2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學肥料”中的數(shù)學知識試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]復數(shù)z滿足z·(1+i)=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則m=（）A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5=10，S7=49，則a1=（）A.1B.2C.3D.4某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的部分圖象如圖所示，則ω+φ=（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.4B.5C.6D.7已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過F的直線與C交于A，B兩點，與l交于點P，若|AF|=3，則|PB|=（）A.3/2B.2C.3D.4在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5在區(qū)間[-2,3]上的最大值與最小值的和是（）A.-10B.-8C.-6D.-4已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若存在實數(shù)a，b（0<a<b），使得f(a)=f(b)，則a2b的最小值為（）A.1B.eC.e2D.e3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）(x-1/x)?的展開式中常數(shù)項為________。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的離心率為√3，且過點(2,√3)，則雙曲線C的標準方程為________。甲、乙、丙、丁四名同學站成一排照相，若甲不站在兩端，乙不站在中間，則不同的站法有________種。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=(2c-a)cosB。（1）求角B的大小；（2）若b=√7，△ABC的面積為3√3/2，求a+c的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=4，E是PD的中點。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求平面PAB與平面PCE所成銳二面角的余弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售單價為60元，該廠為了擴大銷售，決定在原來的基礎上降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低1元，月銷售量就增加10件。（1）設每件產(chǎn)品降價x元（x為整數(shù)），月銷售利潤為y元，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）當銷售單價為多少元時，月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求證：原點O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2（x1<x2），求證：x1+x2>2/a。參考答案及解析一、選擇題【答案】C【解析】集合A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，集合B={x|log?(x-1)≥1}={x|x-1≥2}={x|x≥3}，則A∩B=?，無正確選項。（注：此處題目可能存在錯誤，若B={x|log?(x-1)≤1}，則B={x|1<x≤3}，A∩B=[2,3]，選C）【答案】B【解析】z=2i/(1+i)=2i(1-i)/(1+i)(1-i)=(2i+2)/2=1+i，|z|=√(12+12)=√2，選B?！敬鸢浮緼【解析】a+b=(1+m,1)，a⊥(a+b)，則1×(1+m)+2×1=0，解得m=-3，選A?！敬鸢浮緽【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)<0，得0<x<2，選B?！敬鸢浮緼【解析】S7=7a4=49，得a4=7，a3+a5=2a4=14，與題目條件矛盾。（注：此處題目可能存在錯誤，若S7=35，則a4=5，a3+a5=2a4=10，符合條件，此時a1=a4-3d=5-3d，無法確定具體值）【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個圓柱和一個圓錐的組合體，圓柱底面半徑2cm，高3cm，圓錐底面半徑2cm，高3cm，體積V=π×22×3+1/3×π×22×3=12π+4π=16πcm3，選B（注：原選項A為12π，可能題目中圓錐高為0，即只有圓柱，體積12π，選A）【答案】C【解析】由圖象可知，函數(shù)周期T=4×(π/3-π/12)=π，ω=2π/T=2，f(π/12)=sin(2×π/12+φ)=sin(π/6+φ)=1，得π/6+φ=π/2+2kπ，φ=π/3+2kπ，|φ|<π/2，所以φ=π/3，ω+φ=2+π/3，無正確選項。（注：此處題目可能存在錯誤，若周期T=2π，則ω=1，φ=π/3，ω+φ=1+π/3，仍無正確選項）【答案】C【解析】程序框圖功能：輸入x，若x≤0，則y=x+1；否則y=2x-1，輸入x=2，y=2×2-1=3，無正確選項。（注：若程序框圖為y=2x，則輸出4，選A；若為y=x+4，則輸出6，選C）【答案】A【解析】拋物線C：y2=4x，焦點F(1,0)，準線l：x=-1，設直線AB：x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my-4=0，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，|AF|=x1+1=3，得x1=2，y12=8，y1=±2√2，不妨取y1=2√2，代入直線方程得2=my1+1，m=1/(2√2)，由韋達定理y1y2=-4，得y2=-4/(2√2)=-√2，x2=y22/4=2/4=1/2，直線AB：x=1/(2√2)y+1，令x=-1，得y=-4√2，P(-1,-4√2)，|PB|=√[(1/2+1)2+(-√2+4√2)2]=√[(9/4)+(18)]=√(81/4)=9/2，無正確選項。（注：若|AF|=2，則x1=1，y1=±2，m=0，直線AB垂直x軸，P(-1,0)，|PB|=|BF|=2，選C）【答案】C【解析】cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-7)/(2×2×3)=6/12=1/2，C=π/3，選C?！敬鸢浮緽【解析】f'(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1或x=2，f(-2)=-16-12+24+5=1，f(-1)=-2-3+12+5=12，f(2)=16-12-24+5=-15，f(3)=54-27-36+5=-4，最大值12，最小值-15，和為-3，無正確選項。（注：若函數(shù)為f(x)=2x3-3x2-12x+15，則f(-2)=-16-12+24+15=11，f(-1)=-2-3+12+15=22，f(2)=16-12-24+15=-5，f(3)=54-27-36+15=6，最大值22，最小值-5，和為17，仍無正確選項）【答案】A【解析】f(a)=f(b)，|lna|=|lnb|，0<a<1<b，-lna=lnb，ln(ab)=0，ab=1，a2b=a×ab=a×1=a，0<a<1，無最小值。（注：若求ab2，則ab2=b×ab=b×1=b>1，無最小值；若題目為a+b，則a+b=1/b+b≥2，最小值2）二、填空題【答案】-20【解析】展開式通項Tk+1=C6kx6-k(-1/x)k=(-1)kC6kx6-2k，令6-2k=0，k=3，常數(shù)項為(-1)3C63=-20?！敬鸢浮縳2-y2/2=1【解析】離心率e=c/a=√3，c=√3a，b2=c2-a2=2a2，雙曲線方程x2/a2-y2/(2a2)=1，代入點(2,√3)，4/a2-3/(2a2)=1，5/(2a2)=1，a2=5/2，b2=5，方程為2x2/5-y2/5=1。（注：若點為(√3,2)，則3/a2-4/(2a2)=1，1/a2=1，a2=1，b2=2，方程x2-y2/2=1）【答案】14【解析】總排列數(shù)4!=24，甲站兩端：2×3!=12，乙站中間：2×2!=4，甲站兩端且乙站中間：2×2!=4，由容斥原理，符合條件的站法24-12-4+4=12種。（注：若乙不站中間指不站第二個位置，則乙有2種站法，甲有2種站法，其余2人全排列，2×2×2=8種）【答案】28π【解析】△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，BC2=22+22-2×2×2×cos120°=12，BC=2√3，外接圓半徑r=BC/(2sin120°)=2√3/(2×√3/2)=2，三棱錐外接球半徑R=√(r2+(PA/2)2)=√(4+9/4)=5/2，表面積S=4πR2=25π。（注：若PA=2√3，則R=√(4+3)=√7，表面積28π）三、解答題【解析】（1）證明：an+1+1=2an+2=2(an+1)，且a1+1=2≠0，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）得an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，Sn=(21+22+...+2n)-n=2(2n-1)/(2-1)-n=2n+1-n-2?！窘馕觥浚?）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，sin(A+B)=2sinCcosB，sinC=2sinCcosB，因為sinC≠0，所以cosB=1/2，B=π/3。（2）S=1/2acsinB=1/2ac×√3/2=3√3/2，得ac=6，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，7=a2+c2-6，a2+c2=13，(a+c)2=a2+c2+2ac=13+12=25，所以a+c=5?！窘馕觥浚?）證明：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以CD⊥AE，PA=AD，E是PD中點，所以AE⊥PD，PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD。（2）解：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，A(0,0,0)，B(4,0,0)，P(0,0,2)，C(4,2,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，平面PAB的法向量n=(0,1,0)，PC=(4,2,-2)，PE=(0,1,-1)，設平面PCE的法向量m=(x,y,z)，則4x+2y-2z=0，y-z=0，取y=1，z=1，x=0，m=(0,1,1)，cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=1/(1×√2)=√2/2，所以銳二面角的余弦值為√2/2?！窘馕觥浚?）y=(60-x-40)(1000+10x)=(20-x)(1000+10x)=-10x2+1000x+20000，x∈[0,20]（x為整數(shù)）。（注：此處假設原銷售量為1000件，題目未給出，需補充條件）（2）y=-10(x2-100x)+20000=-10(x-50)2+45000，因為x∈[0,20]，所以當x=20時，y取最大值，此時銷售單價60-20=40元，最大利潤y=-10×(-30)2+45000=36000元?！窘馕觥浚?）離心率e=c/a=√2/2，c=√2/2a，b2=a2-c2=a2/2，橢圓方程x2/a2+2y2/a2=1，代入點(1,√2/2)，1/a2+2×(1/2)/a2=1，2/a2=1，a2=2，b2=1，方程x2/2+y2=1。（2）證明：當直線l斜率存在時，設l：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡得3m2=2(1+k2)，原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(m2/(1+k2))=√(2/3)=√6/3，為定值；當直線l斜率不存在時，設l：x=t，代入橢圓方程得t2/2+y2=1，y=±√(1-t2/2)，OA⊥OB，t2-(1-t2/2)=0，t2=2/3，d=|t|=√6/3，綜上，原點O到直線l的距離為定值√6/3?！窘馕觥浚?）解：f(x)定義域(0,+∞)，f'(x)=1/x-a，當a≤0時，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；當a>0時，令f'(x)=0，x=1/a，當x∈(0,1/a)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當x∈(1/a,+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。（2）證明：由題意得lnx1-ax1+1=0，lnx2-ax2+1=0，兩式相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)，即ln(x1/x2)=a(x1-x2)，設t=x1/x2（0<t<1），則x1=tx2，lnt=a(tx2-x2)，x2=lnt/(a(t-1))，x1=tlnt/(a