2026年中考數(shù)學一輪復習圖形的相似

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?青陽縣模擬）在△ABC中，Z5=30°,ZC=90°,尸為48的中點，D,五兩點分別在

PE

4C邊和8C邊上，ZDPE=90°,則一=（）

PD

12V3\[3

A.-B.-C.——D.—

2323

2.（2025?蓬江區(qū)校級三模）如圖，AABC以頂點A為位似中心放人后得到△ADE,若方格紙的邊

3.（2025?孝義市三模）我國古代數(shù)學著作《周髀算經》記載商高用矩（帶有直角的曲尺）之道"偃

矩以望高”的數(shù)學道理，即用曲尺測量物體高度的方法.如圖所示：設曲尺平行于水平線的一邊

DE長度為a,垂直于水平線的一邊。。長度為仇當人眼A曲尺兩邊端點C,E,物體44的頂

端點4在同一直線上時，人眼尸到過點B的水平線的高度為h,人眼尸到物體AB的水平距離為c,

則可求得物體加勺高度等吟十九.其依據的圖形變化是（）

X

A

C

b6

D

線

水平

A.圖形的平移B.圖形的粕對稱

C.圖形的旋轉D.圖形的相似

4.（2025?岳麓區(qū)校級三模）已知△ABC與AAi81cl是位似圖形，位似比是1：3,則△A8C與△AiBCi

的面積比（）

A.1：3B.1：6C.1：9D.3：1

5.（2025?新興縣一模）如圖.在回A8CQ中，8E是NA8C晌平分線，延長8E交CO的延長線于點

F.若。尸=6,AB=12,則8。的長為（）

6.（2025?棲霞區(qū)校級三模）如圖，AB//CD,A。與8C相交于點O,過點。的直線與AB,C。分

別相交于點E,F,若A8=2,8=4,則下列關系正確的是（）

7.（2025?浙江模擬）如圖所示網格中，線段48是由線段CD位似放大而成，則位似中心是（）

8.（2025?東營模擬）如圖，在△AAC中，CB=C4,NAC8=90°,點。在邊上（與點8,C

不重合），四邊形AOE/7為正方形，過點尸作尸G1.CA,交C4的延長線于點G,連接小，交DE

于點Q.下列結論：d）AC=FG；②5△用B：5四邊形CBFG=1：2：?ZABC=^ABF,@AD1=FQ-AC.其

中結論正確的序號是（）

AD3

9.（2。25?深圳校級模擬）如圖'在△"C中‘點。'￡分別在,AC±,DE//BC,若訪=下

AE=6,則CE的長為（)

A.14

10.（2025?蕭山區(qū)二模）在平面直角坐標系中，△A。/?的頂點A的坐標為（-2,4）.若以原點。

為位似中心，相似比為之把△408縮小，則點4的對應點4的坐標是（）

A.(-1,2)B.(-1,2)或(1,-2)

C.(-4,8)D.(-4,8)或(4,-8)

二.填空題（共5小題）

11.（2025?浙江模擬）如圖，在矩形ABC力中,人/?=2.點。在邊8。卜，過點。作AP的垂線交射

線CD于點Q,若有且只有三個不同的點P,使得OQ=,則的長為.

12.（2025?青陽縣模擬）如圖，尸為正方形A8CO內一點，連接以，PB,PD,點E在PD上,連

接CE,ZPBC=ZPDB=ZECD.

DD

（1）二7的值為；

（2）若NP8C=a,則/以Q=.（用含a的式子表示）

13.（2025?凌河區(qū)校級三模）點E為正方形ABC。的邊A8上一點，連接。E,AC,且?！昱c人。相

交于點M.若:"ME=--則sinZCDE=.

S4CMD16

圖1圖2

（2）模型應用：

我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰四邊形”.在“等鄰四邊形中，AB=

AD,NBAD+NBCD=90",AC.8。為對角線，AC=試探究BC、CD、8。的數(shù)量關系.

（3）模型提升：

如圖，在△ABC中，DB=DA,ZADB=\20°,連CD,ZBCD=\50,BC=4近,4c=2g,

直接寫出■CD的長度為.

⑵題圖⑶題圖

17.（2025?武漢）如圖，四邊形/WC。是正方形，點石在邊CO上，點尸在邊的延長線上，OE

=CF,射線AE交對角線8。于點G,交線段。尸于點〃.

（I）求證：DH=GH.（溫馨提示：若思考有困難，可嘗試證明△AOEgZXOCQ

(2)求證：AG*EH=EG?GH.

GEDH

（3）若諭:〃，直接寫出左的值（用含〃的式子表示）.

備用圖

18.（2025?青陽縣模擬）在△A4C中，點。在8c邊上，過點。作「PE//AC,。為4c

外一點，EO垂直平分PQ,分別連接AQ,QQ.

（I）如圖1,求證：4E=/）Q；

40AH

（2）如圖'設PQ分別與g4。相交于點G，H,求證：-=-

（3）如圖2,若AB=AC,連接CQ,求NB+NAQC的度數(shù).

19.（2025?高要區(qū)校級二模）在平行四邊形A8CQ中，對角線AC,3。交于點O,P是線段OC上

一個動點（不與點。，。重合），過點P分別作A。，CO的平行線,交.CD于點、E,交BC,BD

于點尸，G,連接EG.

（1）如圖1,如果OP=2PC,ZBOC=a,求證：ZE>GE=180°-a；

（2）如圖2,如果N44C=90°,鋁=；,且aOGE與尸相似，求器的值，并補全圖形;

BC3PC

（3）如圖3,如果BA=8G=3C,且射線EG過點A,求NA/3C的度數(shù).

20.（2025?聊城模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點、,E為AD上一點,如果NQAC=/8,

CD=CE.

(1)求證：△ACES/XBAD.

(2)若CE=3,BD=4,AE=2,求E。的長.

BD

2026年中考數(shù)學一輪復習圖形的相似

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?青陽縣模擬）在△A8C中，N8=30°,NC=9C°,P為A8的中點，D,E兩點分別在

PE

AC邊和8c邊上，ZDPE=90°,則一=（）

PD

12V3V3

A.-B.-C.—D.—

2323

【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形；平行線的性質；三角形中位線定理；矩形的

判定與性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線：三角形：矩形菱形正方形；圖形的相似：解直角三角形

及其應用；運算能力；推理能力.

【答案】。

［分析］過點P作PGLAC于點G,PHLBC于點H,則四邊形CGPH是矩形，證OG,

pEpH

得出一=—，再證PG是△A8C的中位線，得出4G=CG=P”,然后由平行線的性質得出NAPG

PDPG

=ZABC=30Q,最后由銳角三角函數(shù)的定義即可得出答案.

【解答】解：如圖，過點尸作尸GL4C于點G,PHLBC于點、H,

則四邊形CGPH是矩形，NPHE=NPGD=90°,

：.PG//BC,CG=PH,NGPH=90°,

:,NGPD+NDPH=9a0,

???NHPE+NDPH=N/?E=90°,

???zlHPE-NGPD,

???△尸E”s△尸DG,

PEPH

"PD~PG

???P為A8的中點，PG//BC,

???PG是△ABC的中位線，/APG=/ABC=30°,

:?AG=CG=PH,

PEPHAG°百

=—=tan/"G=tan30°=

PDPGPG3

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、解直角三角形、三角形中位

線定理、平行線的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質和銳角三角函數(shù)的定義是解題

的關鍵.

2.（2025?蓬江區(qū)校級三模）如圖，△ABC以頂點A為位似中心放大后得到若方格紙的邊

長為1,則△ABC與△AO七的相似比是（）

A.2：3B.3：2C.2：5D.3：5

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據位似圖形的概念得到△ABCs△AOE,結合組形解答即可.

【解答】解：???△A8C以頂點人為位似中心放大后得到△人

??F8=2,AD=5,

???△ABC與△AOE的相似比是2：5,

故選：C.

【點評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念是解題的關鍵.

3.（2025?孝義市三模）我國占代數(shù)學著作《周髀算經》記載商高用矩（帶有直角的曲尺）之道"偃

矩以望高”的數(shù)學道理，即用曲尺測量物體高度的方法.如圖所示：設曲尺平行于水平線的一邊

OE長度為小垂直于水平線的一邊6長度為4當人眼尸，曲尺兩邊端點C,E,物體A6的頂

端點A在同一直線上時.，人眼尸到過點B的水平線的高度為/?,人眼r到物體AB的水平距離為c,

則可求得物體A8的高度等于生+,其依據的圖形變化是（）

A.圖形的平移B.圖形的粕對稱

C.圖形的旋轉D.圖形的相似

【考點】相似三角形的應用；幾何變換的類型.

【專題】圖形的相似：推理能力.

【答案】D

【分析】過E作于”，判定推出DE：HF=CD：AH,求出,4月=去

因此人8一八〃十與十人，丁是得到答案.

【解答】解：過E作FHLAB于H,

：,FH=c,

?：DE//HF,

：.ZCED=ZAFH,

?；NCDE=NAHF=90",

：?4ECDs^FAH,

:?DE：HF=CD：AH,

???ci：c=b：AH9

：.AH=*

；.AB=AH+BH=9+h,

其依據的圖形變化是圖形的相似.

故選：D.

A

R

X

A

U

b6

D

線

水平

【點評】本題考查相似三角形的應用，幾何變換的類型，關鍵是判定

4.（2025?岳麓區(qū)校級三模）已知△48C與△AIBCI是位似圖形，位似比是1:3,則△人AC與△人|所。

的面積比（）

A.1：3B.1：6C.1：9D.3：1

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案.

【解答】解：已知△ABC與△481。是位似圖形，位似比是1：3,

.*.5A4fiC：SA[B、G=1：9,

即△ABC與△4AiCi的面積比為I：9,

故選：C.

【點評】本題主要考查位似變換，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關鍵.

5.（2025?新興縣一模）如圖，在團ABC7）中，AE是4WC的平分線，延長BE交。。的延長線于點

A.12B.15C.18D.21

【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】先根據平行四邊形的性質得到CD//AH,AD//BC,則NAE4=NA/狎再證明NAB￡=

N4EB得到AE=AB=I2,接著證明利用相似比求出。石=6,然后計算出A。的

長，從而得到BC的長.

【解答】解：???四邊形48co為平行四邊形，

：.CD//AB,AD//BC,

*：AD//BC,

：.ZAEB=ZABE,

BE是ZABC的平分線,

工/ABE=/CBE,

工ZABE=ZAEB,

?"E=AB=I2,

^DF/ZAB,

:.△DEFS^AEB,

工DE：AE=DF：AB,

即OE：12=6：12,

解得DE=6,

???AQ=4E+QE=12+6=18,

.\?C=18.

故選：C.

【點評】本題考有了相似三角形的判定與性質：在判定詼個三角形相似時，應注意利用圖形中已

有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算

相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵.也考查了平行四邊形的性質.

6.（2025?棲霞區(qū)校級三模）如圖，AB//CD,AO與8C相交于點O,過點。的直線與AB,CO分

別相交于點E,F,若A8=2,CO=4,則下列關系正確的是（)

E01AD_1

C.—=-D.

F02BC~2

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的相似；推理能力.

【答案】C

40AB1

【分析】由A8〃CD,證明△AOBs/XC。。，因為A8=2,CO=4,所以一=—=由AE〃

DOCD2

EOAEAO1AE1AO1

DF,證明△AOESAOOF,得一二一=一二一，但一不一定等于一,一不一定等于可判

FODFB02CF2CO2

斷。符合題意，4不符合題意，B不符合題意;由空=登，得空=空，由笠不一定等于;，

ADBCBCBOBO2

證明券不定等丁3可判斷。不符合題意，于是得到問題的答案.

BC2

【解答】解：???AB〃C。，AB=2,C￡>=4,A。與8C相交于點。,

???△AOBs^cOD,

40A821

??9

DOCD42

???過點。的直線與AB,CZ）分別相交于點E,F,

：.AE//DF,

???△AOES^DOF,

E0AEAO1,AE.，”十14。,、,"十1

而=而=而=￥但了不一定等于而不一定常于￡,

故。符合題意，A不符合題意，8不符合題意;

AOB0

AD一BC

ADA0

BC-B0

,?喘不一定等于去

B02

???當不一定等于:,

BC2

故。不符合題意,

故選：C.

【點評】此題重點考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質等知識，證明AAOB

sRCOD取XAOEsXD0F是解題的關鍵.

7.（2025?浙江模擬）如圖所示網格中，線段/W是由線段CD位似放大而成，則位似中心是（）

A

B

A.P\B.尸2C.PiD.P4

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似：幾何直觀.

【答案】B

【分析】連接CA,DB,并延長，則交點即為它們的位似中心.繼而求得答案.

【解答】解：???如圖，連接。，DB,并延長，則交點即為它們的位似中心.

???它們的位似中心是Pi.

故選：B.

A

【點評】此題考查了位似變換.注意根據位似圖形的性質求解是關鍵.

8.（2025?東營模擬）如圖，在△ABC中，CB=C4,N4CB=90°,點。在邊8c上（與點8,C

不重合），四邊形ADE”為正方形，過點尸作尸GJ_CA,交C4的延長線于點G,連接尸8,交DE

于點Q.下列結論：①AC=/G；②S四邊形c.G=l：2：?ZAI3C=ZABFi?AD2=FQ*AC.其

中結論正確的序號是（）

A.???B.①②③C.①②③④D.②③④

【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質.

【專題】三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似.

【答案】C

【分析】由正方形的性質得出/%。=90°,AD=AF=EF,證出/C4O=NAFG,由A4S證明△

FGA^AACD,得出4C=/G,①正確；

證明四邊形C8/G是矩形，得出SA〃B=2FB-FG=2S@^^C/G，②正確；

由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出ZABC=NABF,③正確；

證出△ACOs△尸EQ,得出對應邊成比例，得出④正確.

【解答】解：??,四邊形AOE/為正方形，

AZAD￡=ZMD=90°,AD=AF=EF,

???NCA￡>+N布G=9（）°,

VFG1CA,

/.ZG=90°=/ACB,

AZAFG+ZMG=90°，

：.ZCAD=ZAFG,

在和△ACO中，

=zC

l^AFG=Z.CAD,

lAF=AD

:.△FG2XACD(AAS)，

：,AC=FG,故①正確；

9：BC=AC.

工FG=BC,

VZACB=90Q,FG1CA,

：.FG//BC,

???四邊形CBFG是矩形，

AZCBF=90°,

S^FAB=QFB,FG=qS四邊形CBFG'即S△FAB：S四邊形CBFG=1：2,故②正確；

VCA=CB,NC=NC8r=90°,

AZABC=Z/\BF=45°,故③正確；

ZFQE=ZDQB=ZADC=900-NBDQ,NE=NC=90°,

/.△AC￡)S/\FEQ,

/.AC：FE=AD：FQ,

???AO?/石二川力2：〃。》。，故④正確；

，正確的有①②?④，

故選：C.

【點評】本題考查正方形的性質，矩形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形相似的

判定和性質等知識.利用數(shù)形結合的思想是解答本題的關鍵.

403

9.(2025?深圳校級模擬)如空，在△4BC中，點。，E分別在A8,AC上，DE//BC,若一=

BD4

AE-6,則CE的長為()

9

A.14B.-C.8D.6

2

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據代入計算，得到答案.

【解答】解：

AEAD63

:.—=--,即an—=一,

ECDBEC4

解得：EC=8,

故選：C.

【點評】本題考杳的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

10.(2025?蕭山區(qū)二模)在平面直角坐標系中，AAOB的頂點4的坐標為(-2,4).若以原點。

為位似中心，相似比為去把AAOB縮小，則點A的對應點A'的坐標是()

A.(-1,2)B.(-I,2)或(1,-2)

C.(-4,8)D.(-4,R)或(4.-8)

【考點】位似變換：坐標與圖形性質.

【專題】圖形的相似：推理能力.

【答案】B

【分析】根據位似變換的性質計算即可.

【解答】解：???以原點O為位似中心，相似比為去把△AO8縮小，點A的坐標為(-2,4),

，點A的對應點A'的坐標為(-2x|,4x|)或［-2X(-1),4X(-1))，即(-1,2)

或(1,-2),

故選：B.

【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相

似比為匕那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或■上

二.填空題(共5小題)

11.(2025?浙江模擬)如圖，在矩形A8CO中，A8=2,點P在邊8c上，過點。作AP的垂線交射

線CD于點Q,若有且只有三個不同的點P,使得DQ=看則BC的長為5.

【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質.

【專?題】三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】5.

【分析】以8點為圓心，8c所在的直線為x軸，以A8所在的直線為），軸建立直角坐標系,設戶

aTn—m2

(〃?，0),C(。，0),則D(a,2),證明△ABPS/XPCQ,從而求出Q(0一--),則

2

2

DQ=\-2|=再由題意分兩種情況討論：當nr-am-\-7=0有兩個不同的實數(shù)根,

卬〃+竽=0有兩個相等的實數(shù)根時，解得〃=5,可知座均長為5；當〃?2一卬，4=0有兩個相等

的實數(shù)根，〃%-〃〃?+予=0有兩個不同的實數(shù)根時，fl2-7=0,?2-25>0,此時。無解.

【解答】解：以B點為圓心，EC所在的直線為x軸，以AB所在的直線為），軸建立直角坐標系,

?"(0,2),

設P(w,0),C(〃，0),則。(a,2),

'AP±PQ,

?NAP8+/CPQ=90°,

?/AP8+/以8=90°,

?NCPQ=NHB,

,MBPsAPCQ,

ABBP2m

?—=—,即=—,

CPCQa.—TnCQ

「八am-m2

?CQ=----2----,

am-m2

?QCa,),

am-m29

-DQ=\----2|=I，

2?7八t，25八

?〃廣-卬〃+彳=0或nr-atn+彳=0

?有且只有三個不同的點P,

.〃?有且只有三個不同的實數(shù)根,

當m2-〃〃汨=0有兩個小同的實數(shù)根，〃?2-〃〃?+竽=0有兩個相等的實數(shù)根時，

???J-7>0,（?-25=0,

解得。=5,

???BC的長為5；

當/-am+l=0有兩個相等的實數(shù)根，濯-卬〃+竽=0有兩個不同的實數(shù)根時，

???/-7=0,a2-25>0,

此時a無解；

綜上所述：8c的長為5；

故答案為：5.

【點評】本題考查相似三角形的判定及性質，根據所給的條件建立適當?shù)淖鴺讼担瑢⑺鶄€問題轉

化為一元二次方程根的問題是解題的關鍵.

12.（2025?青陽具模擬）如圖,。為正方形人AC。內一點.連接雨.PR.PD.點、E在PD卜.連

接CE,ZPBC=ZPDB=ZECD.

PB廣

（1）二二的值為V2；

（2）若NP8C=a,則90°?2a.（用含c的式子表示）

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】（1）V2；

（2）90°-2a.

PBBD廣

【分析】（1）根據得到=—=V2：

DECD

（2）如圖，連接AC,交6。于點O,過點4作4MJ_PZ）于點M,連接OM,求出點4O,M,

。在同一個圓上，由此解決問題.

【解答】解：（1）.；NCBD=NCDR=45°,NPBC=/PDB,

:?/PBD=/CDE,

PBBD

???一=—=Vr2：

DECD

（2）如圖，連接AC,交8。于點O,過點A作AM_LP。于點連接

AZAOD=ZAMD=90°,

???點A,O,M,。在同一個圓上，

???NMOD=NMAD,

???ZMAD=90°-ZADB-NPDB=45°-a,

：.ZMOD=45°-a.

???NDBP=NDBC-NPBC=450-a,

；?NM()D=NDBP,

：,OM//BP,

???。是BQ的中點，

???M是尸。的中點，

???AM垂直平分PO,

，AM平分

ZPAD=2ZMAD=90°-2a.

【點評】本題考查了相似三角形的性質與判定，正方形的性質等，掌握相似三角形的性質與判定

是解題的關鍵.

13.（2025?凌河區(qū)校級三模）點E為正方形48C。的邊AB上一點，連接DE,AC,且?！昱c4。相

交于點M.若沁空1E4"

=—則sinZCDE=-------

S^CMD16-17'

【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形；正方形的性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

……4>/17

【答案】才?

【分析】由推出沁絲AE211?AE1

=(一)=—,得到一=一，m因此一=一，令A

74E=x,

SMMDTD16CD4AD4

AD=4x,由勾股定理得到DE=即可求出sin/AED=4關.由/COE=NAEO,得至Usin

ZCDE=s\nZAED=

【解答】解：???四邊形人4CD是正方形，

：.AE//CD,AD=CD,

???AAMEsMCMD、

,S^AME/E，1

■■-----=(---)=—

S&CMDC。16

AE1

?■=—,

CD4

AE1

??,

AD4

令AE=x,AD=4x,

DE=\/AE2+AD2=V17x,

AH4x4/17

'CAE//CD,

AZCDE=ZAED,

AsinZCDE=sinZAED=

4g

故答案為：.

17

【點評】本題考查相似三允形的判定和性質，解直角三角形，正方形的性質，關鍵是由△/!”￡：”

4E1

△CMQ,得到一=

AD4

14.（2025?海倫市二模）如圖，在矩形A8C。中，48=1,CB=2,連接AC,以對角線AC為邊，

按逆時針方向作矩形ACGBi，使矩形ACG所相似于矩形ABC。；再連接A。，以府角線AG為

邊，按逆時針方向作矩形ACCB2,使矩形AC1C282相似于矩形AC。'；…按照此規(guī)律作下去.若

矩形ABC。的面積記作Si，矩形AC。a的面積記S2，矩形AC1C282的面積記作S3，…，則S2025

【考點】相似多邊形的性質；規(guī)律型：圖形的變化類；矩形的判定與性質.

【專?題】圖形的相似；推理能力.

【答案】2X(1)2024.

【分析】根據已知和矩形的性質可分別求得4C,再利用相似多邊形的性質可發(fā)現(xiàn)規(guī)律Sn=2x

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，

???AC=7AB2+BC?=Vl2+22=瓜

???按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形ACC\B\,

???矩形ACCgi的邊長和矩形A3CD的邊長的比為遙：2,

???矩形ACCgi的面積和矩形A3CO的面積的比5：4,

Si=2X1=2,

'S'2—2x

S3=2x(廣，

S2025=2X(')2024

故答案為：2X(1)2024.

【點評】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質，解題的關鍵是找出規(guī)律.

15.(2025?河南校級三模)如圖是某校數(shù)學課外興趣小組收集到的木質花窗圖形，將其中部分抽象

為如圖所示的平面圖形.發(fā)現(xiàn)四邊形A8CO是菱形，ZDAB=6Q°,。是BQ的中點，點E在邊

BC上，四邊形OEC下是矩形，則SMEO：S&EOF是1：3.

【考點】相似三角形的判定與性質：菱形的性質；矩形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；解直角三角形及其應用:

運算能力；推理能力.

【答案】1：3.

【分析】連接OC交E尸于點L由矩形的性質得NEO尸=NOEC=90°,0乙=瓦，則N8EO=90°,

由菱形的性質得BC=。。，/DCB=/DAB=64°,則△3CO是等邊三:角形，所以NO3E=60°,

則N8OE=90°?NO8E=30°,因為。是8￡＞邊的中點，所以CO_LB。，求得/￡OE=60°,則

△EOL是等邊三角形，所以"EO=60°,可證明△BEOS/^EOF,由些=tan/8OE=tan30°=孚

EO3

求得:ABE。_（萼）2=i即S^BEO-S2EOF=1：3,于是得到問題的答案.

S&EOFEO3

【解答】解：連接OC交EF于點心

???四邊形OEC/是矩形，

11

:?NEOF=NOEC=90°,OL=CL=^OC,EL=FL=汐,且OC=E-

/.ZBEO=90°,OL=EL,

???四邊形ABC。是菱形，ZDAB=60a,

:?BC=DC,NDCB=NDA8=60",

是等邊三角形，

AZOBE=60°,

/.ZBOE=90°-NOBE=30°,

???。是8。邊的中點，

：.COLBD,

/.ZBOC=90G,

VZLOE=9O0-N6OE=60°,

:AEOL是等邊三角形，

zreo=6o°,

???/BEO=/EOF,/OBE=NFEO,

MBEOs^EOF,

BEJ?

???一=tanZBOE=tan30°=多

EO3

?S&BEO_/BE2_V32_1

,,SXEOF=（而）=（彳）=3T

S^BEOtS&EO尸=1：3，

故答案為：1：3.

【點評】此題重點考查矩形的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定

與性質、解直角三角形等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?錦江區(qū)校級模擬）（1）模型探究：

如圖1,點。、E分別為AA8c的邊A3、AC上的兩點，DE//BC,將△AOE繞點A逆時針旋轉某

個角度得△AO'E',分別連接4Q'、CE'（如圖2）.

求證：△AB。'^AACE1；

（2）模型應用:

我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰四邊形”.在“等鄰四邊形“488中，AI3=

AD,NBAD+NBCD=90",AC、8。為對角線，AC=>/2AB.試探究8C、CD.8。的數(shù)量關系.

（3）模型提升：

如圖，在△A8C中，DB=DA,ZADB=\20°,連CD,NBCD=15°,BC=Aa,4c=2值,

直接寫出?CD的長度為盧—.

⑵題圖⑶題圖

【考點】相似形綜合題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；圖形的相似：解直角三角形及其應用:

運算能力；推理能力.

【答案】（1）證明過程詳見解答；

（2）BC2+CD2=2BD2：

10>/3

（3）.

3

OAEf

【分析】（1）可得出一=—，NBAD'=ZCAEf,從而△A8。'^AACE1；

(2)將△R4C繞點八逆時針旋轉NB/1O至△D4W,連接CW,從而得出OW=8C,ZCAW=Z

CWACr-L

BAD,由(1)知，△CAWS/^BAQ,從而一=一=V2,ZAWD=ZACB,從而得出CW=0BC,

BCAB

ZCDW=ZCAW\ZACD\^AWD=ZBAD\ZACD\ZACB=ZBADiZBCD=90Q,進一步得出

結果；

(3)將△CQ3繞點。逆時針旋轉120°至△1/￡%,連接CV,作AX_LCV于X,從而得出NAVQ

=ZBCD=\50,ZCDV=\20°,CD=DV,AV=BC=^V2t進而得出/OVC=NOCV=30°,

從而乙4伙7=/川7>+/。-7=45°,解三角形ACV得出結果.

【解答】(1)證明：：。石〃8C,

?ADAE

''AB~AC

??,△4。石繞點A逆時針旋轉某個角度得△A。'E',

：.AD'=AD,AE'=AE,N。'AE'=NDAE,

AD>AEt,

???一=—,/84C+NCA。'=N。'AE'+ZCAD1,

ABAC

：.^BAD'=ZCAE',

：./\ARD'sMCE：

(2)如圖1,

圖1

BC1+CD2=2BD2,理由如下：

將△8AC繞點4逆時針旋轉NR4Q至△DAW,連接CW,

：.DW=BC,ZCAW=ZBAD,

由(1)知，△C4WS/\B4D,

rwACl

???一=—二夜,ZAWD=ZACB,

BCAB

CW=yflBC,Z1CDW=CAW+z：ACD+zlAWD=z：B/\D+Z1ACD+z：ACB=^B/\D^zlBCD=

90°,

：.D\V1+CD1=CyV1,

：.BC2+CD2=(或皿2,

：.BC1+CD2=2BD1^

(3)如圖2,

圖2

將△CQ3繞點。逆時針旋轉120°至△VD4,連接CV,作AX_LCV于X,

AZAVD=ZBCD=\5°,ZCDV=120°,CD=DV,AV=BC=4y[2,

.?.ZDVC=ZDCV=30°,

???NAVC=NAVO+NOVC=45°,

???VX=AX=^AV=4,

J（2同）2-42=6,

:.CX=>JAC2-AX2=

ACV=VX+CX=J0f

CV10V3

:,CD=73=—

10\/3

故答案為：-Y-

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，旋轉的性質

等知識，解決問題的關鍵是利用旋轉作輔助線，構造相似三角形.

17.（2025?武漢）如圖，四邊形ABC。是正方形，點E在邊C。上，點F在邊的延長線上，DE

=CF,射線AE交對角線8。于點G,交線段。尸于點”.

（1）求證：DH=GH.（溫馨提示：若思考有困難，可嘗試證明△ADEg△￡＞（:/）

（2）求證：AG?EH=EG?GH.

r*pnu

（3）若=直接寫出二T■的值（用含〃的式子表示）?

備用圖

【考點】相似形綜合題.

【專題】圖形的全等：等腰三角形與直角三角形：矩形菱形正方形：圖形的相似：解直角三角

形及其應用；運算能力：推理能力.

【答案】（1）證明過程詳見解答;

（2）證明過程詳見解答;

n+1

(3)

n2+2n

【分析】（1）可證得△OCF,從而NDAE=NCDF,進而證得N”O(jiān)G=NOGH,從而

DH=GH；

(2)作〃W_LQC,交QC的延長線于W,根據△ADEgZXQCRGH=DH,從而的粗N'A￡Q=N

F,可證得NW=NRZW=ZHEW,進而得出HW=EH,可證得5Gs/XEOG,進而證得竺=

EG

—=—=tanZAED,—=――=tanIV,從而得出絲=—,進一步得出結果；

DEDEEHHWEGEH

(3)由(1)知DH=GH,從而得出DF=AE,rfl(2)知，AG?EH=EG*GH,

從而得由空=〃，根據比例的性質得出=三，從而得出與=空=

gEH=GHGE+EH4AG二+GH=n+1GHAH

―,設GE=M,DH=GH=(〃+1)a,AG=nb,AH=(n+1)b,MEH=GH-GE=a,AE=

n+1

AG+GE=na+nb,可計算得出AH?AG=GH=(〃+l)b-bn=b,從而b=(w+1)a,進一步得出

結果.

【解答】（1）證明：???四邊形A8CO是正方形,

：.AD=CD,NADC=NBCD=NDCF=90°,NADB=NBDC=45°,

?：DE=CF,

/.(SAS),

：.ZDAE=ZCDF,

*/ZHDG=ZCDF+ZBDC=ZCDF+45°,

ZDGH=ZDAE+ZADB=ZCDF+45°,

NHDG=NDGH,

:?DH=GH；

(2)證明：如圖，

作HWLDC,交DC的延長線于W,

由（1）知，

△ADE且ADCF,GH=DH,

???ZAED=ZF,

ZWHF=ZOCW=90°,AFOH=ZCOW,

：,ZW=