專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 3題型三：插入新數(shù)混合 4二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓練 5一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)是不是數(shù)列的項？若是，它是的第幾項？若不是，說明理由．例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列和其前n項和滿足.(1)求的通項公式；(2)在和之間插入m個數(shù)，使得這個數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，設此等差數(shù)列的公差為，求滿足的正整數(shù)m的最小值.例題4．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項和為，且.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題1．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中抽取部分項（按原來的順序）構(gòu)成一個新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當?shù)捻?，使它們一起能?gòu)成一個首項為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項前（不含）插入的項的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820例題2．（2023·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于.例題3．（2023·高二課時練習）設，在a，b之間插入個實數(shù)，，…，，使得這個數(shù)成等差數(shù)列，則有結(jié)論成立．若，在a，b之間插入個正數(shù)，，…，，使得這個數(shù)成等比數(shù)列，則有相應的結(jié)論成立．例題4．（2023·全國·高二專題練習）回答下面兩個問題(1)在等差數(shù)列中，已知，，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.(1)計算，猜想數(shù)列的通項公式并加以證明；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．其中是數(shù)列的前項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，求的前100項和．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）為數(shù)列的前項和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.例題3．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的首項為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，得到一個新數(shù)列.設是數(shù)列的前項和，試求.例題4．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.例題5．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對所有正整數(shù)，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前40項和.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項訓練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·校考模擬預測）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全國·高三專題練習）習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進教育公平，加快義務教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學學生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務社”，分期分批派遣大四學生赴鄉(xiāng)村支教．原計劃第一批派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務社臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學生．記為派遣了70批學生后支教學生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全國·高三專題練習）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的．明萬歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說法正確的是（

）．A．插入的第8個數(shù)為B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的倍C．D．三、填空題6．（2023春·高二?？颊n時練習）在1和17之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這n個數(shù)中第一個為a，第n個為b，當取最小值時，.7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項和為，則的值為．四、解答題8．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.9．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)保持中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值（用數(shù)字作答）．11．（2023春