD',

在△ACT)和△EQZ)中，

AD=ED

<ZADC=NEDD、

CD=D'D

；?aACDvED'D(SAS)

???AC=EZ7,

PD=PD、

PE-PD=PE-Piy=Eiy=AC,

在△川(?中，ZB=90°.Z4CT=30°,

，AC=2AB,

???PE-PD=2AB

【點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三

角形性質(zhì)和判定等知識點，解題關(guān)鍵是利用對稱將尸石-叨轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系找到P

的位置，并證明對■稱點8與AD兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形.

10.(1)證明見解析；［2)60；(3)60；(4)60；

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，得/4HC=NOBE=60。，從而得ZABE=/DBC；通過證明,

得NBAE=NBCD；通過證明△8AW也4BCN,得BM=BN,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分析，

即可完成證明：

(2)結(jié)合題意，通過證明.ABC為等邊三角形，得NZMC=N4C4=60。；結(jié)合(I)的結(jié)論,

根據(jù)三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得448=120。，從而完成求解；

(3)同理，通過證明aABC為等邊三角形，得NBAC=ZBCA=60°；通過證明△AB-^CBD,

得NBAE=NBCD；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得NAOD=120。，從而完成求解：

(4)根據(jù)題意，通過證明△A8C為等邊三角形，推導(dǎo)得NA8E=NC8D,通過證明

△ABE^ACBD、得NBAE=NBCD,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

(1)VZABC=ZDBE=600

：?/MBN=180。-ZABC-NDBE=析,ZABE=ZABC+/MBN,/DBC=/DBE+NMBN

:.ZABE;QBC

'：BA=BC,BD=BE

△A/?/?和AC8D中

BA=BC

/ABE=NDBC

BE=BD

：?AABE^CBD

，ZBAE=ZBCD

△BAM和ABC7V中

NBAE=NBCD

?AB=BC

ZABC=ZA/^V=60°

：?&BAM%BCN

JBM=BN

J△8WN為等邊三角形；

(2)VZABC=ZDBE=f)0\BA=BC

???△ABC為等邊三角形；

???ZBAC=ZBC4=60°

根據(jù)題意，AE和C。相交于點O

?/ZBAE=ZBCD

???ZAOD=ZOAC+ZACO=ZOAC+/BCA+/BCD=ZOAC+NBCA+NBAE

ZOAC+ZBAE=ZBAC

，ZAOD=ABAC+/BCA=120°

，ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直線4E和CO的夾角是60。

故答案為：60；

(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

???△ABC為等邊三角形；

，Za4C=Z^C4=60°

?:ZABE="BC+/MBN,NDBC=/DBE+NMBN,NABC=/DBE=6。。

，ZABE=/DBC

'：BA=BC,BD=BE

△ABE和△C8O中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

:?AABE'CBD

:./BAE:/BCD

如圖，延長AE,交CO于點O

???ZAOD=zLOAC+^ACO=ZOAC+NBCA+々BCD=ZO4C+"CA+NBAE

IZOAC+ZBAE=ABAC

，ZAOD=Z.BAC+/BCA=120°

/.ZAOC=1800-ZAOD=60°,即直線人E和CO的夾角是60。

故答案為：60；

(4)*：BA=BC,

/.NAC8=NC48

?/NACB=6()°

'ZACB=ZC4B=60°

???△ABC為等邊三角形

?:BD=BE,NABC=/DBE

???NOBE=60。

*/ZABE=ZABC—/CBE,NCBD=NDBE—NCBE

，ZABE=NCBD

△ABE和△C8。中

BA=BC

，NABE=NDBC

BE=BD

，△人“啟￡6。

，/BAE=/BCD

分別延長CD、AE,相較于點O,如下圖:

???ZAOF=ZOAC+ZACO=ZOAC+ZI3CA+/BCD=ZOAC+ABCA+/BAE

?「NOAC+/BAE=NBAC

JZAOF=ZBAC+NBCA=120°

???ZAOC=180°-ZAOF=60°,即直線AE和CQ的夾住是60。

故答案為：60.

【點撥】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、全等三角形、補角、三角形外角的知識；解

題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形、全等三角形、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解.

11.(1)BD1AC,I3D=ACi(2)BDA.AC,BD=AC；(3)60°.

【解析】

【分析】

(1)先判斷;l1N%7)=NAh；C=9U\再判定或:三ACAE,再判斷乙43+NC4上=90。，

(2)先判斷出正C,再得到同理(1)可得結(jié)論;

(3)先判斷出=再判斷出△3包＞三”止C,最后“?算即可.

【詳解】

解：(1)8。與AC的位置關(guān)系是：BD1AC,數(shù)量關(guān)系是80=47.

理由如下：

如圖1,延長30交AC于點F.

圖1

AEJ.8C于E,

/.^BED=ZAEC=9(r.

?:AE=BE,DE=CE,

:^DBE=ACAE,

：.BD=AC,4DBE=4CAE、4BDE=/ACE.

?;/BDE=ZADF,

:.ZADF=ZACE.

-AE1BC

/.ZACE+ZC4E=90°,

ZADF+ZCAE=9(r,

：.BD±AC.

(2)80與AC的位置關(guān)系是：I3DA.AC,數(shù)量關(guān)系是陰)=AC.

如圖，線段AC與線段5。交于點F,線段4E與線段4。交于點G,

ZAEB=ZDEC=90°.

/.ZAEB+ZAED=ZDEC+ZAED,

即N8ED=ZAEC.

VAE=BE^DE=CE,

:^BED=&j\EC,

；.BD=AC,NDBE=NCAE.

'：AELBC

/.NO8E+ZBGE=90°,

又〈/FGA=NBGE

:.ZFGA+ZCAE=9（r,

.'.BDA.AC.

（3）如圖，線段AC與線段4。交于點A

?.?AABE和ADEC是等邊三角形，

:.AE=BE,DE=EC,"DC=NDCE=60。，NBEA/DEC=&甲，

4EA+ZAED=ZDEC+ZAED,

：.ZBED=ZAEC,

在△BED和△AEC中,

BE=AE

</BED=NAEC

DE=EC

:.BED=^AEC,

，NBDE="CE,

"ED+ZACD=ZACE+ZACD=60°,

/.ZDFC=180°-(NEDC+NBDE+ZACD)=600

.?.8。與AC的夾角度數(shù)為60。.

【點撥】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì),

判斷垂直的方法，解本題的關(guān)鍵是判斷^DBE=AC4E.

12.(1)①90；②80；(2)①。+0=180。，理由見解析；②圖見解析，。+n=180。或”=夕

【解析】

【分析】

、(1)①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NABC=NAC8=45。，由“SAS'可證

可得/4BC=N4CE=45。，可求NBCE的度數(shù)；

②由等腰三角形的性質(zhì)求出NABO=NAC8=40。，由“S4?，可證^AB。名△ACE得出/ABQ

=ZACE=40°,則可得出結(jié)論；

(2)①由“SAS'可證△A8D@A4CE得出/A8Q=NAC￡,再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)

論；

②分兩種情況畫出圖形，由“S人S'可證△"/注AACE得出NABQ=NACE,再用三角形的

內(nèi)角和即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)①??泡8=4。，N8AC=90°,

,NA8C=NAC8=45。，

ZDAE=ZBAC,

：.ZBAD=ZCAEf

*：AB=AC,AD=AEf

:ZkV恒XCAE(SAS)

/.NABC=N4CE=45。，

???4BCE=/ACB+NACE=90。,

故答案為：90；

②???/胡。=100。，AB=AC,

，NABO=NACB=40。，

*：ZBAC=ZDAE,

：,ZBAD=ZCAE,

在△A3。和△ACE中，

*：ZBAD=ZCAEf

*：AB=AC,AD=AE,

???△ABOgZXACE(SAS),

???/4B/)=NACE=40。，

，/BCE=ZACE+ZAC￡=40°+40°=80°,

故答案為：80.

(2)?a+p=180°,

理由：?：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

^ZBAD=ZCAE.

在△ABC與△ACE中，

AB=AC

<NBAD=ZCAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

：.ZB=ZACE.

JNB+NACB=ZACE+ZACB.

*/ZAC￡+ZACB=P，

：,ZB+ZACB=P，

Va+ZB+ZACfi=180°,

/.a+p=l80°.

②如圖I：當(dāng)點。在射線BC上時，a+p=180°,

連接CE,

A

圖1

VZfiAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE,

在△A3。和△AC￡中，

AB=AC

<N3AD=ZCAE,

AD=AE

/.△ABD^AACE(SAS),

，ZABD=ZACE,

在△ABC中，ZBAC+ZB+ZACB=180°,

ZBAC+ZACE+ZACB=ZBAC+ZBCE=\^()°,

BP：/8CE+NBAC=l8()c,

/.a+p=l80°,

如圖2：當(dāng)點。在射線8C的反向延長線上時，a=p.

連接BE,

圖2

VZBAC=ZDAE,

:./BAD=/CAE,

又'mAC,AD=AE,

:.XABDm4ACE(SAS),

:?NA8D=NACE,

NABD=ZACE=NACB+NBCE,

：.NARQ+NARC=ZACE+ZABC=NACB+NBCE+NABC=180。,

*/ZBAC=1800-ZABC-ZACB,

：,ZBAC=ZBCE.

.*.a=p；

綜上所述：點。在直線8c上移動，a+p=180?；騛=p.

【點撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，

掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是關(guān)鍵.

13.(1)68。；(2)見解析；(3)36

【解析】

【分析】

(1)由已知條件口「得/O=NC=45。，對頂角4。。=NC。尸，則ND4C=NO"\根據(jù)

ZDAE=ZCAB即可的NDFC=NBAE：

(2)過點A作ME的垂線交EM的延長線于N,證明gE8/\BNA,得AE=進而可得

AD=NB,再證明/\DAMWABNM即可得證點M為AD中點；

(3)延長AG至K,使得GK=AG=9,連接CK,設(shè)AE交BC于點P,先證明

△A8比△ACD,進而證明△4EG0Z\KCG,根據(jù)角度的計算以及三角形內(nèi)角和定理求得

ZBAD^ZKCA,進而證明"8。匕△C4K,再根據(jù)NCAG=NAIC=90。.證明

A"_L2。，根據(jù)已知條件求得S.ABD最后證明S*=S》BD即可.

【詳解】

(1)設(shè)。尸交AC于。,如圖1,

圖1

???△A8C是等腰RbABC和&4PE是等腰Rt^ADE

ZD=ZC'=45°

ZAQD=ZCQF

ZDAQ=180—NO—ZAQO,/QFC=180-ZC-ZCQF

：.ZDAQ=^QFC

ZBAC=ZE4D=90°

即/BAE+ZEAQ=公AQ+ZQAD

NBAE=NQAD

NDFC=NBAE

?/N84石=68。

/.ZDFC=68°

故答案為68。

（2）如圖2,過點8作ME的垂線交EM的延長線于N.

NN=90。

vZAEC=90°

.\ZN=ZAEC

?.?NBAC=90。

ZE4C+ZM4B=90°

^NAC+ZACE=90°

小AB=NECA

???aABC是等腰陽△ABC和是等腰Rt^ADE

AB=AC,AD=AE

又???AC=AB

AAEgABNA

:.NB=AE

VAE=AD

AD=NB

?/ZDAE=90°

：.ZDAM=90°

：.^DAM=ZN

又?；々MA=NBMN

「.△DAM四△8VM

DM=BM

即M是8。的中點

(3)延長4G至K,使得GK=AG=9,連接CK,設(shè)立E交8C于點P,如圖

ZBAC=^EAD=90°

即ZBAE+NEAC=ZEAC+ZCAD

：.ZBAE=ZCAD

???△A8c是等腰孜dBC和。。6是等腰R&DE

AB=AC.AE=AD

在AABE與ZVIC。中，

AE=AD

<NBAE=/.CAD

AB=AC

???/\ABE/^ACD(SAS)

SAABE=S△,8。，BE=CD

???G點是EC的中點

:.EG=GC

vZAGE=ZKGC,AG=GK

../^AGE^/^KGC(SAS)

/.AE=CK、/AEG=/KCG

/.AE=KC=AD.

ZACK=ZACB+/BCE+NKCG

=45°+ZAEC+NBCE

=45°+ZABC+ZBAP

=90°+ZBAE

=4AD

/\AKC^/\ARD(SAS)

.-.BD=AK=\S,ZCAK=ZABD

ZBAG+ZC4G=90°

.?.NAM+N84G=90。

即ZAHB=90°

vAG=9,HG=5

/.AH^AG-HG-9-5^4

:.S..RD=-BDAH=-X]SX4=36

~S&AEG+S&GC=S&GCK+^zMGC=S8ACK~^Z\ABD=36

*,^aAEC=36

【點撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理,

三角形外角性質(zhì)，構(gòu)造輔劭線是解題的關(guān)鍵.

14.(1)CD=BE,理由見解析；(2)90：(3)存在，。。長的最大值為5,NAC8的大

小為120。

【解析】

【分析】

(I)通過證明△AP&AA8石即可得到CQ與8E的數(shù)量關(guān)系；

(2)以A8為腰向」:作等腰直角△ANG,連接GC,通過證明△AGCWAA/S。即可得到

BD=GC,再根據(jù)RSABG、Rl"CG運用勾股定理求出G