高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)研究：導(dǎo)數(shù)（26）含絕對值的導(dǎo)數(shù)第五章函數(shù)模型第三節(jié)含絕對值的導(dǎo)數(shù)壓軸方法與定理:（1）整體絕對值：考慮端點(diǎn)函數(shù)值和極值的絕對值大小;局部絕對值:分類討論去絕對值.注:二次函數(shù)的對稱軸即為極值橫坐標(biāo)（2）絕對值不等式:aa（3）解不等式:fx>f一、整體絕對值方法:一般是比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值和極值的絕對值大小。1.fx=x解:f當(dāng)a≤0時(shí),f′x≤當(dāng)a≥1時(shí),f′x≥當(dāng)0<a<1,由當(dāng)x∈0,x1,fx極大值fx1故fx從而fx1當(dāng)又故當(dāng)23≤a<又所以當(dāng)23≤a<當(dāng)34≤a<綜上,ff2.已知函數(shù)fx(I)求曲線y=(II)當(dāng)x∈?2(III)設(shè)Fx=fx?x+aa∈R解:(I)由fx=1令f′x=1,即34x2所以曲線y=fx的斜率為1的切線方程是y=x與y(II)令gx=fx?令g′x=0得x??00884g+?+g?70y?↗0所以gx的最小值為-6,最大值為0.故?6≤(III)由(II)知,當(dāng)a<?3時(shí),當(dāng)a>?3時(shí),Ma≥F綜上,當(dāng)Ma最小時(shí),a二、局部絕對值方法:以分類討論的方法去絕對值1.x2+2+x解:x2+分類討論即可:當(dāng)2<x由單調(diào)性可得fxmin【同源練習(xí)】fx=?xlnx+ax在0,e上單調(diào)遞增,g解:當(dāng)a≥3時(shí),則ex<a,所以gx=a?當(dāng)2≤a<3x∈lna因?yàn)閍≥2,所以?a+a2.f（1）若fx在?1,1（2）設(shè)b∈R,若fx+b解:(1)當(dāng)x≥a所以x①a≤?1時(shí),因?yàn)?1≤x所以Ma=②?1<a<1x?1,所以M因?yàn)閒1?f?13<③a≥1時(shí),有x≤所以M（2）令?x=x因?yàn)閒x+b2≤4對由(1)得①a≤?1時(shí),?x最大值為?1=則?4?3a+b≥?2且4?3a+令ta=?ta在0,13③13<a<則a3+b≥?④a≥1時(shí),最大值?則3a+b?2綜上,3a3.a>0,fx解:由x∈1①當(dāng)a≥2fx在1,e2單調(diào)遞減,所以fx②當(dāng)0<a<2時(shí),若1≤所以fxmax=f若ea<x≤e2又gx=ex當(dāng)ea<x<得a≥e又e22e24.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)fx（1）若f0≤1（2）討論fx（3）當(dāng)a≥2時(shí),討論fx(1)f0=a2當(dāng)a≤0時(shí),0≤1,顯然成立;當(dāng)a>0綜上所述,a的取值范圍是a≤(2)f對于u1=x所以fx在a對于u1=x所以fx在?∞,綜上,fx在a,+∞上單調(diào)遞增,在（3）由(2)得fx在a,+∞上單調(diào)遞增,在0,(i)當(dāng)a=2令fx+4因?yàn)閒x在0,而y=?4x在0,2上單調(diào)遞增,y<f當(dāng)x≥2時(shí),fx=xx?22x+1=0,因?yàn)閤≥(ii)當(dāng)a>2時(shí),當(dāng)x∈0,a時(shí),f0=2a當(dāng)x=a時(shí),y=?4a因?yàn)閍所以fa=a?a綜上,當(dāng)a=2時(shí),fx+4x有一個(gè)零點(diǎn)x=2;當(dāng)a>2,y=fx與y5.已知a>0,（1）證明:當(dāng)0≤①函數(shù)fx的最大值為2a②fx（2）若?1≤fx≤解:(1)證:①f當(dāng)b≤0時(shí),有f′x≥當(dāng)b>0此時(shí)fx在0,b6a上單調(diào)遞減,在f②由于0≤x≤f當(dāng)b>2a>設(shè)gx=2x00331g-0+g1單調(diào)減極小值單調(diào)增1所以,g所以當(dāng)0≤x≤1（2）解:由①知,當(dāng)0≤x≤若2a?b所以?1≤f2a?在直角坐標(biāo)系aOb中,①表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示陰影部分,其中不包括線段BC作一組平行直線a+b=tt∈R三、不等式性質(zhì)1.設(shè)函數(shù)fx=αcos的最大值為A.(I)求f′x;(II)求A;(III)證明解:(I)f′(II)當(dāng)a≥1因此,A=3a?2.當(dāng)0<令gt=2at2+a?1且當(dāng)t=1?a4a令?1<1?a(i)當(dāng)0<a≤15時(shí),gt在?1(ii)當(dāng)15<a<1又g1?a綜上,A(III)由(I)得f′當(dāng)0<a≤當(dāng)15<a<1當(dāng)a≥1時(shí),f′2.已知定義在0,1上的函數(shù)①f0②對所有x,y∈0,若對所有x,y∈A.12B.14C.1不妨設(shè)0≤y≤x≤當(dāng)12<≤=3.設(shè)函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fsinx在（2）記f0x=x2?a解:(1)fsinf因?yàn)?π2<①當(dāng)a≤?2,②當(dāng)a≥2,③當(dāng)?2<a<2,在??π2<x≤x0因此,?2<a<2,b（2）?πf當(dāng)a0?a當(dāng)a0?a由此可知,函數(shù)fsinx?f01.已知x?a2?lnx解:顯然x∈(0,1即x∈(1fx單調(diào)遞增,g五、絕對值函數(shù)的處理辦法(一)極值點(diǎn)、端點(diǎn)值取最值帶有絕對值的函數(shù)其最值往往在極值點(diǎn)、端點(diǎn)值處取到1.a為實(shí)數(shù),fx=x2?ax在區(qū)間0,有題意可得ga即可得到1?a=a2(二)端點(diǎn)效應(yīng)定義:fx=ax1.a∈R,y=x解:令x+4x那么必有yt=4=注:含有絕對值的一次函數(shù)可以直接選取其端點(diǎn)值的中點(diǎn),那么我們討論這個(gè)中點(diǎn)與a的關(guān)系即可。當(dāng)a=92時(shí),恒成立;當(dāng)a(四)曲直分開,轉(zhuǎn)而高度差盡管這種做法屬于切比雪夫最佳逼近定理,但是為了考慮到大多數(shù)同學(xué)的程度以及不超綱的原則,我們先介紹這種做法,即分成一個(gè)曲線和直線,我們?nèi)ふ移涓叨炔罴纯伞６P(guān)于切比雪夫最佳逼近定理,我們在后文會(huì)詳細(xì)闡述。1.fx=2x?ax?使得fx0≥f轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的高度差maxfmin{maxfx2.fx=x3?6x2+ax+bf令gx=由g′x=3x?1又若對任意實(shí)數(shù)a和b,總存在x0∈那么x∈0①當(dāng)9?a=0時(shí),a由于gx∈0,4,則②當(dāng)9?a>0時(shí),a<9則f3=若?1<2,則③當(dāng)9?a<0則f0=若?1<2,則綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=93.fx=x3?6x2+ax+解:令gx=x3連接直線AB,直線AB的斜率為-9,g因此在x=1處的切線y=?故取a=9,b=?證明:f故而f(四)最值定理若fx在區(qū)間m,易知函數(shù)fx與參數(shù)b的距離最大值的最小值是當(dāng)b其中,當(dāng)b=0時(shí),fx在區(qū)間1.fx=x2+ax+ba、minMa,min故原不等式恒成立(五)切比雪夫最佳逼近定理fx在m,n上連續(xù),E=max若實(shí)數(shù)x0∈m,n滿足fx0?ax0若集合A={gxmaxx∈mfx的最佳逼近直線