§5.4復(fù)數(shù)

【課標(biāo)要求】1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)2理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義3

掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

??落實(shí)主干知識??

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴復(fù)數(shù)的定義：形如a+6i(a,b￡R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中是復(fù)數(shù)的實(shí)部，是復(fù)數(shù)

的虛部，i為虛數(shù)單位.

⑵復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+6i(a,b￡R)

’實(shí)數(shù)3_____0),

復(fù)數(shù)，

、虛數(shù)(b0)(當(dāng)a0時(shí)為純虛數(shù)).

⑶復(fù)數(shù)相等：

a+bi=c+d\<=>(a,h,c,d￡R).

(4)共扼復(fù)數(shù):

a+bi與c+di互為共軌復(fù)數(shù)o(a,b,c,d^R).

⑸復(fù)數(shù)的模：

向量應(yīng)的模叫做復(fù)數(shù)z=a+切的模或絕對值，記作或,W\z\=\a+b\\=

(a,6￡R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

---?對'應(yīng)一

⑴復(fù)數(shù)z=a+〃(a,復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

----對應(yīng)__,

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,f^平面向量。Z.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=a+/)i,Z2=c+d\{a,b,c,dWR),貝!]

①力口法：zi+Z2=(a+b\)+(c+di)=；

②減法：Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=；

③乘法：ziz=(a+bi)?(c+di)=；

④除法：幺二4二"如型=_________________________________(c+用氣)).

z2c+di(c+di)(c-di)

⑵幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即應(yīng)二,存

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉?”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=〃+bi(a,b￡R)中,虛部為歷.()

⑵任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小.()

⑶已知z=a+bi(a,6金R),當(dāng)。=0時(shí)，復(fù)數(shù)n為純虛數(shù).()

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()

2(2025?八省聯(lián)考)|2-4i|等于()

A.2B.4C.2V5D.6

3.已知復(fù)數(shù)z=i3(l+i),則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.復(fù)數(shù)卷的共朝復(fù)數(shù)是.

回微點(diǎn)提醒

1.熟記與復(fù)數(shù)有關(guān)的常用結(jié)論

(l)(l1i)2=±2i；*=i；三二-i.

(2)i4n=1,i4,,+*1=i,i4n+2=-1,評+3=

(3>4〃+j4”+1+j4n+2+j4”+3=()(〃￡N).

(4)復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形

①〃W|z|W6表示以原點(diǎn)O為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

②|z-(a+bi)|=4/>0)表示以(a,b)為圓心,〃為半徑的圓.

2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)

⑴利用復(fù)數(shù)相等。+〃=c+di列方程時(shí)，注意叫b,c.d￡R的前提條件.

(2)兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小.

??探究核心題型.

題型一復(fù)數(shù)的概念

例1(1)(2024?咸陽模擬)已知復(fù)數(shù)z=〃?2?76+6+(〃?2?36)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.±6B.1或6

C.-6D.1

(2)(多選)(2。24?銀川模擬)若復(fù)數(shù)z滿足z(l-21)=10,則()

A.z=2-4i

B.z-2是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)z的虛部為4i

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

(3)(2024?晉中模擬)已知復(fù)數(shù)z=1?2i是方程雙+b=0(a,(WR)的根,則歷|等于()

A.V5B.4

C.VTlD.V29

思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的常用方法

(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)吾嶼虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式”。+/川*%￡R),則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為處

虛部為b.

2

(2)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①N=o+bi七Ro，)=0(。，Z)eR)；(2)zGR<=>z=z；?Z^R^Z^0.

⑶復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件

①z=〃+6i是名屯虛數(shù)oa=0且6W0(a,6￡R)；

?z是純虛數(shù)<=>z+z=0(zWO)；?z是純虛數(shù)=z2Vo.

除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共血復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成

復(fù)數(shù)的除法

最簡形式，這里的分母實(shí)數(shù)化可類比分母含根式的分母有理化

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2024成都模擬）若復(fù)數(shù)2滿足2（1+。=2-）則二等于（）

1,in1i

AA.-+-B.r--

2222

^1.3.p.13.

Ci卡?Di■?

（2）（2025?新鄉(xiāng)模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-I）,則言二.

⑶已知i為虛數(shù)單位，則i+i2+/+…+P025=

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3（1）（2024?西寧模擬）已知復(fù)數(shù)z=（a-1）?2ai（a￡R）,且z|=5,若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二

象限，則。等于（）

A.-2B.-若

C.2D.y

（2）（多選）設(shè)z為復(fù)數(shù),則下列命題中正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別對應(yīng)向量力?與方，則向量瓦?對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+i

B.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=|z+i|,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線

C.若|z-i|=1,則團(tuán)的最大值為我

D.若復(fù)數(shù)z滿足1W|z|W/,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為兀

思維升華復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

二一對應(yīng)一

⑴復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量聲相互聯(lián)系、——對應(yīng)，即2"+砥明正RfNa,

一一對?應(yīng)

忖F.

（2）由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了——對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)

可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2024?南充模擬）當(dāng)1〈〃?v2時(shí)，復(fù)數(shù)/〃?1+（，〃?2）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)已知復(fù)數(shù)二滿足|z-2|=1,則|z-i|的最小值為()

A.lB.V5-1

C.V5+1D.3

答案精折

落實(shí)主干知識

1.(1)。b(2)=W=

(3)。=cS.b=d

(4)tz=c,b=-d

(5)忸\a+bi\卜+岳

3.(1)①(a+c)+3+d)\

②(a-c)+(b-d)'\

③(ac-bcl)+(ad+bc)i

4理+"bc-ad.

QD-------+--------1

c2+d2c2+d2

Q)西+兩兩■兩

自主診斷

1.⑴X(2)X(3)X(4)V

2.C[|2-4i|=呼+42=2V5.]

3.D[z=ip+i)=-i(l+i)=l?i,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,7),位于第四象限J

4.-2+i

解析六=5(上)=.2?i,故其共輾復(fù)數(shù)是-2+i.

探究核心題型

例1(1)D[由題意可得加2-7〃?-6=0且利2-36#0,則m=L]

(2)AB[對于A,z二三=io(i+2"=2+4i,

1-21(l-2i)(l+2i)

Az=2-4if故A正確；

對于B,z-2=2+4i-2=4i,為純虛數(shù)，故B正確；

對于C,z=2+4i,虛部為4,故C錯(cuò)誤;

對于D,z=2+4i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2,4),在第一象限，故D錯(cuò)誤.]

(3)D[由題意得，1+2i是方程x2+ax+〃=05，8￡R)的一個(gè)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得l+2i+l-2i=-%(l+2i)(l-2i)=^,

故-2,b-\-4i2=1+4=5,

故|a+M|=|-2+5i|=』+25=V29.]

跟蹤訓(xùn)練1(DC[虛數(shù)不能比大小，故A錯(cuò)誤；對于復(fù)數(shù)z=〃+砥a,/>ER),但凡滿足標(biāo)+〃=1,其

模均為1,顯然不僅四個(gè)，比如。弓，b二日時(shí)，團(tuán)=1,故B錯(cuò)誤；由共輾復(fù)數(shù)的定義可知C正確；原點(diǎn)

(0,0)也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.]

(2)D[設(shè)z=4+bi,a,6￡R,

則(1-2i)(z-i)

=(1-2i)[a+(Z?-l)i]

=Q+S-l)i-2ai+2(6-1)=5,

(a+2(/?-1)=5,

所以

(b-1-2a=0,

(a=1,

解得

(b=3,

所以2=l+3i,|z|=Jl2+32

=V10.]

2+i(2+i)(a-i)2a+l+(a-2)i

(3)A[z=—=-------=----;-----,

a+i(a+i)(a—i)a2+1

因?yàn)閺?fù)數(shù)2=巴的實(shí)部與虛部相等，

?+i

所以2。+1=。?2,解得。=-3,

故實(shí)數(shù)。的值為-3.]

例2(i)C[因?yàn)樵欢?/p>

=1+-^-=1+i,

所以Z=1+y=1-i.]

..l+2i_(l+2i)(2+i)

(2)C*2-i-5

r.z=i2025=i4X506*l=iJ

(3)5

解析因啃=2i,

所以z-3=2i(z-i)=2+2iz,

所以一5(1+2i)

(l-2i)(l+2i)

=1+2i,

所以2=1?2i,

貝!|z5=(l+2i)(l-2i)=5.

跟蹤訓(xùn)練2(1)D[依題意,

,,2-i_(2-i)(l-i),l-3i

z---

1+i(l+i)(l-i)2

(2)2i

解析由題意得復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),

故z=2?i,z=2+i,

故言二2+i+i2+2i

2-i-l1-i

2(1+02

(1-0(1+0

2(1+講>

—:—=2i.

(3)i

解析i+i2+i3+i4=0,

則i+產(chǎn)+i?+…+F025

=506X0+i=i.

例3(1)A|由題意|z|

22

=J(a-l)+(-2a)=5f

得5a2?2a-24=0,

解得。=-2或4二5

因?yàn)閆在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，

所以

故"0,故〃=-2.1

(2)ABD［對于A,因?yàn)閺?fù)數(shù)6+5:與-3+4i分別表示向量萬?與方，

所以表示向量瓦?的復(fù)數(shù)為6+5i-(-3+4i)=9+i,故A正確；

對于B,因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z?i|=|z+i|,設(shè)z=a+6i(a,b￡R),則|a+(b?l)i|=|a+(b