§8.3圓的方程

【課標(biāo)要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2能根據(jù)圓的

方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點(diǎn)的距離等于_______的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心C__________

標(biāo)準(zhǔn)(My+。的2=/(r>0)

半徑為____

方程

,v2+y2+Dx+Ey+F=O圓心C______________

一般

(D2+E24F>0)半徑r=_______________

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)M（xo,yo）與圓C：（xa）2+（yb）2=r之間存在著下列關(guān)系：

（1）|MC|>r<=>/W在,即（Xo（i）2+（yob）2>r<^>M在圓外；

⑵|MC|=r<=>M在,即（xo幻2+（.v曲戶二，oM在圓上；

（3）|MC|<ru>M在,即（松4）2+0曲）2<戶="在圓內(nèi).

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請?jiān)诶ㄌ栔写蚧?X”）

（I）確定圓的幾何要素是圓心與半徑.（）

（2）（x2尸+。葉1尸=〃23工（））表示以（2,1）為圓心，。為半徑的圓.（）

（3）方程Ax^+Bxy+Cy^Dx+Ey+F^表示圓的充要條件是A=C^O,B=0,D2+￡244/^>0.（）

（4）若點(diǎn)M（xo,聞在圓￡+）2+以+砂+尸=0外，貝I］詔+y慶+Dro+￡y（）-Q0.（）

2.已知圓?+y+2.v4y+l=0關(guān)于直線xy+t=O對稱，則實(shí)數(shù)t等于（）

A.3B.1C.C1D.3

3.（多選汜知圓C：d+）a4x+6y+U=0與點(diǎn)40,5）,則（）

A.圓C的半徑為2

B.點(diǎn)A在圓C外

C.點(diǎn)A在圓C內(nèi)

D.點(diǎn)A與圓C上任一點(diǎn)距離的最小值為企

4.以點(diǎn)八（0，1），）（2,1）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.

,微點(diǎn)提醒

1.掌握圓的兩個(gè)性質(zhì)

(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；

⑵圓心在任一弦的中垂線上.

2.牢記兩個(gè)相關(guān)結(jié)論

⑴圓的“直徑式”方程：以A(X1，9)，8(X2，＞2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(雙1)(.3)+。紗1)()少2)=0.

(2)圓的參數(shù)方程：圓心為(小協(xié),半徑為，?的圓的參數(shù)方程為需'其中夕為參數(shù)，可用來設(shè)圓上

D?/sinCr

的點(diǎn)的坐標(biāo).

-----------------------------探究核心題型-----------------------------

題型一圓的方程

例1設(shè)OM的圓心M在直線2x-yl=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上，則OM的方程

為.

思維升華求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心m，份和半徑,?有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出。，〃，，?的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,〃的方程組，進(jìn)而求出。，笈，廠的值.

跟蹤訓(xùn)練1(2024?南昌模擬)設(shè)圓心在x軸的圓C過點(diǎn)(1,1),且與直線)，=2日相切，則圓。的標(biāo)準(zhǔn)方

程為.

題型二與圓有關(guān)的軌跡問題

命題點(diǎn)1直接法

例2已知線段人〃的長度為4,動(dòng)點(diǎn)時(shí)與點(diǎn)人的距離是它與點(diǎn)“的距離的6倍，則“面積的最

大值為()

A.8&B.8C,4V2O.T

命題點(diǎn)2定義法

例3已知圓C：(xl)2+()，l)2=l,點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM=2,則點(diǎn)A的軌跡方程是

A.y2=4x

B.x2+y22x2.v3=0

C.x2+y22y3=0

D.y2=4x

命題點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)代入法

例4(2024.新課標(biāo)全國II)已知曲線C：/+),2=]6()>0),從。上任意一點(diǎn)戶向x軸作垂線段PP\P為

垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

A"=IG>O)

1647

B?舟=】。>°)

唯V2干#2】。》。)

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

⑵定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練2己知RtZXA8c的斜邊為A8,且A(l,0),8(3,0).求：

(1)直角頂點(diǎn)。的軌跡方程；

(2)直角邊8c的中點(diǎn)M的軌跡方程.

題型三與圓有關(guān)的最值問題

命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值

例5(多選)已知實(shí)數(shù)x,y滿足f+)，24y+3=0,貝lj()

A.當(dāng)xHO時(shí)，上的最小值是遮

X

B.x2+y2的最小值是1

C.yx的最小值是2x/2

自主診斷

1?)、(2)X⑶Y(4)4

2.D3,BD4.(x1)2+/=2

探究核心題型

例1。1)2+()，+1)2=5

解析方法一設(shè)。M的方程為

力)號0),

(2。+匕-1=0,(a=1,

則在3—Q)2+爐=解得力=-1,

(a2+(1-b)2=r2,(r2=5,

J。M的方程為(xl)2+(y+l)2=5.

方法二設(shè)。M的方程為?+y2+D,t+Ey+F=0(D2+E24F>0),

則-0,

421)+(-勻-1=0，

,,)9+3D+F=0,

11+E+F=0,

(D=-2,

解得E=2,

尸=-3,

的方程為

d+y22r+2)，3=0,

即(工1)2+。葉1y=5.

方法三設(shè)A(3,0),8(0,1),OM的半徑為r,

則心小照三，線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(|,,

???線段AB的垂直平分線方程為

ED■

即3召4=0.

聯(lián)立已二:二解瞰匕，

???歷(1,1),

：.r=\MAf

=(3i)2+[0(l)]2=5,

???QM的方程為(xl)2+(v+l)2=5.

跟蹤訓(xùn)練1(A-3)2+y2=5

解析方法一設(shè)圓C的圓心為。"，0),

則由于該點(diǎn)到直線產(chǎn)211的距離,

結(jié)合圓。與直線相切，知圓C的半徑為名U.

v5

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(W/

而圓C過點(diǎn)(1,1),所以(1姆+12之哽,解得”3.

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(x3)2+y2=5.

方法二因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在直線產(chǎn)2x1上，

所以圓C與直線尸2x1的切點(diǎn)為(1,1),

則過圓心C和切點(diǎn)(1,1)的直線方程為)4=3力)，

即產(chǎn)21，

又因?yàn)閳A心C在x軸上，

則°二*4，得尸3,

即C(3,0),圓C的半徑為J(3-1)2+(0-1)2=遙,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X3)2+)2=5.

例2A［以線段AB的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)M(x,y),

且4(2,0),8(2,0),

由|M川二企|MB|,

得(戶2)2+)2=2(42)2+2)，2,

化簡得M的軌跡方程為圓(x6尸+),2=32()￥0),半徑尸4魚，

如圖，有以“八3吟|A濟(jì)片8企.

所以面積的最大值為8V2.]

例3B|因?yàn)閳AC：(K1尸+()，1)2=],

所以圓心。(1,I),半徑尸1,

因?yàn)辄c(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，

所以|MC|=1,

又AM與圓相切，且|AM]=2,

則|AC|二J|MC|2+|4M|2=VI,

設(shè)A(x,y),則(*1尸+。1)2=5,

即?+y22x2y3=0,

所以點(diǎn)4的軌跡方程為

JT+yr2x2y3=0.]

例4A[設(shè)點(diǎn)M{x,y),

則P(x,.vo),P\x,0),

因?yàn)閃為PP的中點(diǎn)，

所以優(yōu)二2y,即P(x,2y),

又P在曲線x2+)，2:16(v>0)±,

所以『+4)，2=16。>0),

即花3),

即點(diǎn)M的軌跡方程為

跟蹤訓(xùn)練2解(1)方法一設(shè)G*,)，)，因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以yWO.

因?yàn)锳C_LAC,且AC,BC斜率均存在，

所以以8c=1,

又—噌7，丘=巖,

所以￡.￡=】，

化簡得f+y22x3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為

x2+)j22r3=0(v^:0),

即(只產(chǎn)+戶4/0).

方法二設(shè)線段A8的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得。(1,()),由直角三角形的性質(zhì)知|。。|二，4陰二2.由圓的

定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以0(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于4,8,C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸

的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)。的軌跡方程為

(工1-+)，=40工0).

⑵設(shè)M(x,y),C(xo,yo),

因?yàn)锽(3,0),且M是線段8c的中點(diǎn)，

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得戶等，產(chǎn)等，

所以M=2X3,yo~2y.

由(1)知，點(diǎn)。的軌跡方程為

(xl)2+y2=4(>^0),

將所2x3,為=2)，代入得(2⑷?+⑵，尸=4�),

即。2)2+)2=1(尸0).

因此直角邊AC的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x2)2+)，=l(y卉0).

微拓展

典例(1)^+/=3

解析設(shè)PQ,)，)，由題意可得，黑=或，

IP|PA|=V2|PB|,

2

則(％-V6)2+y2=2(x-y)+y2

整理得f+)，2=3.

的

解析依題意,由sinA=2sinB,

得18cl=2|AC|,acosB+ZJCOSA

=c=2,

W\AB\=2,以AB邊所在的直線為.v軸，線段AB的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)4(1,0),8(1,0),C(x,y),xW0,

2

由18cl=2|AQ,則。的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為(％-|)+戶蔗，x#0,

邊上的高的最大值為g,

所以(S.A8C)max=*

例5BC［由x2+y24y+3=0,得f+GEynl.該方程表示圓心為C(0,2),半徑尸1的圓.

設(shè)勺心區(qū)0),則*表示圓上的點(diǎn)(除去點(diǎn)(0,1)和(0,3))與原點(diǎn)。(0,0)連線的斜率，

由產(chǎn)網(wǎng)工￥°)，則忐于W1,

解得攵2遍或AWV3,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?)，2表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，又圓心在)?軸上，

所以當(dāng)戶0,y=\時(shí)，W+.V2取得最小值，且最小值為1,故B正確；

設(shè)yr=力，則),二升〃，〃表示當(dāng)直線產(chǎn)丫+力與圓有公共點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距，

則H-2|y

解得2&W〃W2+四,

即沖的最小值是2企，故C正確；

|x+)葉31表示圓上的點(diǎn)到直線x+y+3=0距離的或倍，

圓心(0,2)到直線x+y+3=O的距離為d=^=,

則|x+”3|的最小值為&x(專一1)=572,故D錯(cuò)誤.]

例62Vs

解析因?yàn)閳AC：『+)，4入-2尸0,

即(x2產(chǎn)+01)2=5,

所以圓。是圓心為C(2,1),半徑l6的圓.

設(shè)點(diǎn)4(0,2)關(guān)于直線x+v+2=0的對稱點(diǎn)為A\m,n),

咄+上+2=0,

所以22

三二1

m-0'

解得『:3做4'(4,2)?

vH——乙)

迂按4'C交圓C于。(圖略)，交直線x+)，+2=0于P,此時(shí)，

IPA1+IPQ取得最小值，

由對稱性可知|P4|+|PQ=|B41+|PQ|=HQ=H'C\r=2V5.

例712

解析方法一由題意，

得同二(2x,y),

PB=(2x,y),

所以訶?麗=f+『4,

由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程$+。，3)2=1,

故W=()，3)2+l,

所以西?麗

=。3>+1+94

=6yl2.

易知2WyW4