垂美四邊形模型

1.（2025春?青川縣期末）概念理解：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形

（1）性質(zhì)探究：如圖1,四邊形ABC。是垂美四邊形，直接寫出AB2.CD2、AD2.BC2的數(shù)量關(guān)系:

（2）解決問題：如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

連接CE、BG、GE.若AC=4,AB=5f求GE的長(zhǎng)（可直接利用（1）中性質(zhì)）

2.（2025春?祁陽縣期末）如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形.是垂美四邊形的是：

（填寫序號(hào)）;

（2）性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形/WC7）中，ACJ.BO,垂足為O,試猜想：兩組對(duì)邊A4,CD與

BC,/V）之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決：如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊加為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

連接CE,BG,GE,已知BC=6,43=10,求GE長(zhǎng).

圖1圖2

3.(2025春?懷寧縣期末)小明學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)

另外一類特殊四邊形，如圖1,我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是.

(2)性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形ABCD的面積S與兩對(duì)角線AC,8。之間的數(shù)量關(guān)

系:.

(3)問題解決：如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

連接CG,BE,GE,已知AC=4,43=5.

①求證：四邊形4CG石為垂美四邊形；

②求出四邊形BCGE的面積.

4.(2025春?孝南區(qū)期中)新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形

(1)如圖1,已知四邊形488是垂美四邊形.

①若AC=#,RD=A五,則它的面積為

②若45=c,BC=d,CD=afDA=b,探究〃、b、c、d的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,已知。、石分別是中邊3。、AC的中點(diǎn)，AD上BE,AC=6,BC=8,請(qǐng)運(yùn)用②中

的結(jié)論，直接寫出的長(zhǎng)為

5.(2025春?德城區(qū)校級(jí)月考)如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

(1)性質(zhì)探究：如圖1,已知四邊形A8C7)中，ACA.BD,垂足為。，求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

(2)解決問題：已知A8=5,8c=4,分別以AA8C的邊3c和向外作等腰RtABCQ和等腰RtAABP.如

圖2,當(dāng)NAC8=90。，連接PQ,求QQ.

6.(2025春?海安市月考)如圖1,我們把對(duì)角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：在四邊形A3C。中，以下是垂美四邊形的是.

①平行四邊形；②矩形；③菱形：?AB=ADfCB=CD.

(2)性質(zhì)探究：小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等“，即，如圖1,在四邊形A/38中,

若AC_L4O,則A夕+CO2=AO?+8C\請(qǐng)判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

(3)問題解決：如圖2.在AABC中，及7=3,AC=4,D、￡：分別是AC、9c的中點(diǎn)，連接AE、BD.有

AEA.BD,求血

圖I

請(qǐng)說明理由.

(2)性質(zhì)探究：如圖1,試探索垂美四邊形ABC/)兩組對(duì)邊A?、CD與BC、4)之間的數(shù)量關(guān)系并說

明理由.

(3)問題解決：如圖3,分別以RtAABC的直角邊AC和斜邊為邊向外作等腰直角三角形ACE和等

腰直食三角形使得Na4D=NC4E=90。，AB=ADfAC=AEt連接8,BE,DE,已知BC=3,

AC=4,求。爐的值.

10.(2025?南明區(qū)模擬)如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

2222

(1)性質(zhì)探究：如圖1.已知四邊形A4CD中，AC±BDf垂足為O,求證：AB+CD=AD+BC.

(2)解決問題：已知人4=5,BC=4,分別以AAHC的邊AC和AA向外作等腰RtABCQ和等腰RtAABP.

①如圖2,當(dāng)ZACB=90°,連接PQ,求PQ；

②如圖3,當(dāng)/4。"90°,點(diǎn)W、N分別是八。、”中點(diǎn)連接若MN=2也,則*wc=

圖1

0B2S3

1.（2025春?青川縣期末）概念理解：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形

（1）性質(zhì)探究：如圖1,四邊形A8CD是垂美四邊形，直接寫出CD2.AD\BC?的數(shù)量關(guān)系:

AD2+BC1=AB2+CD2

（2）解決問題：如圖2,分別以R3ACB的直角邊AC和斜邊加為邊向外作正方形ACFG司正方形ABOE,

連接CE、BG、GE.若4c=4,AB=5,求GE■的長(zhǎng)（可直接利用（1）中性質(zhì)）

【解答】解：（1）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2,

如圖1中，設(shè)加＞交AC于E.

?.AC1BD,

ZAED=ZAEB=^BEC=Z.CED=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

：.AD2^-BC2=AB2+CD2x

故答案為：AD2+BC2=AB2+CD2.

(2)連接CG、BE,

ZC4G=ZR4E=90°,

/.ZC4G+ZBAC=ZBAE+ABAC,即NG4B=NC4E,

在Z\G48和ACAE中，

AG=AC

ZGAR=ZCAE,

AB=AE

...△GAB=AC4EGS4S）,

:.ZABG=ZAEC,又ZA￡C+Z/W/E=90。,

/.ZABG+ZAME=90o,即CE_L4G,

二四邊形CG￡3是垂美四邊形，

由（2）得，CG、BE2=CB2+GE,

AC=4,AB=5,

;.BC=3,CG=4y/2,BE=5日

:.GE2=CG2+BE2-CB2=73,

/.GE=773.

2.（2025春?祁陽縣期末）如圖1,我們把對(duì)角線互相垂宜的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形.是垂美四邊形的是：

①③（填寫序號(hào)）；

（2）性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形A8CD中，ACVBD,垂足為O,試猜想：兩組對(duì)邊AB,CD與

BC,AO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決:如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊48為邊向外作正方形ACFG知正方形

連接CE,BG,GE,己知笈C=6,AB=IO,求GE長(zhǎng).

圖1圖2

【解答】解：（1）?正方形，菱形的對(duì)角線互相垂直,

.?.正方形，菱形是垂美四邊形，

故答案為：①③.

（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2.

理由：四邊形A88是垂美四邊形,

s.ACIBD.

：.ZAOl)=ZA(JB=4B(JC=(JD=90"，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO?+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

:.AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)連接CG、BE,

?/ZC4G=ZR4E=90°,

/.ZCAG+^BAC-^BAE+ZBAC,BPZGA/J-ZGAZT,

?.?AG=AC,4GAB=4JAE,AB=AEf

:.^GAB=^CAE（SAS）,

:.ZABG=ZAEC,

又ZA￡C+ZAME=90°,

.\ZABG+ZAA/E=90°,即C￡_L3G,

.??四邊形CG￡B是垂美四邊形，

:.CGrBE=CB'+GE。

?.BC=6,AB=\0fZACA=90°,

AC=y]AB2-BC2=V102-62=8,

:.CG=8丘,BE=\0yf2t

.-.GE1=CG~+BE--CBZ=292,

:.GE=2昨.

3.（2025春?懷寧縣期末）小明學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)

另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是菱形、正方形

（2）性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形A8CO的面積S與兩對(duì)角線AC,瓦）之間的數(shù)量關(guān)

系：.

（3）問題解決:如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊45為邊向外作正方形ACFG加正方形ABDE,

連接CG,BE.GE,已知4C=4,AB=5.

①求證：四邊形為垂美四邊形；

②求出四邊形BCGE的面積.

【解答】Q)解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形、正

方形，

菱形和正方形一定是垂美四邊形;

故答案為：菱形、正方形；

(2)解：如圖1所示:

四邊形ABC/)的面積=的面積+MDC的面積=+!4c?OO=』AC(8O+ZX))=,AC.8。;

2222

故答案為：*如

(3)①證明：連接CG、BE,如圖2所示:

圖2

四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形,

:.ZF=ZCAG=ZBAE=9(f,FG=AG=AC=CFtAB=AEf

ZC4G+ABAC=ZBAE+4BAC,

即NGA4=NCAE,

在和AC4E中，

AG=AC

ZGAR=ZCAE,

AB=AE

...△GAB=AC4EGS4S),

:.BG=CE,ZABG二ZAEC,

又ZA￡C+ZAMZs=90°,ZAME=/BMN,

：.NABG+NBMN=9()。，

NAN”=90°,

:.BGlCEf

二.四邊形BCGE為垂美四邊形；

②解：?.FG=CF=AC=4,ZACB=90°,AB=5,

/.BC7AB?-AC?=3,

：.BF=BC+CF=7,

在RtABFG中，BG=<BF2+FG2=5+4?=而，

:.CE=BG=4^>，

四邊形BCGE為垂美四邊形，

四邊形8CGE的面積=LBGCE=竺.

22

4.（2025春?孝南區(qū)期中）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

（1）如圖1,己知四邊形A8CZ）是垂美四邊形.

①若4。=3而4。=4正，則它的面積為

②若赫=c,BC=d,CD=a,DA=bf探究a、b、c、d的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖2,已知。、后分別是M3。中邊3C、AC的中點(diǎn)，AD上BE,AC=6,8C=8,請(qǐng)運(yùn)用②中

的結(jié)論，直接寫出A8的長(zhǎng)為.

【解答】解：（1）①四邊形A8CD是垂美四邊形,

AC工BD,

S四曲形ABCD=S：SBD+Swc。

s四邊花ABo)=LxB/)xAO+1xA/)xCO=!xACxBO=Lx3mx4"=12"，

2222

故答案為：126;

②四邊形/WC。是垂美四邊形,

：.AC113D,

在RtAAOB中,AO^BO^AB1,

在RtAAOD中,AO2+DO2=AD2,

在RtACOB中,CO2+BO?=CB2,

在RtACOD中,CO2+DO2=CD2,

/.AO2+BO2+CO2+DO2=CD2+AB2,AO2+DO2+CO2+BO2=CB2+AD2，

2222

:.CD^AB=CB+AD1

即：c2+a2=b2+d2;

?j。、E分別是AA4C中邊AC、人。的中點(diǎn)，AC=6,BC=8,

:,BD=DC=4,AE=EC=3,DE、AB,

2

?AD1I3E,

二四邊形4〃龍是垂美四邊形，

..AB2+DE2=BD2+AE2，

：.AB2^--AB2=\6+9

4f

48=2后或48=-2石（舍去），

故答案為：2后.

5.（2025春?德城區(qū)校級(jí)月考?）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

（1）性質(zhì)探究：如圖1,已知四邊形A4CQ中，ACA-BD,垂足為O,求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

⑵解決問題：已知A6=5,8C=4,分別以AA8C的邊AC和AB向外作等腰RtABCQ和等腰RtAABP.如

圖2,當(dāng)NACB=90。，連接PQ,求PQ.

圖1圖2

【解答】(1)證明：?.?4C_L4D,垂足為O,如圖1,

2222222222

:.AB=OA+OBfCD=OC+ODfAD=0^+00,BC=OB~+OCf

AB2+CD2=Ofic+OB'+OC2+OD1,AD2+BC2=OA2+OB2+OC1+OD2,

/.AB2CD2=AD1+BC2.

(2)解：如圖2,過點(diǎn)尸作。。_LAQ,交Q8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

貝ljNBOP=90。，

圖2

ZACfi=90°,

AC=y/AB2-BC2=x/52-42=3,

MC。和A43P都是等腰直角三角形,

/.ZCBQ=Z4BP=90°,BQ=BC=4,BP=BA,

Z.CBD=180°-Z.CBQ=180°-90°=90°,

.-.ZABC+ZABD=90°,

NPBD+ZABD=W,

，乙M義：=4PBD、

?.ZACB=NPDB=90°,

.-.AABC^APBIXAAS),

.?.尸Z)=AC=3,BD=BC=4,

：.OQ=8O+BQ=4+4=8,

在RlAPQD中，PQ=y]PD-+DQ-=VV+F=>/73.

6.（2025春?海安市月考）如圖1,我們把對(duì)角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解，在四邊形ABCZ）中，以下是垂美四邊形的是③④.

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④=CB=CD.

（2）性質(zhì)探究，小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等"，即，如圖1,在四邊形ABCD中，

若ACL9,則A4+CO2=AO'+8CL請(qǐng)判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

（3）問題解決：如圖2.在&43C中，BC=3,AC=4,D、E分別是AC、4c的中點(diǎn)，連接AE、I3D.有

AEtRD,求AB.

【解答】解：（1）?菱形的對(duì)角線互相垂直,

??菱形是垂美四邊形，

AB=AD>CB=CD,

:.AClBDf

二當(dāng)=圓=。。的四邊形ABCD是垂美四邊形，

故答案為：③④；

(2)猜想正確，理由如下：

?.?四邊形ABCD中，AC±BD,

：.NAOB=NCOD="OC=NAOD=WP，

212221222

:.AB=OA+OBtCD=OC+OD~tBC=OB+OC,AD^OA^+OD,

AB2iCD2-OA2iOB1IOC2IOD',BC2iAD2-OB2iOC2IOA2IOD2,

AB24-CD2=AD2+BC2;

（3）、4C=3,AC=4f。、E分別是AC、BC的中點(diǎn),

1131

AAD=-AC=2,BE=-BC=3,DE=-AB,

2222

AE1BD,

222

：.AB^-ED=Alf+BEf

-AB2=4+2,

44

/.AB=&

7.（2025春?哪陽區(qū)期中）認(rèn)識(shí)新知:對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

圖1圖2圖3

（1）概念理解：如圖1,在四邊形A3CZ）中，己知=當(dāng)8c與DC滿足_8C=DC_時(shí)，四邊

形ABCD為“垂美四邊形”（直接寫結(jié)果）；

（2）性質(zhì)探究：如圖2,四邊形A88的對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,且AC_L8D.求證：

AB2+CD2=AD2+BC2;

（3）解決問題：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊44向外作等腰RtAACG和等腰RtABAE,

連結(jié)GE,己知AC=4,AB=5?貝UGK=（直接寫出結(jié)果）.

【解答】（1）解：當(dāng)8C=DC時(shí)，四邊形ABC。為“垂美四邊形”，理由如下：

連接AC,BD,

圖I

AB=AD,

.??點(diǎn)A在線段3。的垂直平分線上,

?.CB=CD,

.??點(diǎn)C在線段切的垂直平分線上,

??.AC是線段的垂直平分線，

二四邊形ABCO是垂美四邊形，

故答案為：BC=DC;

（2）證明：-jACLBDy

.\ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°f

由勾股定理得，AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,

AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,

.\AB2+CD2=AD2+BC2;

（3）解：如圖3,連接GB、CE,

圖3

vZC4G=ZBAE=90°,

/.ZC4G+ZBAC=ZBAE+ABAC,即NG4B=NG4￡,

AG=AC

在△G48和ACAE中，\^GAB=ZCAE,

AB=AE

.?△G4八△CAE（SAS）,

：.ZABG=ZAEC,

又???ZAEC+ZAME=90。，ZAME=/BMC,

..ZABG+NBMC=90。,即CE_L8G,

.??四邊形CG￡8是垂美四邊形，

由（2）得，CG'BE'CB'GEL

AC=4,AB=5,

.\BC=3,CG=4y/2,BE=5五,

.-.GE1=CGr+BEr-CB1=73,

GE=x/73.

故答案為：J萬.

8.（2025春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形八46中，43=4）,CB=CD,問四邊形"S是垂美四邊形嗎？

請(qǐng)說明理由.

A

（2）性質(zhì)探究：

①如圖1，垂美四邊形AZJCD兩組對(duì)邊47,CD與BC，"＞之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.寫出你的猜想，

并給出證明；

②如圖3,在RtAABC中，點(diǎn)尸為斜邊8c的中點(diǎn)，分別以鉆，AC為底邊，在RtAABC外部作等腰三

角形45。和等腰三角形ACE,連接㈤，F(xiàn)E,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形硼⑷V的

形狀，并說明理由；

（3）問題解決：

如圖4,分另IJ以RIAACB的直角邊47和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE,BG,

GE,已知AC=2,AB=5,求GE的長(zhǎng).

【解答】解：（1）四邊形ABCO是垂美四邊形，

理由如下：

AB=AD,

.?.點(diǎn)A在線段9的垂直平分線上，

CB=CD,

.?.點(diǎn)C在線段比＞的垂直平分線上，

直線4C是線段反）的垂直平分線，

：.AC1BD,

即四邊形A8CO是垂美四邊形.

（2）①仞2+8。2=鉆2+。廳；

理由：如圖1,連接應(yīng)），AC相交于E,

-ACIBD.

.?.ZAED=ZAEB=乙BEC=Z.CED=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD-=AE2+BE2+CE2+DE2,

：.AD2+BC2=AB2+CD2;

②四邊形FMAN是矩形，

理由：如圖3,連接版,

RlAABC中，點(diǎn)尸為斜邊8c的中點(diǎn)，

：.AF=CF=BF,

又?等腰三角形的和等腰三角形AC￡,

:.AD=DB、AE=CE,

.?.由(1)可得，DF工AB,EF±AC.

又［ZB4C=90°,

/.ZAA/F=ZA^W=ZAA^=90°，

四邊形是矩形；

(3)如圖4,連接CG、BE,

?rNC4G=NB4七=900,

/.ZC4G+ZBAC=/BAE+ABAC，

BPZG4B=ZC4E,

AG=AC

-在^GAB和AC4E中，/GAB=ZCAE,

AB=AE

.?.△G/W二△CAE(SAS),

;.ZABG=ZAEC,

又ZA￡C+ZAA7h=9(r,

ZABG+ZAME=90°,

即CEJ.3G,

二.四邊形CGE8是垂美四邊形，

:.CGrBE2=CB?+GE?,

,.AC=2,AB=5,

:.BC=6,CG=2夜，8E=5夜,

GE2=CG2+BE2-CB2=37,

/.GE=y/3i.

9.（2025春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形八8c力中，AB=AL）,CB=CD,問四邊形人ACO是垂美四邊形嗎？

請(qǐng)說明理由.

（2）性質(zhì)探究：如圖1,試探索垂美四邊形A8CD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、4）之間的數(shù)量關(guān)系并說

明理由.

（3）問題解決：如圖3,分別以RtAABC的直角邊AC和斜邊45為邊向外作等腰直角三角形ACE和等

腰直角三角形4?。，使得〃4P=NC4E=90。，AB=ADfAC=AE.連接CL>,BE,DE,已知4c=3,

AC=4,求。爐的值.

【解答】解：（1）四邊形A58是垂美四邊形，理由如下:

如圖，連接AC,連接切交AC于點(diǎn)O,

AB=AD,

.??點(diǎn)A在線段a）的垂直平分線上,

CB=CD,

.?.點(diǎn)C在線段8。的垂直平分線上，

二.AC是線段的垂直平分線，

：.AC1BD,

四邊形A38是垂美四邊形；

(2)AB2+CD2=AD2+BC2,理由如下：

-4。，

/.ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZAOD=9(30，

由勾股定理得：

AB1+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+RC2=AO2+DO2+BO1+CO2，

:.AB2^-CD2=AD2+BC2;

(3)如圖，設(shè)CD與應(yīng):交于點(diǎn)「，AC與BE交于點(diǎn)G,

ZCAE+BAC=/BAD+Z1BAC，即Z1BAE=Z1DAC,

在A4B石和AADC,

AE=AC

<NBAE=/DAC,

AB=AD

：,AABE=AADC(SAS),

ZAEB=ZACD,

?.?NG4E=90°,

ZAEG+ZAGE=90°,

.-.ZFCU+ZCGF=90°,

.?.NCR;=90°,即CDJLBE,

.??四邊形8C￡。為垂美四邊形，

vBC=3,AC=4,ZACB=90°,

/.AB=\IBC2+AC2=^32+42=5,

AACE和AABO均為等腰直角三角形，

.?.C￡=0AC=4&,BD=&B=50,

由(2)可得，BC-+DE2=CE2+BD1,

DE1=CE2+BD1-BC1=(4夜產(chǎn)+(5x/2)2-32=73.

10.(2025?南明區(qū)模擬)如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

(1)性質(zhì)