動點(diǎn)與角度計算重難點(diǎn)專題(9大題型60道)

0題型目錄

題型一與線段動點(diǎn)有關(guān)問題

題型二線段動點(diǎn)中求定值問題

題型三幾何圖形中運(yùn)動的問題

題型四動角有關(guān)計算問題

題型五三角板中角度計算問題

題型六幾何圖形中角度計算問題

題型七實(shí)際問題中角度計算問題

題型八角平分線的有關(guān)計算

題型九角n等分線的有關(guān)計算

S-經(jīng)典例題

4【經(jīng)典例題一與線段動點(diǎn)有關(guān)問題】

【例1】如圖，線段/18=20cm,C為月8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)力出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段向右運(yùn)動,

到點(diǎn)8停止：點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段48向左運(yùn)動，到點(diǎn)力停止.若R。兩點(diǎn)同時出發(fā),

當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為x(x>0)s.

----?<----

IIIII

APCQB

(l)4C=_cm.

(2)是否存在某?時刻，使得CR。這三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿

足條件的x的值：若不存在，請說明理由.

z變式訓(xùn)練

1.【問題背景】如圖，2是線段上一點(diǎn)，Z8=18cm,C,力兩動點(diǎn)分別從點(diǎn)P,4同時出發(fā)沿射線5P

向左運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)力處即兩動點(diǎn)均停止運(yùn)動.

【問題探究】(1)點(diǎn)C,D的速度分別是lcm/s,2cm/s

①若/尸=8cm,當(dāng)動點(diǎn)C,力運(yùn)動了2s時，求CQ的長度；

②若經(jīng)過，秒，點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時，點(diǎn)。也剛好到達(dá)8P的中點(diǎn)，求，的值：

【問題解決】(2)動點(diǎn)C,。的速度分別是lcm/s,3cm/s,點(diǎn)C,。在運(yùn)動時，總有PQ=3/C,求心的

長度.

ACPDB

2.如圖，〃是線段上一點(diǎn)，J5=18cm,C,。兩動點(diǎn)分別從點(diǎn)〃，“問時出發(fā)沿射線比/向左運(yùn)動,

到這點(diǎn)A處即停止運(yùn)動.

1<1--1-----1<-------]

ACPDB

(1)若點(diǎn)C,。的速度分別是Icm/s,2cm/s.

①若2cm當(dāng)動點(diǎn)C,O運(yùn)動了2s時，求4C+心的值；

②若點(diǎn)C到達(dá)北中點(diǎn)時，點(diǎn)。也剛好到達(dá)8尸的中點(diǎn)，求/P:P8：

(2)若動點(diǎn)C,。的速度分別是lcm/s,3cm/s,點(diǎn)C,。在運(yùn)動時，總有三34。，求”的A度.

3.已知：如圖1,例是定長線段48上一定點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)分別從M、4出發(fā)以lcm/s、3cm/s的速度沿宜

線切向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示(C在線段4W上，。在線段8M上)

<----<----------

ill11

ACMDB

圖1

AMB

圖2

(1)若:48=10cm,當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了2s,求力C+M。的值.

(2)若點(diǎn)C、。運(yùn)動時，總有MQ=34C,直接填空：AM=AB.

MN

(3)在(2)的條件下，N是直線43上一點(diǎn)，目AN—BN=MN,求一^的值.

41經(jīng)典例題二線段動點(diǎn)中求定值問題】

1例2]如圖，已知直線/上有兩條可以左右移動的線段：AB=m,CD=n,且〃7,〃滿足

|加-4|+(〃-8)2=0,點(diǎn)憶N分別為",CO中點(diǎn).

iiii?17

AMBCND

⑴求線段力民CO的長；

(2)線段48以每秒4個單位長度向右運(yùn)動，線段CO以每秒1個單位長度也向右運(yùn)動.若運(yùn)動6秒后，

MN=4,求此時線段8C的長：

(3)若8c=24,將線段CO固定不動，線段//以每秒4個單位速度向右運(yùn)動，在線段43向右運(yùn)動的某一個

時間段/內(nèi)，始終有MN+力。為定值.求出這個定值，并直接寫出/在哪一個時間段內(nèi).

Z變式訓(xùn)練

1.在數(shù)軸上點(diǎn)兒B,C所表示的數(shù)分別是-2,6,-r(.r>-2),

(1)求48的長；

(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，用含X的代數(shù)式表示CD的長；

(3)若點(diǎn)A以每秒5個單位的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)8以每秒2()個單位的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)C從原點(diǎn)開始

以每秒I個單位的速度向右運(yùn)動，記的中點(diǎn)為￡,力。的中點(diǎn)為產(chǎn)，試通過計算說明隼棄的結(jié)果是

EF

定值.

2.直線/上依次排列點(diǎn)4B,C.D,已知力8=1(),CO=4,點(diǎn)七是線段4C的中點(diǎn)，點(diǎn)少是線段4。的

中點(diǎn).

mc)FDBCFD

mi圖2

BCFD'

招用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)片與點(diǎn)C重合時，求線段即的長.

(2)如圖2,當(dāng)線段CQ從圖1位置沿直線/向右運(yùn)動時，力E-8歹的值是否為定值？若是定值,請求出4E-8歹

的值；若不是定值，請說明理由；

(3)當(dāng)線段CO從圖1位置沿直線/向右平移a個單位長度時，若確足/1O+M=6CQ,則求。的值.

3.【背景知識】

數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.已知結(jié)論：數(shù)軸上點(diǎn)48表示的數(shù)分別為

a、b,則48兩點(diǎn)之間的距離48=w-耳；線段/E的中點(diǎn)表示的數(shù)為噂.

【知識運(yùn)用】

（1）點(diǎn)48表示的數(shù)分別為“、b,若。與互為倒數(shù)，力與-7互為相反數(shù).則48兩點(diǎn)之間的距離為

;線段力6的中點(diǎn)表示的數(shù)為.

【拓展遷移】

（2）在（1）的條件下，動點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)以

每秒5個單位的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，點(diǎn)M是線段2。的中點(diǎn).

①點(diǎn)M表示的數(shù)是（用含，的代數(shù)式表示）；

②在運(yùn)動過程中，點(diǎn)4P、。中恰有一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連接所得線段的中點(diǎn)，求運(yùn)動時間，；

③線段P。、4M的長度隨時間，的變化而變化，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)P左側(cè)時，是否存在常數(shù)機(jī)，使〃/。+4必為

定值？若存在，求常數(shù)”及該定值：若不存在，請說明理由.

41經(jīng)典例題三幾何圖形中運(yùn)動的問題】

【例3】如圖1,己知線段4E=48cm,點(diǎn)4、C、。在線段力。上，且力8:AC:CO:。石=1:2:1:2.

/i

(1)BC=cm,CDcm?

(2)已知動點(diǎn)〃從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿4-4-C-。-七向點(diǎn)E運(yùn)動；同時動點(diǎn)N從點(diǎn)￡出發(fā)，以

lcm/s的速度沿七-。-。-4-4向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)￡后立即以原速返回，直到點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A,運(yùn)

動停止；設(shè)運(yùn)動的時間為，.

①求，為何值，線段MN的長為12cm；

②如圖2,現(xiàn)將線段力￡折成一個長方形48co(點(diǎn)A、七重合)，請問：是否存在某一時刻，以點(diǎn)A、B、

M、N為頂點(diǎn)的四邊形面積與以點(diǎn)C、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形面積相等，若存在，求出，的值；若不

存在，請說明埋由.

X變式訓(xùn)練

1.知識準(zhǔn)備：

如圖①，點(diǎn)尸在以點(diǎn)O為圓心的圓上，著點(diǎn)尸用時5分鐘在圓上繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一圈，此時點(diǎn)尸剛好

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一個周角，即36。度，則稱此時點(diǎn)P繞點(diǎn)。的旋轉(zhuǎn)速度為：喘"2度/分鐘.

解決問題:

如圖②，力、8兩點(diǎn)相距60厘米，點(diǎn)0在線段45上且力O=PO=12厘米，角尸08=90度，點(diǎn)。從點(diǎn)3

沿直線向點(diǎn)4勻速運(yùn)動.

（1）在點(diǎn)。運(yùn)動的同時點(diǎn)尸繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，當(dāng)點(diǎn)P第一次運(yùn)動到直

線上時恰好與點(diǎn)。相遇，求點(diǎn)。的速度.

（2）若點(diǎn)。運(yùn)動的同時，點(diǎn)。也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)〃運(yùn)動，同時點(diǎn)P仍然以45度/分鐘的速度繞

點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)?第二次運(yùn)動到直線AB上時恰好與點(diǎn)Q相遇，求此時點(diǎn)Q的速度.

（圖①）（圖②）

2.如圖，/404的邊。1上有一動點(diǎn)P,從距離。點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段A/O,射線04運(yùn)動，

速度為3cm/s：動點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線04運(yùn)動，速度為2cm/s,點(diǎn)P、。同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間是f

（s）.

A

(1)當(dāng)點(diǎn)P在“。上運(yùn)動時，，為何值，能使。。=。0?

(2)若點(diǎn)。運(yùn)動到距離。點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)。停止運(yùn)動前，點(diǎn)。能否追上點(diǎn)。？如果能，求出/

的值；如果不能，請說出理由；

(3)若P、。兩點(diǎn)不停止運(yùn)動，當(dāng)戶、。均在射線08上，/為何值時，它們相距1cm.

3.在直角三角形力4。中，44=8cm,AC=6cm,BC=l()cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿力t4fC

的方向移動，點(diǎn)。從點(diǎn)。開始以lcm/s的速度沿CfAf8的方向移動.如果點(diǎn)尸，。同時出發(fā)，用“s)表

示移動時間，那么：

A^PBA^PTSAB

圖1圖2備用圖

⑴皿圖1,請用含/的代數(shù)式表示(不用帶單位):

①當(dāng)點(diǎn)。在4c上時，。。=

②當(dāng)點(diǎn)。在月6上時，AQ=

③當(dāng)點(diǎn)。在彳8上時，BP=；

④當(dāng)點(diǎn)。在8c上時，BP=；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段48上運(yùn)動，點(diǎn)。在線段C4上運(yùn)動，當(dāng)3=力尸時，試求出，的值;

(3)P點(diǎn)到達(dá)。點(diǎn)時，P、。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動.請直接寫出當(dāng)力。二80時的，值.

j【經(jīng)典例題四動角有關(guān)計算問題】

【例4】附加題：如圖1,A,0,8三點(diǎn)在一條直線上，且4OC=24。，N8OO=78。，射線OW,ON分

別平分40。和N8OQ.如圖2,將射線。1以每秒8。的速度繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時將/CO。以每秒

6。的速度繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線。。與射線08重合時，NC。。停止運(yùn)動..設(shè)射線a的運(yùn)動時間為r秒.

(1)運(yùn)動開始前，如圖1,NOON=。，NAOM=

(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/為何值時，射線。。平分N8OM?

(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使得NMON=42。？若存在，請求出/的值；若不存在，請說明理由.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.已知一副三角板按圖1所示擺放，^AOB=ZOCD=90°,^OAB=45°,ZCOZ)=60°,將Qi、OC邊重

合在直線M/V上，OB、OQ邊在直線MN的兩側(cè).保持△/OB穴動.

BB

(1)在圖1中，NBOD=；

⑵將△COO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則々OC-4QD=；

(3)洛△COD繞點(diǎn)。逆時針方向旋轉(zhuǎn)到邊OC平分4BOD時，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)？

(4)瘠△C。。繞點(diǎn)。逆時針方向旋轉(zhuǎn)?°(0°<〃v90。)時，直接寫出NBOC與NAQD的數(shù)量關(guān)系.

2.如圖，點(diǎn)O是直線力夕上的一點(diǎn)，從點(diǎn)O引出一條射線OC,使400=60。，射線。4、。6同時繞點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn).

oBAB

備用圖

(1)若兩條射線。4、08旋轉(zhuǎn)方向相反，在兩射線均旋轉(zhuǎn)一周之內(nèi)，射線以、08同時與射線。C重合，則

射線OA與OB旋轉(zhuǎn)的速度之比為—；

(2)若兩條射線04、。8同時繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，射線。f每秒旋轉(zhuǎn)】。，射線。8每秒旋轉(zhuǎn)5。，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為

/秒，0</<180,當(dāng)/力=時，求/的值.

3.【問題驅(qū)動】已知O是直線上的一點(diǎn)，ZCOZ)=90°,?！昶椒?8OC.

(1)如圖1,若乙/OC=44。，求/。0E的度數(shù)；

(2)如圖1,若=a，則NQOE的度數(shù)為(用含有二的式子表示)不必說明理由;

【拓廣探索】

(3)將圖1中的/。。。繞頂點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,試探究和//OC度數(shù)之間的關(guān)系，寫

出你的結(jié)論，并說明理由.

(4)將圖1中的ZOOC繞頂點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,其它條件不變，若/力OC=a,則NDOE的

度數(shù)為(用含有々的式子表示)，不必說明理由.

j［經(jīng)典例題五三角板中角度計算問題】

［例5］(1)將一副直角三角板ABC,ADE按如圖1所示位置擺放，乙%C=45°,ZEAD=60°.分別作/BAE,

NC4O的平分線4W,AN.試求/M4N的度數(shù).

(2)將三角板力OE從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，AM、/N仍然是N8/1E,ZCAD

的平分線.試求“M4N的度數(shù).

(3)將三角板力。E從圖1位置開始繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)?！?0。＜。＜360。)，AM、力N仍然是N84E,ZCAD

的平分線.在旋轉(zhuǎn)的過程中，NA"N的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？請說明理由.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.直角三角板的一個頂點(diǎn)。在直線44上，ZC(9Z)=60°.

c

\Q>D%

AB

------o--------D

圖1圖2

—i——?----------------------1------------>

AOB

圖3

(1)如圖1,三角板在直線48上方.

①若/彳OC=70。，則NAOO=_；

②若0C平分4。。，貝lJ/BOQ=_；

(2)若三角板。。。在直線48下方，/AOC=2NBOD.求/力。。的度數(shù)；

(3)類比探究：如圖3,在數(shù)釉上，點(diǎn)。為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是-2,=12,線段8在數(shù)軸上移動，且CQ=3

(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè))，當(dāng)力。=28。時,求出點(diǎn)C表示的數(shù).

2.三角尺48P的直角頂點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)48在直線CO的同側(cè).

⑴如圖①，若4尸。=40。，求/叱。的度數(shù)；

(2)如圖②，若平分//PC,PN平分NBPD,求NMPN的度數(shù).

3.已知將一副三角板(直角三角板。48和直角三角板。。0的兩個頂點(diǎn)重合于點(diǎn)。，44。8=90。,

ZC6?Z)=30°.

(1)如圖1,當(dāng)。。恰好平分/力。8時，求/8O。的度數(shù)；

(2)如圖2,在/力OC內(nèi)部，作射線OM,使40“=；NCOM,在N8OO內(nèi)部，作射線QV,使

NBON々DON，如果三角板C。力在/小乃內(nèi)繞。任意轉(zhuǎn)動，NMON的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變,

求其值；如果變化，說明理由.

41經(jīng)典例題六幾何圖形中角度計算問題】

【例6】學(xué)習(xí)了《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》七(上)鐘面上的數(shù)學(xué)后，小明制作了一個如圖所示的模擬鐘面，點(diǎn)。為模

擬鐘面的圓心，鐘面上有一條水平線MON,指針。4每秒鐘轉(zhuǎn)動24。，指針06每秒鐘轉(zhuǎn)動6。.設(shè)轉(zhuǎn)動的時

間為，秒。>0),4。8=〃。(0<〃<180),請試著解決下列問題:

(1)若指針04、08同時從。必開始順時針旋轉(zhuǎn).

①當(dāng)/=2秒時，〃=；

②當(dāng)指針Q1從旋轉(zhuǎn)到ON的過程中，/=時，指針。8與Q4互相垂直；

(2)若指針從O"開始順時針轉(zhuǎn)動，同時指針。8從ON開始逆時針轉(zhuǎn)動.

①在與04第二次重合前，求/為何值時〃=6()；

②在Q1與03第一次重合后、第四次重合前，當(dāng)，=時，直線平分/力(加

Z變式訓(xùn)練

I.新定義：若的度數(shù)是4的度數(shù)的〃倍，則叫做〃的〃倍角.

A"

B

OAOD

圖l圖2

⑴若乙0=10。25',請直接寫出ZM的4倍角的度數(shù)；

(2)如圖1所示，若/AOB=NBOC=ZCOD,請直接寫出圖中/力。4所有的2倍角；

(3)如圖2所示，若240。是力408的3倍角，/C。。是//08的4倍角，且N3OO=9()。，求N80。的度

數(shù).

2.已知408=/。。。=90。，0E平分/B0C.

(1)如圖，若乙400=30。，則/。。上的度數(shù)是。；(直接寫出答案)

⑵將(1)中的條件“乙4。。=30?！备臑椤癗4OC是銳角”，猜想/。。后與/40。的關(guān)系，并說明理由.

3.如圖，已知/力。8=90。，N8OC=30。，OW平分/ZOC,GN平分/8OC.

A

M

匕B

(1)求NMON的度數(shù).

⑵若將題干中的404=90。改為乙104=a,其余條件不變，求NA/ON的度數(shù)；

(3)若將題干中的/8。。=30。改為/8。。二/(夕為銳角)，其余條件不變，求NMO/V的度數(shù).

(4)從前面的結(jié)果中，你能得出什么結(jié)論？

【經(jīng)典例題七實(shí)際問題中角度計算問題】

【例7】.”時鐘里的數(shù)學(xué)問題”：時鐘是我們口常生活中常用的生活用品，鐘表上的時針和分針都繞其軸心

旋轉(zhuǎn)，如圖1，表盤中1-12均勻分布，分針60分鐘轉(zhuǎn)動一周是360。，時針60分鐘移動一周的卷是30。,

這樣，分針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度，時針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)0.5度.

3

t\^yZ,V\^jzJtJ

圖?圖i(笛用圖)

課題學(xué)習(xí)：三點(diǎn)二十分時，時針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣龋拷鉀Q這個問題，可以先考慮三點(diǎn)整，時針與分針

所成角度為90。；從三點(diǎn)到三點(diǎn)二十分，我們可以先計算分針轉(zhuǎn)動的角度，20x6=120°,時針轉(zhuǎn)動的角度,

20x0.5°=10°,120。-(90。+10。)=20。.三點(diǎn)二十分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?()。.

問胭解決：

(1)3點(diǎn)整時，時針與分針?biāo)山嵌仁?。?點(diǎn)30分時，時針與分針?biāo)山嵌仁?。?/p>

(2)如圖2,當(dāng)時針和分針?biāo)山嵌?80。時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“美

妙時刻”，如圖，六點(diǎn)整就是一個美妙時刻，時針、分鐘繼續(xù)轉(zhuǎn)動，下一個美妙時刻是什么時刻？(精確到

分)

(3)1點(diǎn)鐘時，時針與分針?biāo)山嵌?0。，在一點(diǎn)鐘到兩點(diǎn)鐘之間，小明發(fā)現(xiàn)存在著時針和分針垂直的情況,

請求出具體的時刻.(精確到分)

z變式訓(xùn)練

1.如圖1,點(diǎn)O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從。必的位置開始繞點(diǎn)O向ON的位置順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON

位置時，則從ON位置彈回，繼續(xù)向?！蔽恢眯D(zhuǎn).按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn).

第I步，從。4在。W上)開始旋轉(zhuǎn)a至04：

第2步，從。4開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2a至

第3步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3a至。4，

例如：當(dāng)a=30。時.0%,。4,。4，。4的位置如圖2所示，其中。4恰好落在ON上,

/a。4二120。；當(dāng)a=20。時，。4，。4，。4，。兒，。4的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到。N后

彈回，即N4ON+/NO4=80。，而04恰好與重合.

根據(jù)以上材料，解決如下問題：

⑴若a=25。,則24°4度數(shù)是」

(2)若a<60。，。4恰好與重合，求a的佰：

(3)若a<35。，是否存在對應(yīng)的a值使/4。4二28。？若存在，請求出對應(yīng)的a值，若不存在，請說明理由.

2.給出如下定義：如果乙4OC+N8OC=9(r,^ZAOC=kZBOC(左為正整數(shù))，那么稱//OC是N3OC的

“倍銳角

⑴下列三個條件中，能判斷/40c是/80C的“倍銳角”的是(填寫序號);

①N8OC=15。；②4OC=70。；③0C是/力。8的角平分線：

(2)如圖，當(dāng)NAOC=30。時，在圖中畫出/8O。的一個“倍銳角”/WOC；

(3)如圖，當(dāng)/80。=60。時，射線。8繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10。，可得它的“倍銳角“40。=,

(4)當(dāng)ZBOC=m°且存在它的“倍銳角”/力。。時，則ZAOB='

3.如圖1,點(diǎn)。是彈力墻上一點(diǎn)，魔法棒從。必的位置開始繞點(diǎn)。向ON的位置順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON

位置時，則從ON位置彈回，繼續(xù)向。必位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到。必位置時，再從OM的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向0V

位置，…，如此反復(fù).按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第I步，從(。4在。W上)開始

旋轉(zhuǎn)a至。4；第2步，從04開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2a至。4；第3步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3a至。4,….

例如：當(dāng)。=30。時，。4，。4,。4，。4的位置如圖2所示，其中04恰好落在ON上，/4。4=120。；

當(dāng)a=20。時，。4，0A2,。4，0A4,04的位置如圖2所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈問，即

N4ON+NMH=80。，而恰好與重合.解決如下問題：

MAoON

圖5

(1)若a=35。，在圖4中借助量角器畫出，OA2,。4,其中/4。4的度數(shù)是—：

(2)若aV3()。，且04所在的射線平分在如圖5中畫出04，OA2,。4，并求出a的值;

(3)若aV36。，且N404=20°,則對應(yīng)的a值是.

【經(jīng)典例題八角平分線的有關(guān)計算】

【例8】【初步學(xué)習(xí)】我們在學(xué)習(xí)角的時候往往借助于鐘表來研究角的相關(guān)問趣.

（1）觀察圖I,我們可知當(dāng)鐘表3點(diǎn)時，此時時針和分針?biāo)傻慕嵌仁牵ǎ?/p>

A.90°B.80°C.60°D.56°

（2）若下午上課開始時間為14時20分，則此時時針和分針的夾角是。；

【深度探究】如圖2所示是一塊手表，我們可以理解成如圖3的數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)力和點(diǎn)。是表帶的兩端，點(diǎn)

A.B、C、。在同一條線段上）.在某個時刻，分針ON指向表盤上的數(shù)字“6"（此時ON與OC重合）.時針

為OE,時間正好是9:30,時針分針形成夾角恰好為105。.

（3）若作射線。尸，使/七。/二45。，求N8O/的度數(shù).

（4）如圖所示.自9:30之后的一小時以內(nèi)，經(jīng)過多少分鐘，射線ON、射線OE、射線中某一條射線是

另兩條射線組成的角（小于平角）的角平分線？

Z變式訓(xùn)練

1.如圖，已知OC、OO是NZO8內(nèi)的兩條射線，OE平分NNOC,OF平分乙BOD.

(1)若/力。8=132。，NCOQ=22。，求/EO/的度數(shù);

(2)若/4cOD",求/力04的度數(shù).(用含。、〃的代數(shù)式表示)

2.已知404=9()。，頂點(diǎn)0在直線8上，乙40c<90。，OE是N4OC的平分線.

B

E

AE

CoDk/

圖1圖2

(1)當(dāng)點(diǎn)力，6在直線CO的同側(cè)時，如圖1:

①若4OE=10。，則N8OQ=_°；

若/力。￡=20°,貝ljN4OO=_°；

②若4?！?〃。(0<〃<45),則N8QD=_。(用〃表示)；

(2)當(dāng)48在直線C。的異側(cè)時，如圖2：

①猜想/4?！昱c/8。力之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若N5OO=I20。，直接寫出N/OE的度數(shù).

3.如圖1,已知線段力B=40cm,CD=4cm,線段CO在線段48上運(yùn)動(點(diǎn)。不與點(diǎn)彳重合)，點(diǎn)E、F

分別是AC、40的中點(diǎn).

(1)若/。=10011,則EF=cm；

(2)當(dāng)線段C。在線段上運(yùn)動時，試判斷線段EF的長度是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出線段￡F的長

度；如果變化，請說明理由；

(3)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2,已知NCO。在2408內(nèi)部轉(zhuǎn)動，0E、。尸分別平分/ZOC

和NBOD.類比以上發(fā)現(xiàn)的線段f勺規(guī)律，若/E8=65。，ZCOD=25°,求/月08的度數(shù).

【經(jīng)典例題九角n等分線的有關(guān)計算】

【例9】綜合與探究

舊知回顧：

(I)如圖1,線段力8=20厘米，。為線段45上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)。，E分別是/IC,8c的中點(diǎn).

①若AC=8厘米，則線段OE的長為厘米.

②設(shè)彳。=〃?厘米，則線段QE的長為厘米.

知識遷移：

(2)我們發(fā)現(xiàn)知的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2,若乙408=12()。，OC是/408內(nèi)部的一條射線，射線

。加平分N/OC,射線0N平分/AOC,求NMOV的度數(shù).

拓展探究：

(3)已知/C。。在/408內(nèi)的位置如圖3所示，NAOB=a,ZCW=30°,且N/XM/=24。3，

NCON=2N8ON,求NM0N的度數(shù).(用含。的代數(shù)式表示)

Z變式訓(xùn)練

1.將一副直角三角板按如圖1擺放(ZECZ)=30°,N8=45。)，點(diǎn)。，C,力都在直線?。上，保持三角板

4CB不動，將三角板EQC繞點(diǎn)。以每秒12。的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn).三角板EOC的旋轉(zhuǎn)時間為/秒，旋

轉(zhuǎn)一周回到原位則停止.(本題中的角均大于0°且小于或等于180。)

圖1

(1)當(dāng)CE與O重合時，求/的值;

(2)如圖2,CF平分乙PCE、CG為N4CE的三等分線,且=

①當(dāng)，=10時，求NHE-4CG的值;

②在三角板EOC旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若|乙4CG-ZFC目=45。，直接寫出，的值為

2.如圖①，已知/4O8,在/力。8內(nèi)部畫射線OC,得到三個角，分別為/力。。、NBOC、NAOB.若

這三個角中有一個角是另外一個角的3倍?，則稱射線OC為/力。8的“幸福線”.(本題中所研究的角都是大

于0。而小于18()。的角.)

(i)ft的三等分線這個角的“幸福線”(填“是”或"不是”);

(2)如圖①，乙4OB=45。,射線。。為N4O4的“幸福線”，求N/OC的度數(shù)；

(3)如圖②，已知/力。8=6()。，射線。必從出發(fā)，以每秒2()。的速度繞。點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON

從。8出發(fā)，以每秒15。的速度繞。點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動的時間為/秒(0</<9).若OM、ON、3三條射

線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的，值.

3.如圖，射線OP在14O8的內(nèi)部(/108的度數(shù)大于0。且小于180。)，圖中共有三個角：乙4OP,

NPOB,ZAOB.若這三個角中有兩個角的度數(shù)之比為3:1,則稱射線。尸為/力。4的“虛學(xué)線”.

APA

V。

V___備用圖

OB

(I)2406的角平分線力08的“虛學(xué)線”，/彳06的一條三等分線—/408的“虛學(xué)線”；(填“是”或“不是”)

⑵射線。p為/水力的“虛學(xué)線”，若4OP=30。，求2/08的度數(shù)；

⑶已知乙4。3=16()。，射線OC從04出發(fā)，繞。點(diǎn)以每秒15。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線。。從08出發(fā)，繞O

點(diǎn)以每秒10。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與。〃重合時，旋轉(zhuǎn)停止.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，

(單位：秒)，射線OE為NC3的平分線，射線3,OD,0E中,若其中一條射線是另兩條射線組成的角

的“虛學(xué)線”，直接寫出所有，的值.

提優(yōu)訓(xùn)練

1.如圖1,點(diǎn)4C在射線上，OJ=10cm,4C=35cm,點(diǎn)。從點(diǎn)0出發(fā)，沿QW方向以lcm/s的速度

向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，在線段。。上向左勻速運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā).

OPQACM

圖1

6AB~CM

圖2

(1)若點(diǎn)。運(yùn)動速度為8cm/s,當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)0都運(yùn)動到線段CM上，且點(diǎn)。恰好為線段產(chǎn)力的中點(diǎn)時，求點(diǎn)。運(yùn)

動的時間；

(2)如圖2,若點(diǎn)6也為射線。W上點(diǎn)，且/W-30cm,當(dāng)尸4=2尸6II寸,點(diǎn)。運(yùn)動到線段46上且恰好滿足

AQ=^AB,求點(diǎn)。的運(yùn)動速度.

2.計算

(1)已知：代數(shù)式(3丁-汗-3》-1)-(5-)，+加:-2/)的值與％的取值無關(guān)，且爾7+方二。.

①求的值；

②求代數(shù)式-5/_x_10/)的值.

(2)已知方程5〃?-10=4〃?的解也是關(guān)于x的方程2(x-3)-〃=11的解.

①求也〃的值：

②如圖，已知直線/上有兩點(diǎn)力渭(點(diǎn)力在點(diǎn)6的左邊)，且48=〃?，在直線/上增加兩點(diǎn)C。(點(diǎn)。在

點(diǎn)D的左邊)，作線段力。的中點(diǎn)作線段月。的中點(diǎn)M若線段MN=〃，求線段C。的長度.

I

AB

3.如圖，C是線段4E的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段CE上，8是線段4D的中點(diǎn).

1111I

ABCDE

(1)若力。=3,DE=2,求。D的長；

(2)若4c=3,C￡>:JD=1:4,求4C的長.

4.如圖，點(diǎn)8是線段力。上一點(diǎn)，且48=16cm,BC=\AB.

4

IIII

AOBC

(1)求線段4C的長；

(2)如果點(diǎn)O是線段4C的中點(diǎn)，求線段。8的長.

5.已知點(diǎn)。在線段48上，AC=2BC,點(diǎn)。、石在直線/出上，點(diǎn)。在點(diǎn)上的左側(cè),

II」」I1II

ADCEBACB

圖1備用圖

(1)若48=18,DE=8,線段DE在線段上移動，

①如圖1,當(dāng)&為6c中點(diǎn)時，求月。的長；

②當(dāng)點(diǎn)。是線段。E的三等分點(diǎn)時，求力。的長：

(2)若4B=2DE,線段0E在直線.上移動，且滿足關(guān)系式嗎棄=],求當(dāng).

BE2AB

6.如圖，已知線段力B=23,BC=I5,點(diǎn)M是力。的中點(diǎn).

1111I

AMCNB

(1)求線段4必的長；

(2)在CB上取一點(diǎn)M使得CN:NB=2:3,求線段M/V的長.

7.如圖，在直線/上順次取A,3,C三點(diǎn)，已知力8=20,3C=8(),點(diǎn)M,N分別從A,8兩點(diǎn)同時出

發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動.當(dāng)其中一動點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，M,N同時停止運(yùn)動.己知點(diǎn)”的速度為每秒2個單位長度,

點(diǎn)N速度為每秒1個單位長度，設(shè)運(yùn)動時間為/秒.

7-----1--------1-------------------------1----------

1ABC

(1)用含，的式子表示線段力河的長度為：

(2)當(dāng)，為何值時，例，N兩點(diǎn)重合？

(3)若點(diǎn)。為4W中點(diǎn)，點(diǎn)。為aV中點(diǎn).問：是否存在時間乙使2。長度為5?若存在，請說明理由.

8.如圖，直線/上有兩點(diǎn)，48=12cm,點(diǎn)O是線段”上的一點(diǎn)，OA=208

~~AO~~B1

(1)OA=cm,OB=cm；

(2)若點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，且滿足4C=CO+C8,求CO的長；

(3)若動點(diǎn)P,。分別從A,8同時出發(fā)，向右運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為2cm/s,點(diǎn)。的速度為lcm/s.設(shè)運(yùn)動時

間為ZS,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，P,。兩點(diǎn)停止運(yùn)動.

①當(dāng)，為何值時，2OP-O0=4：

②當(dāng)點(diǎn)月經(jīng)過點(diǎn)。時，動點(diǎn)必從點(diǎn)。出發(fā)，以3cm/s的速度也向右運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)。后立即返回，以

3cm/s的速度向點(diǎn)尸運(yùn)動，遇到點(diǎn)尸后再立即返回，以3cm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，如此往返，直到點(diǎn)P,Q

停止時，點(diǎn)”也停止運(yùn)動.在此近程中，點(diǎn)M行駛的總路程是多少？

9.已知點(diǎn)C在線段48上，AC=2BC,點(diǎn)D、E在直線48上，點(diǎn)。在點(diǎn)￡的左側(cè).若力4=18,DE=9,

線段QE在線段4?上移動.

ADCEBACB

圖1備用圖

(1)如圖1,當(dāng)E為8c中點(diǎn)時，求力。的長；

(2)點(diǎn)尸(異于A,B,。點(diǎn))在線段上，AF=3AD,+=求力。的長.

10.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)44表示的有理數(shù)分別為-6,3,點(diǎn)P是射線力8上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)兒A重

合)，M是線段4P靠近點(diǎn)力的三等分點(diǎn)，N是線段8p靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn).

AB

1III

-6013

AB

I>

-6013~

備用圖

(1)若點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是0,那么"N的長為;若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6,那么MN的長為

(2)點(diǎn)。在射線48上運(yùn)動(不與點(diǎn)4B重合)的過程中，A/N的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求

的長的過程；若改變，請說明理由.

11.(1)【新知理解】

如圖1,點(diǎn)C在線段48上，圖中有3條線段，分別是力C,BC,AB,若其中任意一條線段是另一條線段

的兩倍，則稱點(diǎn)。是線段//的“妙點(diǎn)”.根據(jù).1二述定義，線段的三等分點(diǎn)這條線段的“妙點(diǎn)”.(填“是”

或不是”)

AB

ACB

1--------1------------------1—8—7—6—5—4—3—2—1012345678

圖1圖2

(2)【新知應(yīng)用】

如圖2,A,8為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為-5,點(diǎn)8對應(yīng)的數(shù)為7,若點(diǎn)C在線段48上，且點(diǎn)。為

線段48的“妙點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)C在數(shù)軸的負(fù)半軸上時，點(diǎn)。對應(yīng)的數(shù)為.

(3)【拓展探究】

已知A,8為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為明點(diǎn)〃對應(yīng)的數(shù)為力，且。，匕滿足+(八4>=0,動

點(diǎn)P,。分別從A,8兩點(diǎn)同時出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)。的運(yùn)動速度為每秒2個單位長度，點(diǎn)。的運(yùn)動速度

為每秒3個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P,0相遇時，運(yùn)動停止.求當(dāng)點(diǎn)尸恰好為線段/。的“妙點(diǎn)”時，點(diǎn)。在數(shù)軸上

對應(yīng)的數(shù).

12.如圖，。。是/力08的平分線，。。是//OC的平分線，且NCOD=25。,求:

AD

C

OB

(1)/406的度數(shù);

⑵N8O0的度數(shù).

13.如圖，點(diǎn)。在直線力6上，/DOE=90。,ZJ0C=140°,。。平分/4OC.

(1)求乙4。。的度數(shù)：

(2)求N8OE的度數(shù)；

(3)?！晔欠衿椒?8。。？試說明理由.

14.已知一副直角三角尺048和0c。，/力。？=90。，N8=45"zD=90°,ZCOD=30°,

(1)洛兩個直角三角尺按如圖1擺放，點(diǎn)A在邊OC上，則N8OO=_；

(2)洛直角三角尺OC。從圖1位置繞點(diǎn)。逆時針方向轉(zhuǎn)到圖2位置，使08恰好平分NCOO,求/40C的度

數(shù)；

(3)如圖3,當(dāng)三角尺0C。擺放在/4O8內(nèi)部時，作射線OM平分/4OC,射線ON平分N80。，若三角尺

OCQ在N4O8內(nèi)部繞點(diǎn)。任意轉(zhuǎn)動(O。、均在/408內(nèi)部)，試判斷NMON的度數(shù)是否會發(fā)生變化？

通過計算說明理由.

15.如圖，。8是N4O。的平分線，。。是NCOE的平分線.

(1)如果乙408=40。，/DOE=20。,那么N8OO是多少度？

(2)如果N4OE=120。，NCOD=20°,那么N/O8是多少度？

16.如圖1,直線。E上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。在直線?！晟戏阶魃渚€OC.將一直角三角板408(/045=30。)的

直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，?條直角邊3在射線上，另?邊OB在直線DE上.方將直角三角板繞點(diǎn)O按每秒

10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，秒.

(I)當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，恰好平分NC。。，此時，*8。。與N9OE之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由;

(2)未旋轉(zhuǎn)時,ZCOE=140°.

①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間/為6秒，求/幺OC的度數(shù)：

②左旋轉(zhuǎn)的過程中，若OC繞點(diǎn)。按每秒1。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)04旋轉(zhuǎn)一周后OC也同時停止旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)時是否存在某個時刻，使得射線3,。。與。。中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存

在，請求出所有滿足題意的/的取值，若不存在，請說明理由.

17.請閱讀以下信息：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這

個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的“內(nèi)半角如圖①，若射線OC,。。在/力。夕的內(nèi)部,

請根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

(1)如圖①，/力08=50。，Z5OD=10°.若/coo是/力。8的“內(nèi)半角”，則//OC=.

(2)如圖②，已知408=60。，將N/O8繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度=(0＜。＜60。)至NCOO,即

NCOD=N4OB=60。,其中/40C=N8O。=a.若NCO8是/4O。的“內(nèi)半角”，求。的度數(shù).

⑶把一塊含60。的三角板CO。按如圖③方式放置，使OC邊與3邊重合，OO邊與。8邊重合.如圖④,

將三角板。0。繞頂點(diǎn)。以每秒6c的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為/秒.當(dāng)射線3,08,

OC,。。構(gòu)成“內(nèi)半角”時，請直接寫出，的值.

18.以直線48上一點(diǎn)0為端點(diǎn)作射線OC,使4OC=60。，將一個直角三角形。。七的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。

處.

c

E

D

D8