高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)__等比數(shù)列及其前N項(xiàng)和專題

知識點(diǎn)?梳理

①等比數(shù)列的有關(guān)概念

1）等比數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值都等于同一個(gè)常數(shù)

的數(shù)列，其中這個(gè)常數(shù)稱為公比.

2）等比數(shù)列定義式：&=以〃之2M為常數(shù)）.

an-\

3）等比中項(xiàng)：若G/成等比數(shù)列，則G?二".

4）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:-=一尸或

5）等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和：Sn=--------（當(dāng)#1時(shí)），S〃=解（當(dāng)4=1時(shí)）.

i-q

②等比數(shù)列的單調(diào)性

%>0,q>1

單調(diào)遞增

a<00<<1

t9

q>00<gv1

單調(diào)遞減

%<0,>1

③等比數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，s“是數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.

I）若m+n=p+q（m,，7,p,qwN*），貝3有atn?an=apaq;

2）若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，公比為%則%%+,〃,%+2,”,……（kmwN"）是等比數(shù)歹U;

3）數(shù)列黑,SMS.』……成等比數(shù)列；

4）相鄰奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號保持一致.

第1頁共21頁

重點(diǎn)題型?歸類精講

?I

【例1-1］（2024年真題）等比數(shù)列｛〃“｝中，％+%=324,%+4=36,6+&二

A、2B、4C、9D、252

【例1-2】（2021年真題）若｛4｝是公比為3的等比數(shù)列，且q+%=5,則％=

【例1-3］（2020年真題）等比數(shù)列｛〃〃｝中，若4+〃2、嗎+G=12,則%=

【例1-41（2012年真題）己知｛〃”｝是等比數(shù)列，4+/+〃3=1，。6+。7+4=32,則q+%+…+為=___

【例1-5］（2011年真題）已知｛〃“｝是等比數(shù)列，4w生，4-2%=3%=1，則4=

【例1-6】（2010年真題）｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)歹1」，已知生=124+4+處=84,則％+生+%=

【例1-7］（2008年真題）S”是等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和,已知邑二1，公比4=1，則Sj=

A.2B.3C.5D.8

【例1-8】（2006年真題）設(shè)等比數(shù)列應(yīng)｝的第3項(xiàng)。3=12,第8項(xiàng)4=384,則第5項(xiàng)％=_（用數(shù)

字作答）

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【例1-9](2004年真題)已知等比數(shù)列的公比是2,且前4項(xiàng)的和為1,那么前8項(xiàng)之和為

【變式1】在等比數(shù)列｛4｝中，

(1)已知q=-3,q=2,求為;

(2)已知％=1,4=2,?！?16,求〃；

3

(3)已知q=-不,%=一27,求生.

(4)4=1q=；，求Sx；

102

(5)S3=14,q=2,求q；

【例2?1】已知數(shù)列應(yīng)｝為等比數(shù)列，的洶。=8,則，必=()

A.2B.4C.8D.16

【例2?2】已知等比數(shù)列｛6｝中，生=2,4=8,則4=()

A.4或-4B.-4C.4D.8

【例2?3】等比數(shù)列質(zhì)｝中，出=48,%=3,則由與1的等比中項(xiàng)為()

A.12B.-12C.±12D.30

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【例3-4】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和是S“.已知S3=3O￡=12O,貝1停=(

【變式1】已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S”=p.3"-2,則〃等于(

A.-3

【變式2】等比數(shù)歹向的前〃項(xiàng)和為S”，且則＞()

【變式3】已知數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，若“+生+/=3,i=9,則兀=()

D.120

題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合

【例牛1】(2019年真題)已知｛%是各項(xiàng)均為止數(shù)的等比數(shù)列，且〃3生嗎成等差數(shù)列，則仇｝的

公比為

【例42】(2018年真題)已知｛5｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=1,且4/，為成等比數(shù)列

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式

(2)設(shè)bn=%,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Sn

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【例小3】（2016年真題）已知也｝是等比數(shù)列，4=4也=▲,數(shù)列｛%｝滿足勺=1。22d

16

⑴證明數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列

（2）求?｝的前〃項(xiàng)和Sn的最大值

[^ij4-41（2009年真題）血｝是等比數(shù)列，也｝是公差不為零的等差數(shù)列，已知4=4=1,生=4,〃3=。

⑴求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式

⑵設(shè)｛么｝的前〃項(xiàng)和為S〃，是否存在正整數(shù)〃，使%=S.？若存在，求出〃，若不存在，說明理由。

【例生5】（2（）03年真題）已知等差數(shù)列｛4｝中，q=4,且q,%,又成等比數(shù)列，=求公差

[及項(xiàng)數(shù)〃

課后模擬?鞏固練習(xí)

1.正頊等比數(shù)列｛4｝中，4=1,。必=81,則4=（）

A.75B.3C.6D.9

2.在等比數(shù)列｛q｝中，若的7aMi=36,則〃2%=（）

A.6B.9C.±6D.均

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3.已知等比數(shù)歹lj{4}滿足4=2,q+6+q=26,則%+%+%=()

A.26B.78C.104D.130

4.在等比數(shù)列｛4｝中,若。5=2,%%=%,則｛4｝的公比夕=()

A.0B.1C.2&D.4

5.在等比數(shù)列｛叫中,3%；叼2%成等差數(shù)列，則：：？=()

2ch十4

A.3B.1C.9D.1

6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)和為28且％=4,則％=()

c

A.yB.7-K5

7.已知〃>0,等比數(shù)列〃L〃?+2,2/W+1,的第4項(xiàng)為()

979|

A.12B.iC.9D.子

22

8.已知｛《,｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，4+%=24,〃必二128,則公比q的值是()

A.2B.-2C.3D.?3

9.己知等差數(shù)列也｝的公差為2,若49，%成等比數(shù)列，則的=()

A.-10B.-6C.4D.-4

二、填空題

10.2和6的等比中項(xiàng)是______.

11.2和4的等差中項(xiàng)為,等比中項(xiàng)為.

12.首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的｝中，也，2%,%成等差數(shù)列，則公比好.

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13.設(shè)工為公比3的等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且孫2令見成等差數(shù)列，則卜

14.已知數(shù)列｛凡｝是首項(xiàng)6=4的等比數(shù)列，且44,-24成等差數(shù)列，則其公比4等于

三、解答題

15.等比數(shù)列｛《,｝中，4=1,生=4%.

⑴求幾｝的通項(xiàng)公式：

⑵記S”為｛q｝的前〃項(xiàng)和，若黑=31,求加.

16.已知等差數(shù)列｛《,｝滿足4=6,6=10.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列也｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和小若4=%,包=%，求九

17.已知數(shù)列｛q｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=1,且卬、的、%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列付｝的前〃項(xiàng)和為九求兀.

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等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

I知識點(diǎn)?梳理］

①等比數(shù)列的有關(guān)概念

1）等比數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值都等于同一個(gè)常數(shù)

的數(shù)列，其中這個(gè)常數(shù)稱為公比.

2）等比數(shù)列定義式：上一=夕（〃22國為常數(shù)）.

an-\

3）等比中項(xiàng)：若a,G功成等比數(shù)列，則G2=".

4）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：/或%=4”。

5）等比數(shù)列的前九項(xiàng)和：Sn=—~—（當(dāng)"1時(shí)），S“=叼（當(dāng)4=1時(shí)）.

T-q

②等比數(shù)列的單調(diào)性

%>0,>1

單調(diào)遞增

4<00vq<1

q>00<<1

單調(diào)遞減

%<0,q>1

③等比數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列，S“是數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和.

1）若，〃+〃=p+則有aman=冊q；

2）若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比為外則%%?。ゼ?……卜,，〃￡“,）是等比數(shù)歹小

3）數(shù)列Sm.S.SmSm-S21n……成等比數(shù)列；

4）相鄰奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號保持一致.

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重點(diǎn)題型?歸類精講

?I

【例1-1](2024年真題)等比數(shù)列｛〃“｝中，％+%=324,%+4=36,%+&二

A、2B、4C、9D、252

【答案】B

222

【解析】a3+a4=a]q+a2q=q(tz)+生)=320=36萬=2=:

—?4*-17

G+4=/3+4)="X36=4

快速求解，數(shù)列為等比數(shù)列，4+4，%+%，6+4也為等比數(shù)列

【例1-2】(2021年真題)若｛%｝是公比為3的等比數(shù)列，且q+%=5,則6=.

【答案】y

【解析】數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，也就是說有一列數(shù)，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)的3倍，那么第

3個(gè)數(shù)(%)就是第1個(gè)數(shù)(q)的9倍，4十。3=5,即q+9q=5,104=5,4=；,4=；,后一項(xiàng)是前一

項(xiàng)的3倍，那么這列數(shù)依次是

【例1-3】(2020年真題)等比數(shù)列｛4｝中，若4+%=|必+G=12,則％=

【答案】2

【解析】本題可以通過先算出公比4、首項(xiàng)％或者直接估值求解。

3

4+%=耳

32

%+%+/43=g'(q+%)=夕3x—=]2,g3=12x—=8,^=2

23

331

4+生=5,4+4夕=4+4乂2=34=5,4=-

乙乙乙

首項(xiàng)即第1個(gè)數(shù)是:，公比是2、即后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的2倍，所以第2個(gè)數(shù)4=1，第3個(gè)數(shù)%=2

[例1-4](2012年真題)已知｛〃〃｝是等比數(shù)列，4+生+%=1，4+/+仆=32,則<+%+…+=

【答案】73

【解析】

q+4+q=1,4+〃7+%=%q'+%<?’+%夕5=(q+/+%=32,1x=32,g=2

q+〃2+々3=L%+%+%=(ai+/+4)/=lx23=S,Oj+4+仆=(q+々5+a6H=8x2'=

64,q+生+…+。＜)=1+8+64=73

第10頁共21頁

【例1-5]（2011年真題）己知｛〃〃｝是等比數(shù)列，4工〃2，。1-2生=3%=1，則q=

【答案】3

【解析】3%=1必=：；%+2%=343，。[+2。q=34q2,1+2“=342,34'-24-1=(q-l)(3q+l

1,1

=0,4^a,q^\q=--\a=aq=-,?]=3

2yJ3J

【例1-6](201()年真題){%}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知％=12,%+4+%=84，則q+a2+ay=

【答案】21

【解析】％+/+%=84,12+129+1242=84萬+夕+1=7,/+(7—6=0,(4—2)(4+3)=04=2,%=-3

(舍去)，。3=12公比^=2,%=6,仆=3,4+%+%=12+6+3=21；或%+4+/=

2,2,,2,84

a}q+ci2q+a3q=84,+a2+%)=84,4(4+a2+%)=84、4+a2+a3=-=21

【例1-7】（2008年真題）S“是等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，已知&=1,公比＜7=1,則S.L

A.2B.3C.5D.8

【答案】A

【解析】公比為1,則數(shù)列各項(xiàng)相等，邑=1，4=%=；=%=4，故&=2

乙

S?=q+外=1,q+4=6夕2+%q?=q2（q+4）=1x]=1

【例1-8]（2006年真題）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的第3項(xiàng)〃③二口，第8項(xiàng)〃二384,則第5項(xiàng)%二—（用數(shù)

字作答）

【答案】48

=2

【解析】仆。3xq',384=]2q、,q'=32,q=2;%=a3xq=12x22=48

【例1?9】（2004年真題）己知等比數(shù)列的公比是2,且前4項(xiàng)的和為1,那么前8項(xiàng)之和為—

【答案】17

【解析】前8項(xiàng)的和$8=S]+4+%+%+4，*=4+%+%+/=1

44

%+%+%+/=q44+%g4+qg4+aAq=t7(6r(+6^++6f4)=x1=16

Sg=S4+%+%+%+/=1+16=17

【變式1】在等比數(shù)列｛&｝中,

(1)已知6=-3,q=2,求劣;

【答案】4=-48

第II頁共21頁

【解析】等比數(shù)列乩｝中，4=一3,%2,貝IJ%=-3x2'=-48.

(2)己知q=l,9=2,q=16,求〃；

【答案】〃=5

【解析】等比數(shù)列｛q｝中，q=1,4=2,4=16,由%=16=1x2"、可得“=5.

3

(3)已知［=-3,4=一27,求為.

【答案】4=8

3),可得4=8.

【解析】等比數(shù)列何｝中，q=—,q=-27,由4=—27=

乙

(4)%=白，q=；，求Sg；

Io2

【答案】￡=筆

1O

8x

【解析】4=4/=J,又q=g，故％=々=8,故255

162167T

14

(5)53=14,4=2,求q；

【答案】(1=2或^=一3

【解析】由§3=4+%+%,可得14=2+2夕+2/即/+9-6=0,解得9=2或“=-3

繳邃辱囤

【例2?1】已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，的,4)=8,則的9=()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】由題設(shè)片=%%0,則生。640=《=8=4=2,所以0=。；=4.故選:B

【例2?2】己知等比數(shù)列｛%｝中，%-2,%=8，則4-()

A.4或TB.-4C.4D.8

【答案】C

【解析】設(shè)公比為9,則4=。"=2夕2>o,

因?yàn)?=2,?6=8,所以〃：=%以=16,所以4=4.故選：C.

【例2?3】等比數(shù)列｛%｝中，4=48,%=3,則4與％的等比中項(xiàng)為()

A.12B.-12C.±12D.30

第12頁共21頁

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)定義直接求解即可.

【詳解】記出與題的等比中項(xiàng)為G,則G2=.M=48X3=144,所以G=±12.故選：C

【例2?4］已知a=5+2?,c=5-2瓜，若〃，b,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，貝()

A.5B.1C.-ID.-I或1

【答案】D

【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，列式計(jì)算，即可得答案.

【詳解】由題意知〃=5+26，c=5-2瓜,a,b,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則

^=^=(5+276)(5-276)=25-24=1,故人=土1,故選：D

【變式1］已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃”｝,4%=3,僅8=27,則的L()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】由等比數(shù)列｛4｝,6%=。：，生4=而，有血；=4%?生q=3x27=81,又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，

所以區(qū)“=9.故選：C.

【變式2】等比數(shù)列中，a=48q=12,則出與。的等比中項(xiàng)為()

A.24B.-24C.±24D.30

【答案】C

【詳解】???/與。6的等比中項(xiàng)為內(nèi),??4=的6=576,則三=±24.故選：C.

【變式3］己知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，5“是它的前〃項(xiàng)和，若%9=2%,且％與2%的等差中項(xiàng)為

則S4=()

A.35B.33C.31D.30

【答案】D

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為4,丁生外二？％,，qq=24，???￡/(),??./=2,

?.?巴與物的等差中項(xiàng)為：，.?.4+2%=2x。，即2+羽=。，解得生=；,由4=%4=2,

44巳42o

16x1一口)

可得%=16,..5=空匕建=_L_l21』=30?故選:D.

"qi-l

2

第13頁共21頁

【例3-1](2024年真題)等比數(shù)列｛4｝中，％+4=324,%+%=36,%+4=

A、2B、4C、9D、252

【答案】B

2

【解析】a3+a4=a,cf+a2q=q\a]+a2)=324cf=36,=-^-=1

J-7

=+%)=936=4

快速求解，數(shù)列為等比數(shù)列，4+4也為等比數(shù)列

【例3-2】(2013年真題)若等比數(shù)列前幾項(xiàng)和為＞+〃,則。=

A、-5B、0C、1D、-1

【答案】D

【解析】

5,=5'+。=5+a,S2=5。+。,邑=5,+a;q=51=5+=S2-5)=20,ay=S3—S2=

22

100;=a2,(5+<7)X100=20,6'=-1

【例3-3】等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S"，若S“=z2T-1,貝"=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,當(dāng)9=1時(shí)，S“=〃q,不合題意；

當(dāng)“工1時(shí)，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式s”=業(yè)d=-江4+衛(wèi)，

\-q\-q\-q

依題意5.=，21-1=，.2"-1=＞；/+(-1)=0"=2.故選：A

乙乙

【例3-4】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和是S”.已知S3=3O￡=I2O,貝1」興=()

A.13B.12C.6D.3

【答案】A

【解析】方法一因?yàn)椤?=30,56=120,所以S3=q+%+%=30,S<,=%+%+/+4+%+4=120,

所以S.—S=《+6+《=90,所以八"4+《+%=3.又的+%+…0xg=270,得59=30+90+270=390,

4+〃2+

所以合翳力

故選:A.

方法二因?yàn)?3=4+4+%=30,56=%+。2+/+《+%+46=120,所以56-53=%+%+46=90,

第14頁共21頁

4x(1-“

所以八：二：：；=3,所以）17=胃印3.故選:A.

4+生+6S3qx（l-q）1-3

"q

【變式1]己知等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S〃=p.3"-2,則〃等于（）

A.-3B.3C.-2D.2

【答案】D

【解析】依題意4制，所以等比數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)和為S“=也3=-2./+2，

1-ql-ql-q

所以〃+（-2）=0,解得P=2.故選：D.

【變式2】等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且i=4,則標(biāo)（）

94134

A.-B.-C.—D.—

49413

【答案】C

【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，S3SFS9-S6成等比數(shù)列，因?yàn)樯?4,所以S6=45J,所以53,353同-453

成等比數(shù)列，所以59-4y=9易，所以S9=13S3,所以興=%故選：C.

【變式3】己知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，5”為其前〃項(xiàng)和，若6+出+%=3,%+%+《=9,則$2=（）

A.27B.39C.81D.120

【答案】D

【解析】由題知，$3=3,S6-53=9,因?yàn)閿?shù)列+56-53鳥-56，兀-59成等比數(shù)列，

所以S「S6=27,SLS9=81,所以$=Sg+81=S6+27+81=S3+9+27+81=120.故選：D.

題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合

【例41】（2019年真題）已知｛“”｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且%，3生,4成等差數(shù)列，則｛4｝的

公比為一

【答案】2

【解析】43%七成等差數(shù)列;則%+4=6/

6=生'4（等比數(shù)歹|」第3項(xiàng)。3=第2項(xiàng)生乘以1個(gè)公比）

4=生、/（等比數(shù)列第4項(xiàng)。4=第2項(xiàng)出乘以公比、再乘以公比，即“2）

222

a3+a4=6a2a2xq+a2xq=6a2a2x（（y4-^]=6?2q+q=6

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q~+9-6=0(4-2)(4+3)=0M=2或者夕=-3(舍去)

【例牛2】(2018年真題)已知｛〃“｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=l,且3M9成等比數(shù)列

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式

(2)設(shè)求數(shù)列色｝的前〃項(xiàng)和S“

解:(1)4，生，4成等比數(shù)列，/2=4々9嗎=1，。32=%，(4+24丫=4+8",(l+2d/=1+8J,1

2

+4〃+4c尸=1十8。,4,—4J=0,4r/(J—1)=0,因?yàn)閐工0,所以＜7=1,4=ax+(/?-1)J=1-(zz—1)x1=〃°

(2)S〃=4+&+4+……+a=%+42+%，+……+&"=〃2+%+%+……+%"=2+4+8+.......+2"。等

比數(shù)列，首項(xiàng)為2,尾項(xiàng)為2"，前〃項(xiàng)利S,廣罕應(yīng)二212；2二2e_2

\-q1-2

【例生3】（2016年真題）已知也｝是等比數(shù)列，々=4也=',數(shù)列｛%｝滿足。”=1。a2

⑴證明數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列

（2）求｛%｝的前〃項(xiàng)和S”的最大值

0)4=4也=［國=；也,=4/一=4xfir

解:=1。822=1Og2

lo40

2242w

=log2(2-)"=log22-=4-2/1=-2H+4,數(shù)列｛〃〃｝是公差為-2的等差數(shù)列

（2）《=-2〃+4嗎=2"國產(chǎn)=（2一2?。?2+3〃,所以當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)取最大值,

S]=Si=2

【例小4】（2009年真題）｛叫是等比數(shù)列，也｝是公差不為零的等差數(shù)列，已知q=々=1,4=4用=么

⑴求｛叫和低｝的通項(xiàng)公式

⑵設(shè)｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，是否存在正整數(shù)〃，使%=S“？若存在，求出〃，若不存在，說明理由。

⑴解：設(shè)數(shù)列｛q｝公比為外數(shù)列低｝公差為d

a2=b2t則aq=/?]+?,即夕=l+d

%=/，貝lj=4+41,即/=1+4"

把4=1+4代入42=1+44得（1+42=1+4乩1+24+42=1+4乩〃2-24=0,4=2或4=0

（舍），q=l+d=3

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所以數(shù)列｛q｝通項(xiàng)公式%二3〃T

數(shù)列也｝通項(xiàng)公式〃=4+5-1”=1+(〃-1)X2=2〃T

(2)解：=37-1=729

S〃=12J=------..-=n~\%=S”,729=n~tn=27

【例生5】(2003年真題)已知等差數(shù)列｛q｝中，q=4,且q,%,q0又成等比數(shù)列，Sw=11,求公差

”及項(xiàng)數(shù)〃

解：a,%,%。成等比數(shù)列

6%%xa?qx(q+9d)=(q+6d)x(q+&Z)4x(4+9d)=(4+6d)x(4+6d)

16+36〃=16+481+36d236/+12d=012J(3J+l)=0

4=0或4=-;

若d=0,則S,產(chǎn)11,故d=

an=ai+(n-=4+(〃-l)x(-g=-g〃+4+；=-；〃+?

1251M1225一一

1^=22--n+—n=22+25n=66n2—25〃+66=0

。。)JJ

(M-3)(A?-22)=0解得"=3,或〃=22

課后模擬?鞏固練習(xí)

1.正項(xiàng)等比數(shù)列｛勺｝中,%=1,6%=81,則/=()

A.x/3B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為心因?yàn)閿?shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以^＞。，由題/=1,

則出《1=81=/"xa4q'="=81,所以^=3,所以％=3.故選：B

2.在等比數(shù)列｛q｝中，若6%%%=36,貝lj?k=()

A.6B.9C.±6D.均

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【答案】A

【解析】因?yàn)椤１?4=36,所以d=6（負(fù)值舍去）,所以師4=4=6.故選:A

3.己知等比數(shù)列｛4｝滿足4=2,q+q+4=26,貝1]%+%+生=（）

A.26B.78C.104D.130

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為4,根據(jù)己知可得，4+%+a5="l+d+q4）=2（l+/+d）=26,

所以，l+t/2+（^2）2=l3,解得/=3,所以，6+6+%=d（4+%+%）=3x26=78.

故選：B.

4.在等比數(shù)列｛%｝中，若4=2,卬…,則應(yīng)｝的公比，/=（）

A.>/2B.yC.2\/2D.4

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛嗎的公比為。，因?yàn)?=2且為%=%,可得2%=%,可得g=故選：B.

5.在等比數(shù)列｛%｝中，34，：4，2。2成等差數(shù)列，則（）

2四十%

A.3B.2C.9D.《

39

【答案】C

【解析】設(shè)｛4｝的公比為9,

則由題意可知3q+2%=2、；43=>4/=34+24q=>"=3或q=-1,

乙

顯然“=-1時(shí)，4=-4?4+火=。，無意義舍去；所以-+二==5=9.故選:C

6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)和為28且卬=4,則％=（）

A1R-LQ1n—

A.204J8516

【答案】c

【詳解】由題意設(shè)公比為“。，則4'1+，+4]=28,即4+,-6=O,解得4=：>。滿足題意，所以

IqqJqq2

（1\51

a-a^=4--=一.故選：C.

7.已知〃?>O,等比數(shù)列相，，〃+2,2〃?+1,…，的第4項(xiàng)為（）

279]

A.12B.—C.9D.—

22

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【答案】B

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列明加+2,2〃?+1,…，則（6+2）2=桁（2〃?+1）

解得〃=4或切=-1,又心0,所以〃=4,則,〃+2=6,所以公比4=竺吧=：等比數(shù)列的第4項(xiàng)為

m2

4x（。=經(jīng)故選：B

8.己知｛凡｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，4+%=24必必=128,則公比q的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【詳解】因?yàn)橐玻堑缺葦?shù)列，所以0-128,則“…:六解得卜=1或卜［6,

?4?5=1281%=16必=8

又因?yàn)楹危菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以卜二1，所以公比夕=多=2.故選：A.

9.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若4,44成等比數(shù)列，則，=（）

A.-10B.-6C.4D.-4

【答案】C

【詳解】??,數(shù)列｛q｝是公差為2的等差數(shù)列，.,?4=。2-2,4=4+4,,1,外,《成等比數(shù)列，.,&=4%，

即W=（4-2）3+4）,解得的=4,故選：C.

二、填空題

10.2和6的等比中項(xiàng)是.

【答案】±2石【詳解】設(shè)2和6的等比中項(xiàng)為x,則V=2x6,解得尸±26.故答案為：±26

11.2和4的等差中項(xiàng)為,等比中項(xiàng)為.

［答案】3±272

【詳解】2和4的等差中項(xiàng)為?=3,2和4的等比中項(xiàng)為士屈=±2拒，故答案為：3,±2也

12.首項(xiàng)為1的等比數(shù)列也｝中，仞，2%,%成等差數(shù)列，則公比好.

【答案】2

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為9,因?yàn)樗?2%，％成等差數(shù)列，所以4%=仞+%，所以4a聞=4q+a