絕密★啟用前試卷類型：考研數(shù)學(xué)2024年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(二)(科目代碼：302)考生注意事項1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。2.考生須把試題冊上的“試卷條形碼”粘貼條取下，粘貼在答題卡的“試卷條形碼粘貼位置”框中。不按規(guī)定粘貼條形碼而影響評卷結(jié)果的，責(zé)任由考生自負。3.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題冊上答題無效。4.填(書)寫部分必須使用黑色字跡簽字筆或者鋼筆書寫，字跡工整、筆記清楚；涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。5.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。6.本次考試時長為3小時。(以下信息考生必須認真填寫)考生編號考生姓名2024年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)二試題及解答【解析】f(x)的所有間斷點為0,1,2.且不難得到,則,則【解析】首先有,當(dāng)x=2時，t=1,于是所以【解析】對于A和C選項可取反例an=2(-1)”,對于B選項可取反例an=(-1)”,正確答案選D.實際上設(shè),則an=g(bn).如果b收斂于b,則an=g(b)收斂于g(b),矛盾，所以{bn}發(fā)散.5.已知函數(shù),則在點(0,0)處【解析】在點(0,0)處有同理有f(0,0)=0,于是有所以f(x,y)在點(0,0)處可微.而當(dāng)xy≠0【解析】(3)若收斂，則存在p>1,使極限存在；【解析】對于命題(1),取,則收斂，但發(fā)散判別法可知收斂，命題(2)正確.對于命題(3),取收斂，但不存在p>1,使得存在.選B.8.設(shè)A為3階矩陣，,若則A=()【解析】由于,所以【解析】首先A不可逆且A≠0,否則A=A*,矛盾.于是AA*=|A|E=0,那么A(A-A*)=A2=0,所以r(A)+r(A)≤4→r(A)≤2,即r(A)=1或2.并且可以分別取(A)充要條件(B)充分不必要條件【解析】如果α是A的特征值λ對應(yīng)的特征向量，即Aα=λα,那么ABα=BAα=λBα.如果Bα=0,則α是B的特征值0所對應(yīng)的特征向量；如果Bα≠0,則Bα是矩陣A的特征值λ對應(yīng)的特征向量，但λ二、填空題，11～16題，每題5分，共30分.11.曲線y2=x在點(0,0)處的曲率圓方程為【解析】將曲線看成函數(shù)x=y2,那么曲線在點(0,0)處曲率為12.函數(shù)f(x,y)=2x3-9x2-6y?+12x+24y的極值點為極值點.當(dāng)(x,y)=(2,1)時，A=fc(2,1)=6,B=f"(2,1極值點.13.微分方程滿足初始條件y(1)=0【解析】令u=x+y,則y=u-x,y=u'-1,于x=u-arctanu+C,即x=x+y-arctan(x+y)+C,y=arctan(x+y)-C.14.已知函數(shù)f(x)=x2(e?-1),f(5)(x)=(e?+1)?x2+5(e?+1)(4).2x+10(e+1)3).于是f?(1)=3le.15.某物體以速度v(t)=t+ksinπt做直線線性無關(guān)，則ab=【解析】首先由α1,α3線性無關(guān)可知a≠1.對向量組(α1,α2,α3)進行初等行變換可得由條件有r(α1,α2,α3)=2,于是a+2=0,a+b=0,即a=-2,b=2,且此時α1,α2,α3兩兩線性無關(guān)，于是ab=-4.三、解答題，17～22題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(本題滿分10分)設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線與直線圍成，計算【解析】積分區(qū)域關(guān)于直線y=x對稱，由輪換對稱性有于是18.(本題滿分12分)設(shè)y=y(x)滿足方程x2y"+xy-9y=0,且ylx=1=2,y'|x=1=6.(1)利用變換x=e化簡方程，并求y(x)的表達式；(2)求【解析】(1)由于x=e',則t=Inx,于是代人原方程可得于是方程的通解為y=C?e31+C?e-3?=C?x3+C?x-3.-2tdt,于是原積分設(shè)t>0,求曲線y=√xe?與直線x=t,x=21及x軸所圍平面圖形，繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為V(t),求V(t)的最大值.20.(本題滿分12分)(1)求(2)若,且,求f(u,v)的表達式.【解析】(1)由于g(x,y)=f(2x+y,3x-y),那么由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得代人原方程可得25f12=1,所以所以所以,那么,所以21.(本題滿分12分)如果存在xo∈(0,1),使得g(xo)>0,那么由拉格朗日中值定理可知，存在ζ∈(0,xo),ξ2∈(xo,1),使得進一步存在ζ∈(51,ξ2),使得矛盾.因此對任意x∈(0,1),都有g(shù)(x)≤0,即同理還有綜合起來即(2)將不等式在[0,1]上積分，注意到于是即22.(本題滿分12分)設(shè)矩陣兩個方程組不同解.(1)求a,b的值；(2)求正交矩陣x=Qy將f(x?,x?,x?)化為標(biāo)準(zhǔn)形.對進行初【解析】(1)由題意