切線長定理

1.（2025?綿陽三模）如圖，A4是0。的直徑，PA,PC是的兩條切線，點、A,C為切點，延長PC,

/W相交于點。，若4/）=1,CD=3,點、F為孤AB的中點,連接AC.

(1)連接OP交4c于點M,求證：NACB=NAMO；

(2)設(shè)Z.OCB-a,求lana的值;

(3)若點G與點尸關(guān)于圓心O對稱，連接CG,求CG的長.

2.（2025?肇東市校級二模）如圖，點。在以A3為直徑的00上，過。作的切線交A8延長線于點

C,AEJ.C7）于點E,交G）O于點“，連接AO,FD,

（1）求證：ZZME=NA4C；

（2）求證：DFAC=ADDC；

（3）若sinC=‘，AO=4由，求EF的長.

4

E

D

A

BC

3.(2025?東莞市校級二模)古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”.小明決

定研究一下圓，如圖，4y是的直徑，點C'是。。上的一點，延長旬至點。，連接AC、BC、CD,

且NC4B=ZBC。，過點C作CE_LA。于點E.

(1)求證：CD是0O的切線；

(2)若OB=BD,求證：點E是08的中點；

(3)在(2)的條件下，若點尸是OO上一點(不與A、B、C重合)，求變的值.

4.(2025?利川市一模)如圖，在AA4C中，AB=ACf以AB為直徑的O。與邊3C交于點。，過點。作

DE工AC千點、E.

(1)求證：DE是OO的切線;

(2)若AC與0O相交于點M,連接。M,求證：DM=DC；

(3)若sinN3AO=立，求證：AM=CE.

3

a

E

BD

5.(2024?梁子湖區(qū)校級自主招生)等腰直南AAAC和OO如圖放置，已知/W=AC=1,〃夕C=90。，QO

的半徑為1,圓心O與直線4y的距離為5.現(xiàn)ZVSC以每秒2個單位的速度向右移動，同時AABC,的邊

長AB、8c又以每秒().5個單位沿BA、8c方向增大.

(1)當(dāng)A48C的邊(8C邊除外)與圓第一次相切時，點8移動了多少距離？

(2)若在AA8C移動的同時，0。也以每秒1個單位的速度向右移動，則AA8C從開始移動，到它的

邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？

(3)在(2)的條件下，是否存在某一時刻，AA8C與0O的公共部分等于O。的面積？若存在，求出

恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由.

6.(2009?肇慶)如圖，0。的直徑AB=2,AM和/V是它的兩條切線，DE切0O于E,交AM于。,

交BN干C.［殳AO=x,BC=y.

(1)求證：AM//BN;

(2)求y關(guān)于x的關(guān)系式；

(3)求四邊形ABCZ)的面積S,并證明：S..2.

7.（2007秋?張家港市期末）如圖，RtAABC中，ZACT=90°,以AC為直徑的0。與砂邊交于點。,

過點。作的切線，交BC于點七；

（1）求證：BE=CE；

（2）若以O(shè)、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，0O的半徑為,，求AA3C的面積;

(3)若EC=4,BD=，6,求00的半徑OC的長.

8.（2007?河池）如圖1,已知正方形八AC7）的邊長為2>/5,點M是4）的中點，P是線段上的一動

點（P不與M,。重合），以為直徑作0O,過點P作OO的切線交于點尸，切點為E.

（1）除正方形/WCO的四邊和O0中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）:

（2）求四邊形CZ）尸尸的周長;

（3）延長C。，々相交于點G,如圖2所示.是否存在點尸，使6尸?尸G=C尸?。尸？如果存在，試求

此時AP的長；如果不存在，請說明理由.

B3

圖1ffi?

9.(2007?廈門)已知：如圖，PA.24是G)O的切線；A、B是切點;連接OA、OB、OP,

(1)若4。產(chǎn)=60、求47戶外的度數(shù)；

(2)過O作OC、。力分別交AP、BP于C、D兩點、,

①若NCOP=NDOP,求i正：AC=BD;

②連接CD,設(shè)APCD的周長為/,若/=2AP,判斷直線C￡)與的位置關(guān)系，并說明理由.

10.(2004?奉賢區(qū)二模)如圖，已知在邊長為1的正方形A4CD中，以。為圓心、為半徑畫弧AC,

E是上的一動點，過后作AC的切線交3C于點/，切點為G,連GC,過G作GC的垂線交AD與N,

交8的延長線于M.

(1)求證：AE=EGfGF=FC；

(2)i^AE-x,用含x的代數(shù)式蓑示FC的卡：

(3)在圖中，除G尸以外，是否還存在與封。相等的線段，是哪些？試證明或說明理由;

(4)當(dāng)AGON是等腰三角形時，求AE的長.

11.(2025?惠來縣模擬)如圖，/U?是OO的直徑，且八4=3,點M為OO外一點，且MA,MC分別切

。。于點A、C,點。是兩條線段改;與AM延長線的交點.

(1)求證：DM=CM；

(2)若△COM為等邊三角形，求CM的長.

12.(2025春?余干縣期中)如圖，在AACE中，以AC為直徑的0O交CE于點。，連接AD,且

ZDAE=ZACEf連接OD并延長交AE的延長線于點P,相與QO相切于點5.

(1)求證：4尸是0。的切線；

(2)空接AB交OP于點、F,求證：\FAD^^DAE\

(3)若tanZ.OAF=—,求的伍.

2AP

13.(2025?南充模擬)如圖，AB是OO的切線,AC是的直徑，AC與O。交于。，弧CD上一點、E,

使得點。成為弧Ab的中點，連接At：與VC交于”.

(1)比較與"的長度.并說明理由.

(2)當(dāng)A8=6,8C=1O時，求C/的長.

14.(2025?游仙區(qū)模擬)ZV的是等邊三角形，過A、8兩點作OO,"與0。相切，C是弦AB上一

點，射線OC_LP”于點H.

(1)求證：BP是OO的切線;

(2)若人8=48。，求tanNAC”;

(3)求當(dāng)A"=2x/5時，OCOH的值.

15.（2025秋?秦淮區(qū)校級月考）【數(shù)學(xué)概念】

我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形.例如，如圖①，四邊形ABC'/，內(nèi)接于OA7,且

每條邊均與0尸相切，切點分別為E,F,G,H,因此該四邊形是雙圓四邊形.

【性質(zhì)初探】

（1）雙圓四邊形的對角的數(shù)量關(guān)系是,依據(jù)是.

（2）直接寫出雙圓四邊形的邊的性質(zhì).（用文字表述）

（3）在圖①中，連接GE,HF,錄1RGE上HF.

【揭示關(guān)系】

（4）根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫出雙圓四邊

形的大致區(qū)域，并用陰影表示.

【特例研究】

（5）已知尸，"分別是雙圓四邊杉ABCD的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若AB=1,ZBCD=6O°,ZB=90°,

則PM的長為.

16.（2025?新華區(qū)校級四模）如圖1,在RtAADC中，/AZX7=9O°,ZDAC=37°,4c=10,點。在邊AD

上，由點。向點A運動，當(dāng)點O與點A重合時，停止運動.以點O為圓心，8為半徑在4）的下方作

半圓O,半圓。與4)交于點(sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan370=0.75)

如圖1,當(dāng)00=26時，/OCD=。，點C到半圓O的最短距離=

（2）半圓O與AC相切時，求OZ）的長？

（3）如圖2,半圓O與AC交于點E、F,當(dāng)叮=6.4時，求扇形￡OF的面積？

（4）以A￡>,DC為邊矩形A3CQ,當(dāng)半圓O與AA3C有兩個公共點時，則。。的取值范圍是

17.（2025?青山區(qū)模擬）如圖，是0O的直徑，外是。0的切線,PB交OO于D,點。是弧BD上

一點，PC=PA.

(1)求證：PC是o。的切線；

(2)若CD//A8,求sinN產(chǎn)C/J的值.

18.(2025?威海一模)如圖，0。的直徑A4=12,AM,及V是的兩條切線，DC切于E,交助V

于C,設(shè)AO=x,BC=y.

(1)求證：AB，=4DECE；

(2)求y與.r的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若x,y是方程2寸一30工+。=0的兩個根，求△OC/)的面積?(已知：如果不，看為方程ad+/2K+c=°

的兩實數(shù)根，則x+w=_，/』=￡)

a'a

19.(2025?青羊區(qū)校級模擬)如圖，已知：。是以為直徑的半圓。上一點，直線AC與過4點的切

線相交于點。，點”是的中點，直線O交直線他于點G.

(1)求證：CG是0。的切線;

(2)已知，BG=2丘,FB=\,求AC.

20.(2025?石家莊模擬)如圖，半圓O的直徑八笈=10(7〃，射線AW和用V是半圓O的兩條切線，點。在

射線4M上運動，點E在A4上，且。石=4),延長DE交射淺8N于點C.

(1)求證：EC=BC.

(2)設(shè)AD=xcm,BC=ycm.

①求出)，與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)C/)=l(kw時，求陰影部分的面積.

N

M

D

B

21.（2025?長沙模擬）如圖1,在中，點O是/W的中點，以點O為圓心，r為半徑的半圓與AC,

BC相切于點。，點。.點。是線段尸C上的動點且不與點?、點C重合，過點。作圓O的切線交8C于

點E,點尸是切點.OP,的長度是關(guān)于/的一元二次方程2『-7片+5/=0的兩根.

⑴求cosZA的值；

(2)如圖2,連接線段。O,EO,在D點的運動過程中，求乙4的值;

Z.DOE

(3)設(shè)S=x,CE=yt求），關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指明自變量x的取值范圍（解析式中可以含有

字母，〕.

備用圖

22.（2025?海珠區(qū)一模）在RtAACB中，NAC3=90°,以AC長為半徑作8.

（1）尺規(guī)作圖：將繞點八順時針旋轉(zhuǎn)得△47汗，使得點C的對應(yīng)點C落在線段回上（保留作

圖痕跡，不用寫畫法）；

（2）在（1）的條件下，若線段EA與0A交于點尸，連接城.

①求證：8/與OA相切；

②如果C4=5,CB=12,80與方。交于點O,連接Q4,求04的長.

B

23,（2025秋?科爾沁區(qū)校級月考）如圖，C7）是OO的直徑，且而=25?，點P為C。延長線上的一點,

過點尸作0O的切線小，PB,切點分別為點A,B.

（1）連接AC,若44PC=3O。，求證：尸是等邊三角形;

（2）填空.①當(dāng)。P=5時，四邊形AQ8O是菱形；

②當(dāng)。尸=cm時，四邊形A。8P是正方形.

24.（2025?漣源市三模）如圖，是0O的直徑，OC1AB,弦CD與OB交于點尸過圓心。作OG//8D,

交過點A所作OO的切線于點G,連接GD并延長與他的延長線交于點石.

（1）求證：GZ）是0O的切線；

（2）試判斷ADEF的形狀，并說明理由；

（3）若CF=2jlO且0O的半徑為6,求AG的長.

25.(2025秋?溫州期中)如圖，已知RtAABC,N"C=9O。，點。是3c中點，AD=ACtBC=4G,

過A,。兩點作0O,交A4于點E.

(1)求證：BCLOD\

(2)如圖1,當(dāng)圓心。在患上且點例是0。上一動點，連接。M交相于點N,求當(dāng)ON等于多少時，

三點。、E、M組成的三角形是等腰三角形？

(3)如圖2,當(dāng)圓心O不在上且動圓0。與。8相交于點。時，過￡＞作。(垂足為“)并交

于點尸，問：當(dāng)OO變動時，2的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

1.(2025?綿陽三模)如圖，是G)O的直徑，PAfPC是OO的兩條切線，點、A,C為切點，延長PC,

相交于點。，若9=1,C/)=3,點”為弧例的中點，連接AC.

(1)?至接0P交47于點“，求證：ZACB=ZAMO\

(2)設(shè)NOC3=a,求tano的值；

(3)若點G與點尸關(guān)于圓心O對稱，連接CG,求CG的長.

【解答】(1)證明：PC是G)O的兩條切線，

:.ABlAPfOCLCP,PA=PC,

?.?OA=OB,

.?.點。、〃在線段AC的垂直平分線上，

.?.QP垂直平分4C,即ZAMO=9(F,

,「AB是0。的直徑，

,-.ZACB=90°,

(2)解：?.?Z4CB=90。，ZOCD=90°,

ZBCD=ZACO=ZOAC,

?.?ND=ND,

」.ADC4sA￡)8C,

ACCD3

BCRD1

?;OB=OC,

ZOCB=ZOBC,

A('

tanZ.OCH=tanZ.OBC=tana==3.

BC

p

D

（3）解：連接C/,FG,如圖所示:

?.?點G與點尸關(guān)于圓心。對稱,

二.GE過圓心，且為0O的直徑,

ZGCF=90°,

由（2）得ADC4s皿紀,

CDAD

~BD~'CD"

即三四里

13

A3=8,

qACQ

BC

.??設(shè)8C=&,AC=3k,由BC2+AC2=AB2得,

.?.*+(3.2=82,

即10代=64,

.女二警（舍去負值），

加廿4M12M

呼BC=-------,AC=----------,

55

如圖，過點A作A〃_Lb,垂足為〃，連接AF,BF,如圖所示:

???點尸為的中點,

AF=BF,ZACF=NBCF=45°,

12A/5

AH=CH=—AC=

25

AF=叵AB=4五,

2

FH=>!AF2-AH2=J(4夜尸一(竽)2=竽,

,「口12石J石16石

..CF=CH+FH=-------+------=-------,

555

在RtACFG中，CG2=FG1-CF2=82-(^y^)2=64-25664

55

/.CG=-V5（負值舍去）.

5

2.（2025?肇東市校級二模）如圖，點。在以A3為直徑的0。上，過。作OO的切線交A8延長線于點

C,AE_LCD于點E,交0O于點尸，連接A。，F(xiàn)D.

(1)求證：ZDAE=ZDAC；

(2)求證：DFAC-ADDC;

(3)若sinC=‘，AO=4由，求EF的長.

4

???8是0。的切線,

：.ODA.ECf

AE_LCE,

：.AE//OD,

:.ZEAD=ZADC),

?/OA=OD,

:.ZADO=ZDAOf

:.ZDAE=ZDAC.

(2)在明：如圖，連接3戶.

?.,45是直徑，

.,.ZAFB=90°,

?.AE±ECt

/.ZAFS=ZE=90°,

/.BF/!EC,

..^ABF-ZCf

\ZADF=ZABF,

：.ZADF=ZCf

ZDAF=ZDACf

.-.AZMF^ACAD,

ADDF

~CA~~CD'

..DFAC=ADDC.

(3)解：過點。作/)〃_LAC于〃.

?.?CD是°。的切線,

NODC=90。，

.OD\

'：sinZ/Cr=----=—,

OC4

.,.可以彳民?i殳OZ)=攵，OC=4k,則O4=8=k,CD=Ak,

--ODDC=-OCDH,

22

:.DH=-k,

4

/.OH=\I（）D2-DH2=-k,

4

AH=OA+OH=-k,

4

-AD2=AH2+DH2,

.?.（4麗）2=§⑥2+（乎心2

「.4=8或-8（舍棄），

AC=5k=4OfAB=2k=16,

AE1.AF

sinC==—=sinZ-ABF,

AC4AB

AE=\Q,AF=4,

:.EF=AE-AF=\0-4=6.

3.（2025?東莞市校級二模）古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓小明決

定研究一下圓，如圖，A3是OO的直徑，點C是OO上的一點，延長/W至點。，連接AC、BC、CD,

且NC4A=NAS,過點。作CE_LA。于點E.

（1）求證：6是0。的切線；

（2）若OB=BD,求證：點石是08的中點；

（3）在（2）的條件下，若點尸是0O上一點（不與A、B、C重合），求竺的值.

DF

?.?AB是0O的直徑,

ZAO?=90°,

\-OA=OCt

ZCAB=ZACO,

\'ZCAB=ZBCD,

:.NBCD=ZACO,

：.“CD+NOCB=ZACO+NXJCB=SCB=9(T,即乙(J3=90,

:.OClCDf

???OC是o。的半徑，

:.CD是OO的切線;

(2)任明：?.?0/3=40,ZCX?D=90°,

CB=-OD=OB=BD,

2

?.OB=OC,

:.BC=OB=OC,

AOCB是等邊三角形，

?.CEJ.AD,

OE=BE=-OB

2t

.?.點E是08的中點;

:.OF=OB,

vOE=-OBOB=BD,

2t

/.OE=-OF,OF=-OD,

22

.OEOF\

~OF=~OD=2，

?.?/EOF=NFOD,

.-.AEO^AFOD,

?_E_F__O_E___1

"~FD~~dF~2"

即竺1的值為_L.

DF2

4.（2025?利川市一模）如困，在AANC中，AB=ACf以順為直徑的0。與邊NC交于點Q,過點。作

。石_1_4。于點七.

(1)求證：￡花是G>O的切線；

(2)若AC'與相交于點V,連接。W,求證：DM=/K：；

(3)^sinZ^D=—,求證：AM=CE.

3

【解答】證明：(1)如圖所示，連接OD,

?.?A4=AC,OB=OD,

;"C=NB=NODB,

\-DElACf即Z￡>EC=900,

/.ZC+ZCDE=90°,

NODB+/CDE=90。,

NODE=90°,

:.ODlOEt

又,.?O￡>是0。的半徑，

:.DE是OO的切線；

(2)如圖所示，連接OM,

\-OA=OM,

ZOAM=ZOMA,

ODA.DE,ACA.DE,

：.AC//ODr

/.ZBOD=AOAM=ZDOM=ZOMA,"DM=ZDMC,4C=/ODB,

\-OB=OD=OM,

:.bOBD=M)MD(SAS),

NODB=ZODM=ZDMC,

:"DMC=NC,

/.DM=DC；

(3)?.?人/?是直徑，

/.Z4/^=9O°,

\-AB=ACf

BD=CD,

Rn卜

在RtAABD中，sinZBAD=—=—,

AB3

可設(shè)BD=3x,AB=3限,

AC=36X,CD=3x,

Z.CDE+ZC=90°=/BAD+NB,ZB=ZC,

:"CDE=/BAD,

sinZCDE=sinZ.BAD,

在RdCDE中，CE=CDsin/CDE=6x,

?:DM=DC,DE1CM,

CM=2CE=2后,

AM=AC-CM=y/3xf

:.AM=CE.

5.(2024?梁子湖區(qū)校級自主招生)等腰直角AABC和GX)如圖放置，已知AB=8C=1,Z4BC=90°,QO

的半徑為1,圓心O與直線AB的距離為5.現(xiàn)AA8C以每秒2個單位的速度向右移動，同時AA8C的邊

長AB、3c又以每秒0.5個單位沿胡、8C方向增大.

(1)當(dāng)A44C的邊(8C邊除外)與圓第一次相切時，點4移動了多少距離？

(2)若在A4BC移動的同時，0。也以每秒1個單位的速度向右移動，則A4BC從開始移動，到它的

邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？

(3)在(2)的條件下，是否存在某一時刻，AA5C與0O的公共部分等于OO的面積？若存在，求出

恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由.

A

?o

RC

【解答】

解：(1)設(shè)第一次相切時，AA8c移至△A6。處，/TC與CX＞切于點七，連OE并延長,

交B'C于F.

設(shè)OO與直線/切于點。，連8,則OEJLAC,。。，直線/.

由切線長定理可知C'E=CD,設(shè)仁力=x,則=易加CF=Ox.

：.y/2x+X=1,

/.x=\/2-1,

:.CC'=5-1-(x/2-l)=5->/2.

.?.點C運動的時間為(5-&)+(2+0.5)=2-半.

.?.點8運動的距離為(2-竽)x2=4-殍.

(2);A44c與0O從開始運動到最后一次相切時，是A5與圓相切，且圓在A3的左側(cè)，故路程差為

6,速度差為1,

.?.從開始運動到最后一次相切的時間為6秒.

(3)?.?AA8C與0O從開始運動到第二次相切時，路程差為4,速度差為1,

.??從開始運動到第二次相切的時間為4秒，此時AA8C移至△A”火。，處，

^^=14-4x1=3.

2

連接皮。并延長交A〃U于點P,易證87_LA〃C〃，且8=逑-拒=也＜1.

22

.??此時0。與A〃C〃相交，

不存在.

6.(2009?肇慶)如圖，0O的直徑AB=2,AM和的V是它的兩條切線，DE切。0于E,交AM于Q,

交BN于C.設(shè)A/)=x,BC=y.

(1)求證：AM/!BN：

(2)求y關(guān)于尤的關(guān)系式；

(3)求四邊形A8C￡)的面積S,并證明：S..2.

【解答】(1)證明：是直徑，AM>?V是切線,

：.AMLAB,BN工AB,

(2)解：過點。作￡>F_L4C于F,則/W//O尸.

由(1)AM//BN,；.四邊形ABFD為矩形.

.\DF=AB=2tBF=AD=x.

?:DE、DAtCE、CB都是切線，

根據(jù)切線長定理，得。E=0A=x,CE=CB=y.

在RtADFC中，DF=2,DC=DE-CE=x+yfCF=BC-HF=y-xf

：.(x+j)2=22+(y-x)2,

化簡，得y=■!"(x>0).

x

(3)解：由(1)、(2)得，四邊形的面積S=LAB(AO+BC)=」X2X(X+3,

22x

S=x+-(x>0).

x

,/(x+-)-2=x-2+-=(\[x--^-)2..0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立.

xx

/.X+-..2,即S..2.

BF

7.(2007秋?張家港市期末)如圖，RtAABC中，NACB=90。，以人C為直徑的Q)O與"邊交于點。,

過點。作0O的切線，交BC于點七；

(1)求證：BE=CE；

(2)若以O(shè)、。、E、C為頂點的四邊形是正方形，的半徑為廣，求ZV3C的面積;

(3)若EC=4,80=46,求0。的半徑OC的長.

【解答】(1)證明：連接CD,由AC是直徑知CD_LA8;

DE、CE都是切線，所以O(shè)E=CE,ZEDC=NECD；

又N8+N￡CD=90。，ZBDE+Z￡ZX?=90°：

所僅ZB=ZBDE,所以BE=DE,從而BE=CE；

(2)解：連接Q/),

當(dāng)以O(shè)、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，DE=EC=OC=OD=r；

從而BE=『,即AABC是一個等腰直角三角形；

AC=AB=2rtSMBC=2/；

(3)解：若EC=4,BD=443,則8c=8；

OF)h

在RtABDC中，cosZCTD=一=—;所以/。8￡)=30°;

BC2

在RlAABC中，—=tan30°,/\C=?Ctan30°=8x^=^,0C=—=—;

BC3323

另解：設(shè)OC=〃，AD=x；由EC=4,6。=40得〃C=8,DC=4;

=巫

則”—2,解得即。小華.

64+4r2=(4V3+x)24,33

r=---

3

8.（2007?河池）如圖1,已知正方形44c。的邊長為26，點M是4）的中點，尸是線段上的一動

點（P不與M,。重合），以AA為直徑作0O,過點尸作OO的切線交BC于點r，切點為E.

（1）除正方形A4C。的四邊和。。中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）;

（2）求四邊形C/?廠的周長;

（3）延長6,FP相交于點G,如圖2所示.是否存在點P,使BFFG=CFOF?如果存在,試求

此時期的長；如果不存在，請說明理由.

圖1圖2

【解答】解：（1）FB=FE,PE=PA.

(2)四邊形a?廠的周長為

FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF

=BF+FC+CD+DP+PA

=BC+CD+DA

=2>/3x3=6V3.

(3)存在.

?.?BFFG=CFOF

BFCF

~OF~~FG

BFCF

?/cosZOFB=—,cosZGFC=—

OFFG

:"OFB=NGFC

?；NOFB=NOFE

ZOFE=Z.OFB=NGFC=60°

/.在RtAOFB中，F(xiàn)E=FB==1

kin60°

在RtAGFC中

?:CG=CFtanZGFC=CFtan60°=Q8-l)tan60°=6-x/3

.\ZX；=CG-CD=6-3x/3

.?.DP=DG-tanZPGD=DG-tan300=2x/3-3

/.AP=AD-DP=2>/3-{2>/3-3)=3.

9.(2007?廈門)已知：如圖，PA.尸8是0。的切線；A、8是切點；連接04、08、OP,

(1)若ZAOP=60。，求NOP3的皮數(shù);

(2)過。作0C、(％)分別交AP、BP于C、。兩點，

①若/COP=NDOP,求證：AC=BD；

②連接C￡>,設(shè)AP8的周長為/,若/-2/W,判斷直線8與O。的位置關(guān)系，并說明理由.

【解答】解：(1)?.?以為0O的切線，

.?./。4產(chǎn)=90°；

又NAOP=60°,

.-.Z4PO=30°；

由切線長定理知ZPBO=Z^4O=90°：

義OP=OP,

.—PAO合"BO(HL)：

:./OPB=NOPA=3U.

(2)①證明：由(1)中知9力0=△040;

/./POB=/POA,又4COP=/DOP;

;.NCOA=/DOB,而NC4O=/O89=90。，OA=OB,

/.AAOC^ABOD;

AC=BD;

②延長射線P4到/使=

OA=OB,ZOAF=NOBD；

7.ACM?；

.\OF=OD；

?.?APCQ的周長為/,/=2AP,

：.l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；

:.CD=AC+BD,

,/AF=BD,

:.CF=CD;

又?.?OC=OC,OF=OD;

:.AOFC=AODC(SSS)；

所以CF和CD邊上所對應(yīng)的高也應(yīng)該相等.

過OEJ_CD于石，則OE=QA=R(A為半徑長度);

1().(2004?奉賢區(qū)二模)如圖，已知在邊長為1的正方形八5CD中，以。為圓心、A4為半徑面版AC,

E是4?上的一動點，過E作AC的切線交AC于點尸，切點為G,連GC,過G作GC的垂線交4)與N,

交CZ)的延長線于M.

(1)求證：AE=EGfGF=FC；

(2)設(shè)=用含x的代數(shù)式表示小的長；

(3)在圖中，除Gb以外，是否還存在與FC相等的線段，是哪些？試證明或說明理由；

(4)當(dāng)AGON是等腰三角形時，求AE的長.

【解答】解：（1）由于E4、EF、"C都是圓。的切線，且A、G、。是切點,

因此根據(jù)切線長定理，可得出A￡=EG,GF=FC；

(2)，殳尸C=1,BE=\-x,BF=\-t,EF=x+f,

在直角三角形BEF中,(l-x)2+(l-t)2=(x+t)2,

解出f=S,

\+x

L-1-X

FC=-----；

\+x

(3)存在，ND=FC,Gb是0。的切線，

AZZX；F=90°,

連。尸，那么DF平分瓠GC,且O/J_CG,

vZFCG=90°-ZGCDfNGMC=90。-NGCD,

:.ZFCG=ZGMCt

?.?ZA/￡)A^=ZDCF=90°,MD=DC,

:.M1DNw&)CF,

:.DN=FC；

(4)當(dāng)AGOV是等腰三角形時，只能看GN=ND,

.?.△GDV二△GAC,

:.GD=DC=CG,ZZ)GC=60。，ND=MDlan30°=—=—,

3\+x

/.x=2-G.

11.(2025?惠來縣模擬)如圖，A8是OO的直徑，且AB=3,點M為外一點，且M4,"C分別切

G)o于點A、C,點。是兩條線段4c與AM延長線的交點.

(1)求證：DM=CM;

(2)若ACDM為等邊三角形，求CM的長.

【解答】(1)證明：?「M4,MC分別切OO于點A、C,

：.BAlAL)fOCA.CM,

.?.ZE4/)=90°,ZOCM=90°,

.-.ZB+ZD=90°,NDCM+ZBCO=90。，

?;OB=OC,

:.ZB=ZBCOf

/.ZZXJW+ZB=90°,

:.ZD=NDCM,

：.DM=CM；

(2)如圖，連接AC,

?.?順是0。的直徑,

ZACD=ZAC5=90°,

?/ACD,W是等邊三角形,

/.Z/9=6UU,CM=CD,

在RtAABD中，

sAB3A

AD=----=------=V3,

tanDtan60°

在RtAACD中，

CD=/tDcosD=V3cos60°=—,

2

,?8

??CM=--?

2

12.(2025春?余干縣期中)如圖，在AACE中，以4c為直徑的0O交CE于點。，連接4),且

ZDAE=ZACE,連接QD并延長交他的延長線于點?，/歸與G)O相切于點8.

(1)求證：AP是0。的切線；

(2)連接交OP于點尸，求證：

(3)tanZ.OAF=—,求2■的值.

2AP

【解答】(1)證明：:AC?是0O的直徑,

.?.zLWC=90°,

/.ZACE+ZC4D=9O°,

?/ZZME=ZACE,

.?.ZZME+ZC4D=90°,

即NC4￡=90。，

二半徑。4J.AP,

.?.AP是G)O的切線；

(2)任明：如圖，連接08,

?.?44、尸8分別與0O相切于點A、B,

:.PA=PB,

???04=04,

S.OP1AB,

:.ZAFD=^P,

?.-ZA/Jfc=18(r-ZA/X=18(r-90,J=9(r,

：.ZAFD=ZADEy

-.?ODlABf

AD=BD,

.\Z4CD=Zft4D,

-,'ZACD=ZDAEf

：.ZBAD=ZDAEtZFAD=ZDAEf

/.NFAD^NDAE:

(3)由(2)知：OPA.AB,

.?.Z4FO=90。,

OF

/.tanZOAF=——，

AF

'：tanZ.OAF=—,

2

二——OF=-1,

AF2

設(shè)(>"="?,則A尸=2/",

OA=ylOF2+AF2=J府+(2/〃)2=&n,

?.?A尸是G)O的切線，

:."AO=9tT,

.?.Z4ro+ZAOP=90°,

ZGL4F+ZAOP=90°,

：.ZOAF=ZAPOf

tanZAPO=tanZ.OAF=—,

2

一OA=-1,

AP2

/.AP=2OA=2?,

AF_2m_\/5

AP2y/5m5

o

13.(2025?南充模擬)如圖，AB是0。的切線，AC是0。的直徑，8c與0。交于。，弧CD上一點、E,

使得點O成為弧AE的中點，連接AE與8C交于F.

(1)比較A8與人尸的長度.并說明理由.

(2)當(dāng)43=6,4c=10時，求C"的長.

【解答】解：(1)=理由：連接AD.

?.?A8是的切線，

/.A81AC,^Pza4C=90°.

ZB+ZC=90°.

??,AC是OO的直徑，

:.ZADC=90°.

.?.ZC4D+ZC=90°.

/.ZCAD=ZB=ZDAE+ZCAE.

???￡)為AE的中點，

/.AD=DE.

：.ZDAE=ZC.

ZAFB=ZCAE+ZCt

：.ZB=ZAFB.

AB=AF.

(2)?：ZB=/B,NE4C=Z/U用=90。，

:.AABD^^CBA.

.ABBD

"~CB~~BA'

6BD

二.一=——.

106

.—.6.

由(1)知=且4)_L〃C',

BD=DF-3.6.

：.BF=BD+DF=7.2.

:.CF=BC-BF=\0-7.2=2.8.

即CF的長為2.8.

14.(2025?游仙區(qū)模擬)AAB尸是等邊三角形，過A、8兩點作0。，AP與相切，。是弦上一

點，射線OC_LP”于點H.

(1)求證：BP是QO的切線;

(2)若A4=44C,求tanN4C〃；

(3)求當(dāng)AP=26時，OCOH的值.

【解答】(1)證明：連接O產(chǎn)、OB、OA,如圖所示,

是0。的切線，

：.OA1AP.

:.ZOAP=900.

又丁A48P是等邊三角形,

：,AP=BP.

在MOP和M3OP中，

AP=BP

OA=OB

OP=OP

;.MOPwXOBP(SSS).

...N。肝=NQ4P=900.

:且5是0。的半徑.

:.BP是OO的切線.

(2)解：若QP與相交于N點,

-,-PA.P8與0O相切，

/.AAPO=/BPO=-NAPB=30°.

2

：.AN=BNtOPLABt

/.ZOAC=90°.

設(shè)8C=x,

?.?人4=4BC,

：.AB=4x,AN=BN=2x.

:.CN=BN-BC=x,

?.?AABP是等邊三角形，

.-.Z/^V=60°.

Z.OAN=Z.OAP-々PAN=30°.

在RtAOAN中，

tanZOAN=-

ANt

ON=ANtan30°=—x.

3

在RtAONC中，

?/八ON2G

tanZ.OCN=-----=------.

NC3

ABCH=NOCN,

tanZfiC//=—.

3

(3);PH工OH,

N"O=900.

ZONC=90°,ZPOH=NCON,

:.AOCN^OPH.

,PCON

~OP=OH?

奧OCOH=ONOP.

?:ANiOP,OALAPt

:.ZOAP=ZONA=90P.

.?.NAQV+NOW=90°,ZA6W+ZAPO=90°.

NOAN=ZAPO.

.?.AACWSAFCM.

...0=絲，OA2=ONOP.

OPOA

:.O^=OCOH.

在RlzXAPO中，tanZ4PO=—,

AP

?/ZAPO=30°,AP=26.

OA=AP-tanZAPO=2>/3—=2.

3

.?.OCOH=0