專題3?2立體幾何中的體積表面積范圍與最值?不建系

/_____

三元均值不等式：xyz,,-----，x+y+z>l[xyz

2

應(yīng)用：（1）若x〉（），求V十一的最小值；（2）求（6—3x）2/的最小值

.1

小，22—、(6-2x)+x+x

(1)X+-=+-+->--=1；(2)(6-2X)X2?X

XXX~Y

可以跳過求導(dǎo)的操作得出最值

高考真題?回顧

2022新高考1卷第8題

1.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且3K/K3G，則該正四

棱錐體積的取值范圍是（）

■811「2781]「2764]門…】

A.18,—B.—C.—D.[18,27]

L4J144」[43J

【答案】C

【詳解】???球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為6,

則產(chǎn)=2。2+〃2,32=2?2+（3-/?）\

所以6/?=尸，2a2=l2-h2

所以正四棱錐的體積K

1(p

所以S=_4/3--

9(6；

當(dāng)3K/K2#時(shí)，V'>0,當(dāng)24</?3石時(shí),V'<0,

所以當(dāng)/=26時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為中,

.CLj27I—..81

又/=3時(shí)，Vv=—,/=36時(shí)L，V=—,

44

27

所以正四棱錐的體積V的最小值為一,

4

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是—?—

43

［方法二］:基本不等式法（3元）

）+人/［=*（當(dāng)且僅當(dāng)4=4取到）,

由方法一故所以V=3/〃=2(6/?—/?2)/2=2(12—2/?)〃XA,2/?

333333

當(dāng)力='時(shí)，得a七,則/nW"”］（警專］；

l39

當(dāng)/=3。時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)〃=5+3=5,

爭=孚="=等，正四棱錐體積V；=#Y（爭x2號哼，故該正四棱錐體積的取值范圍是弓爭

2022年全國乙卷?文12?理9

2.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最

大時(shí)，其高為（）

A.：B.今C.—D.—

3232

【答案】C

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底而為四邊形A8CQ,四邊形A4CO所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形A8C。對角線夾角為a,

則臬m0=34。40出吊0工；.八04。工；2廠2r=2戶

(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形A8CD為正方形時(shí)等號成立)

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2r?

又設(shè)四極錐的高為萬，則產(chǎn)+6=八

%八88,2?=正口片2心匹卜+入村=速

3D333H3J27

當(dāng)且僅當(dāng)r=2/r即力=4時(shí)等號成立.

故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為"，底面所在圓的半徑為廣，則廠=也〃，

2

所以該四棱錐的高力=J1-*,

I,a24la2a2

V=

V-T-3VTT

(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立)

rJJ

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高力=/^=「|=".

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長為“，底面所在圓的半徑為，，則r=立〃，

2

所以該四棱錐的高仁后，,令/=

?0</<2),V，設(shè)/(/)“—，則

門…三3/,

4,、4,、

0</<-,r(r)>0,單調(diào)遞增，-</<2,r(r)<0,單調(diào)遞減，

JJ

所以當(dāng)f=g時(shí)，V最大，此時(shí)〃=/^=理.

故選：C.

【點(diǎn)評】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法.

9

必=1,24_1_面48（7,AC1BC,若lTBc=］，則該“鞠”的體積的最小值為（）

B.9乃

【答案】C

【分析】根據(jù)三棱錐的外接球的球心到所有頂點(diǎn)距離相等，且都為球半徑，即可找到球心的位置，然后在

直角三角形A8C中，根據(jù)基本不等式即可求解4B最小值，進(jìn)而可得球半徑的最小值.

【詳解】取A8中點(diǎn)為。，過。作。。//PA,且尸4=L因?yàn)樾L平面/IBC,所以平面AAC.由于

22

從。［86;故。4=。3=0。、進(jìn)而可知04=08=0€=。＜所以。是球心,。4為球的半徑.

I12

由匕Tse=5乂54℃8總=5=4。（78=4,又AB?=AC?+3C?224C808,當(dāng)且僅當(dāng)AC=8C=2,等

號戌立，故此時(shí)AA=2A/L所以球半徑R=QA=Joo?+（&『=2,故Rmin=1?體積最小值

為，R

3

4.已知長方體ABC。-A4GA的外接球0的體積為學(xué)，其中8片=2,則三棱錐ABC的體積的最大

值為（）

A.1B.3C.2D.4

【答案】A

【分析】設(shè)48=。,4。=。，根據(jù)長方體48CO-AMG。的外接球。的體積和=2,可求得外接球的半

徑R=2,根據(jù)基本不等式求得SDBC的最大值，再代入三棱錐的體積公式，印可得到答案;

【詳解】設(shè)AB=a,AO=〃,

32〃

???長方體ABCD-ABCR的外接球O的體積為子,B用=2,

???外接球0的半徑R=2,

；?/+〃+4=16,

a2+從=12,

..abV---------=6,

2

到平面ABC的距離d=QBB1=1,

S—二3出"3,

???三棱錐O-ABC的體積V=-x5\ABCxd<-x3xl=1.

33

???三棱錐O-A4C的體積的最大值為1.

5.將一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為()

7t2萬

A.—B.-D.一

123C卷9

【答案】C

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為"高為X,利用三角形相似求得「與不的關(guān)系式，寫出圓柱的體積，利用不

等式，即可求解.

2-x

【詳解解：設(shè)圓柱的底面半徑為,，高為X,體積為V,由△P0/1與△POA相似，可得：=，則x=2—2r,

12

…12-2〃)3=察,所以圓柱的最大體積為此時(shí)r:2.

所以圓柱的體積為V=nr'.r=nr2(2-2r)<n-(

327273

6.已知三棱錐P-ABC各頂點(diǎn)均在以尸A為直徑的球面上,E4=4,dAC是以AC為斜邊的直角三角形,

則當(dāng)△Q4C面積最大時(shí)，該三棱錐體積的最大值為()

B.M

A.卡I).8叵

3

【答案】A

【分析】由基本不等式，△E4C面積最大時(shí)△ABC的外接圓半徑為"IBC中AC邊上的高為力，h的

最大值等于，，可求三棱雄體積的最大值.

【詳解】如圖，設(shè)01為&4BC的外心，則01為AC的中點(diǎn)，又諛A?=r,&ABC中AC邊上的高為h.

2

由已知，oo,=^4-r,S^PAC=ix2rx274-r=2^r(4-rj<r+4-r=4,

當(dāng)JL僅當(dāng)尸=4-尸等號成立，即當(dāng)/?=加時(shí)，△尸AC面積取得最大值4.

此時(shí)，VjBc=-S^ABCxPC=-xrxhxPC=-xy/2xhx2y/2=-/i.

顯然，力的放大值等于r,故匕，ARC4延，即三棱錐體積的最大值為逑.

P7BC33

題理，S由幾何性質(zhì)得出最值

7.已知三棱錐S—A4c的頂點(diǎn)都在球。的表面上，若球。的表面積為36〃，48=逐，AC=2W,ZAC3=30。，

則當(dāng)三楂錐S—ABC的體積最大時(shí)，BS=()

A.4B.26C.5D.730

【答案】D

【分析】設(shè)Oi是AABC的外心，即可得到QB=&,再根據(jù)球的表面積求出球的半徑A,即可得。。，當(dāng)且

僅當(dāng)S、O、。|三點(diǎn)共線且平面S48和點(diǎn)S位于點(diǎn)O異側(cè)時(shí)，三棱維S-A8C的體積最大，再由勾股定理計(jì)

算可得6S.

【詳解】在中，根據(jù)正弦定理，可得sin/A8C二''口"庚=所以448。=90°.

AB

s

如困，設(shè)。|為EBC的外心，則0］為AC的中點(diǎn)，且。田=3A。=石，由于球。的表面積為36不，所以球

。的半徑丈=3,。。|=J7?2-Q用2=2,當(dāng)S,O,01三點(diǎn)共線且平面C4B和點(diǎn)S位于點(diǎn)。的異側(cè)時(shí),

三棱錐S-A3c的體積最大.此時(shí)8S=JSQ；+（）用=同

8.三棱錐〃一月比中，處J_底面"C,PA=2,底面力比是邊長為26的正三角形，材為〃'的中點(diǎn)，球。是

三棱錐P—力笈V的外接球.若〃是球。上一點(diǎn)，則三棱錐P-川。的體積的最大值是（）

A.2B.2#

r7>/3n8百

v?--------1/?-----------

33

【答案】C

【分析】設(shè)A8的中點(diǎn)為E,則的外接圓的直徑為A8,圓心為七，半徑為6,設(shè)三棱卷尸—A8M的

外接球的半徑為R.球心為O.利用勾股定理求出R,再求出O到平面PAC的距離，即可求出。到平面必C

的距離最大值，最后算出S“AC，印可求出（匕可禮）四；

【詳解】解：因?yàn)?48C為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，所以a0_LAC.即△A8W為直角三角形，設(shè)A3

的中點(diǎn)為E,則△A8W的外接圓的直徑為A8,圓心為七，半徑為竿=6,設(shè)三棱錐的外接球

OE2+3=R2

的半徑為A,球心為O,則，、2,，解得R=2,又B4_L平面ABC,AMu平面ABC,所以

（2-OE）~+3=R-

PA1AM,所以△/加0的外接圓是以PM為直徑的圓，設(shè)PM的中點(diǎn)為尸，^］OFlPFt所以

OF=JR2--PM2=-,即O到平面P4C的距離為』，所以O(shè)到平面P4C的距離最大值為］+2=L又

V42222

S^c=1x2x273=273,所以（%

9.已知圓錐AO,底面的面積為例，母線與底面所成角的余弦值為手，點(diǎn)。在底面圓周上，當(dāng)三棱錐

4-4C。的體積最大時(shí)，圓錐的外接球的球心到平面板）的距離為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得要使三棱錐A-3co的體積最大，則點(diǎn)。到3c的距離最大，由余弦定理可得

4

cosZBAD=-,再由正弦定理可得△A3。的外接圓半徑，再由勾股定理即可得到結(jié)果.

因?yàn)閳AO的面積為4冗，所以圓O的半徑（M=OC=2,因?yàn)槟妇€與底面所成角的余弦值為《，所以

/2=,所以圓錐的高。4=4,

VO42+225

因?yàn)辄c(diǎn)。在底面圓周上，所以48二AC=A0=26,要使三棱推4-BC7）的體積最大，則點(diǎn)D到BC的距

離最大，即QL>=2,此時(shí)BD=2\/L

在△A3。中，由余弦定理得cos/84￡>=2?+]0181所以sin/84O=?,

2X2V5X2V555

2V2_5726

由正弦定理得△八8Z）的外按圓￥任'一下?"一"3一，設(shè)△八8Z）的外按圓的圓心為F,PpBF=—,設(shè)圓

2x—3

5,

錐的外接球的球心為E,半徑為R,連接A0,依題意，E在工0上，在中，（4-/?）2+4=/?2,解

得R=*,即8五=:，

22

在RtZ\8瓦'中，BE?=BF?+EF"所以EF=J紀(jì)-四=之，所以當(dāng)三棱鋒A-4C。的體積最大時(shí)，圓錐

V496

的外接球的球心到平面ABD的距離為2.

O

10.設(shè)4,B,C,。是同一個(gè)直徑為8的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9』，則三楂

錐。-ABC體積的最大值為（）

A.186B.246C.36瓜D.54白

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)M為三角形A8C的中心，。為球心，當(dāng)。為MO與球的交點(diǎn)，判斷出當(dāng)OM/平面43C,

此時(shí)三棱錐。-48C體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得.

【詳解】如圖所示，

設(shè)點(diǎn)、M為三角形ABC的中心,O為俅心，￡為AC中點(diǎn),

當(dāng)DM/平面ABC時(shí)，三棱錐D-ABC體積最大

此時(shí)，OD=OB=R=4

則2MC=#A82=9J5,所以A8=6,

所以點(diǎn)M為三角形48c的中心，所以=-BE=2>[3,

:.Rt^OMB^,有OMHOB^-BM，=2,

:.DM=OD+OM=4+2=6,

:.(V.JXX

\D-AtfC/max=3-9736=18>/3.

結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值

11.（2023?深圳?高二期末）婦圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1dm,高為3dm,它的內(nèi)部有一個(gè)正三

棱柱，且該正三棱柱的下底面在圓錐的底面上，則這個(gè)正三棱柱的體積的最大值為dm1.

【答案】息

3

【分析】設(shè)正三棱柱上底面三角形的外接圓半徑為r（0<廠<1）,高為力，利用相似關(guān)系可知。=3-3/，由此

可將正三棱柱體積表示為關(guān)于「的函數(shù)的形式，利用字?jǐn)?shù)可求得體積的最大值.

【詳解】過三棱柱的上底面的平面平行于圓銀的底面，則該平面截圓錐所得的截面為一個(gè)小圓：

要使正三棱柱體積最大，則正三棱柱的上底面三角形內(nèi)接于該小圓；

設(shè)小圓的半徑為r（O<r<l）,正三棱柱的高為力，

,解得：〃=3-3〃：又正三棱柱的底面三角形面積S=4xGrxx/5rx,

31224

三三棱柱的體積V=S/?=乎/（3-3r）=竽（—一/），則丫'=乎r（2-3r）;

r劃時(shí),

二當(dāng)rG(O,g時(shí)，V>0：當(dāng)rer<o；

2023屆?廣東省汕頭市三模

12.將一個(gè)體積為36兀的鐵球切割成正三棱錐的機(jī)床零件，則該零件體積的最大值為()

A.16&B.1673C.8血D.8G

【答案】D

【分析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為"，高為h,球半徑為/?,由球體積求得球半徑R=3,根據(jù)邊長、高、外

接球半徑關(guān)系及棱錠體積公式得到零件體積關(guān)于〃的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積最大值.

【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長為“，高為力，球半徑為

4

由球的體積為36兀，則一幾=36H,解得R=3,

3

，廠、2

一。+(/?-3)2=9,即:a?+/—64=0,故a?=-3力2+18/?,

\7

正三棱鋒的體積為：V==*卜3/+1Sh)h=*(一3/+18/r),

,.2=*(一9"+364)，

由V'>0得：0<萬<4,此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞增，

由丫'<0得：4</?<6,此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞減，

?.?當(dāng)/?=4時(shí)，V取得最大值，且最大值為*(-3x43+18x42)=86.

鹽U7高級中學(xué)2023屆高二上學(xué)期11月月考

13.已知正四棱錐的高為〃，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且/93,則該正四棱錐體積

的最大值是()

A.—B.18C.—D.27

43

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得32=2/+(〃-3)2,進(jìn)

而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于人的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來函數(shù)的蔽值..

【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長從"二%,高PO為h,外接球的球心為例，

則。。二缶，

4

?.?球的體積為一nK=36兀，所以球的半徑R=3,

3

在Rt△用OQ中，32=2a2+(/I-3)2,

所以正四棱專隹的體才只V=，S〃=，x4a2x/?=2[9—(/?—3)[x/?.

333

2

整理為（h>3）

r=-2/?2+8/?=-2/7（/7-4）,

當(dāng)力c[3,4）時(shí)，U>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)。?4,十功時(shí)，r<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

264

所以當(dāng)〃=4時(shí)，函數(shù)取得最大值，-5x43+4x42=7.

14.已知某圓錐的母線長為3,則當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為（）

A2x/6RV6r25/3八6

3333

【答案】A

【分析】表達(dá)出圓錐的體積，通過求導(dǎo)得出其單調(diào)性，即可求出當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開圖的

圓心角的弧度數(shù).

【詳解】由題意，圓錐的母線長為3,

設(shè)圓錐的底面半徑為「，高為力，則/+*=9,0</?<3,

22

Ar=9-h

體枳：1/=；兀,力=；兀（9-02）力=；兀（9/?_力3）,

.?.丫'="2=兀（3—/叫=冗（石一〃）（石+〃），

???當(dāng)力e（0,J5）時(shí)，V單調(diào)遞增，當(dāng)力e（JJ,3）時(shí)，丫單調(diào)遞減,

.??當(dāng)〃=百時(shí)，V取得最大值，

此時(shí)/■二指，側(cè)面展開圖的圓心角。=綱=迎兀.

/3

2023屆?湖北省高中名校聯(lián)盟（圓創(chuàng)）高三下學(xué)期第三次聯(lián)合測試

15.已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為647r球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.

【答案】y

【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)樨扒?4萬齊=64萬，所以正三棱錐外接球半徑R=4,

如圖所示，設(shè)外接球圓心為0,過P。向底面作垂線垂足為。，。。二〃(04。<4),

要使正三棱錐體積最大，則底面48c與Q在圓心的異側(cè)，

所以。尸=。4=4,AO=do4一OD，=V16-6/2，

又因?yàn)镹AO8=不，所以A3=8C=AC=GxJ16-a2,

SAXBC=^-xAfixACxsin-y=,

所以%Tse=gxS△八8c.xPQ=曰>:(16—〃2)x(4+a)=曰(一一4a?+16a+64),

令f(a)=-cr-4a2+16a+64,(0<?<4),

4

f\a)=-\r-8?+16=~(3a-4)(c+4)=0解得〃=-4或1,

當(dāng)ae0,(),廣⑷>0；當(dāng)ae序4),f\a)<0,

所以")在0()遞增，在信川遞減,

4416

故當(dāng)4=5時(shí)，正三棱錐的體積匕最大，此時(shí)正三棱錐的高為。+02=0+4=7，

JJJ

故正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為號.

云南三校2023屆高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷(八)

30

16.已知正四楂錐的高為〃，其頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36兀，11^</；<-,則當(dāng)該正四棱錐

體積最大時(shí)，高力的值為()

3Q

A.2B.-C.4D.-

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題卷列出體積與高之間的函教關(guān)系式,利用導(dǎo)致k論單調(diào)性和最值求解.

又AwI，1,V(/?)=-?2.//=-[18-2(//-3)]2//=-(-2/?3+12/22),

-22_333

V\h)=1(-6/z2+24//)=-2h(h-4),

3、(9

所以當(dāng)-,4時(shí)，V\h)>0,當(dāng)/?€4,—時(shí)，W0<0,

2)12-

所以函數(shù)V(〃)=*2/?3+l2/?2)在對單調(diào)遞增，(W單調(diào)遞減，

64

故】「=7-=丁

2023屆-南京師范大學(xué)附屬中學(xué)5月模擬

17.在三棱錐P-A8C中，PA=PB=PC=1,AB=BC=CA=Ji，圓柱體OQ在三棱錐〃一人8C內(nèi)部(包

含邊界)，且該圓柱體。。的底面圓0在平面P8C內(nèi)，則當(dāng)該圓柱體。。1的體積最大時(shí)，圓柱體。。1的

高為()

A.；B.4C.yD.|

【答案】A

【分析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為廣，高為兒由軸裁面中相似三角形把〃用〃表示，求出體積后利用導(dǎo)數(shù)求

最大值及取最值時(shí)高的條件.

設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為「，圓柱體0a的高為力.

7；是圓柱上底面與三棱錐側(cè)面ABC的切點(diǎn).7是連接直線A7；與棱錐下底面的交點(diǎn),

片是圓柱上底面所在平面與的交點(diǎn)，

<PB=PC=\,6C=

%_叼」+后

則由△ART；與△APT相似,可得瓦一行一及，可得,可得力=l-(2+JI)r.

2

內(nèi)接圓柱體積V=nrh=兀/[i_(2+&)r]=兀/一(2+正卜，.

因?yàn)閁'=2nr-3（2+x/2）7tr=2nr|1一°+3五

（2

re0,,V'>OW單調(diào)遞增.re——尸,1W'<0W單調(diào)遞減,

16+3V2

21

所以，=6+l/r"有最大值'此E”=>(2+垃)X-------=一

3（2+x/2）3-

18.已知某幾何體由兩個(gè)有公共底面的圓錐組成，兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為A,8,底面半徑為R.若

4B+3R=9,則該幾何體的體積最大時(shí)，以R為半徑的球的體積為()

327r

A.47rB.8冗C.--D.16兀

3

【答案】C

【分析】由題意可知該幾何體的體積為V=兀(-內(nèi)+3齊)，令/(R)=7t(-/?3+3R2),求導(dǎo)得到當(dāng)R=2時(shí)/(R)

取得最大值，從而利用球的體積公式即可求解.

【詳解】由題意可知該幾何體的體積為V=；FR2.AK=；FR2(9_3R)=7r(-N+3R2),

令f(R)=7t(-R3+3R2),則f<R)=n(-3R2+6R),

令f'(R)=0,得R=2(R=0舍去)，

則0<R<2時(shí)，r(R)>。，/(R)單調(diào)遞增，R>2時(shí)，/'(R)<0,.f(R)單調(diào)遞減,

故當(dāng)R=2時(shí)，/(R)取得最大值，此時(shí)該幾何體的體積最大.

則以2為半徑的球的體積為g7iRa=g兀x23二等.

19.直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是6石，則該六棱柱的外接球的表面積的最小值是.

【答案】127r

【分析】設(shè)正六邊形的邊長為a,AC=x,表示出直六棱柱的體積建立方程，將a用x表示，該六枝柱的外接球

的直徑為BC,可求出外接球的表面枳，利用導(dǎo)數(shù)研究用數(shù)的最值即可.

【詳解】如圖，

設(shè)正六邊形的邊長為a,則底面而積S=6XY￡/，設(shè)AC=X,(X>0),

4

則六棱柱的體積為V=S/?=6x1/.x=6jJ,即〃2工=4,故/=-,

4x

而該六棱柱的外接球的直徑為8c=2r=+(2af,

所以該六棱柱的外接球的表面積為4萬，=笈(丁+4a2)=7r(x2+—),(x>0),

x

令f(x)=x2+—,(x>0),則f\x)=2x-，令f(x)=0、解得x=2,

X廠

當(dāng)0<x<2時(shí)，/'")<().單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時(shí)，f\x]>0,單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時(shí),/(勸取最小值12%

所以該六棱柱的外接球的表面積的最小值是124

20.設(shè)RA員C〃是表面積為36萬的球的球面上五點(diǎn)，四邊形ABCZ)為正方形，則四棱錐P-A8C。體積的

最大值為()

A.--B.18C.20D.—

33

【答案】D

【分析】由球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐的底面距離為X,棱錐的高為〃=3+x,再把棱錐底

面邊長用x表示，寫出棱錐體積，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【詳解】設(shè)球的半徑為「，則4乃尸=36乃，即r=3.

設(shè)球心到四棱維的底面距離為x(0<x<3),則正方形ABCD的對角線長為2用-f=2>/9-x2，則正方形

A8C。的邊長為巫x2j9-V=J18-2/,

2

則四棱錐的底面積為18-2x2,

當(dāng)棱錐的高為〃=3+x時(shí)，四棱錐的體積最大，

I?

則四棱錐夕一4ACO的體積V=Q(x+3)(18-2f)=§(—/一3/+9x+27)(0Wx<3),

2

V*=-(-3x2-6x4-9)=2(-X2-2X+3)=-2(X+3)(A-I),

由V'>0得OWxvl,由V'<0得lvxv3,

2

所以V=§(_x3-3/+9x+27)在[61)上遞增，在(1,3)上遞減，

9Ad

所以當(dāng)x=l時(shí)，v取得最大值為j(T-3+9+27)=7.

21.某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點(diǎn)都在半徑為3的球。上，

當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球。的截面面積是()

A.冗B.4萬C.8乃D.94

【答案】C

【分析】作出圖形，可知日棱維2-A68為正四棱鏡，由勾股定理可得出(/,一3)2+2a2=9,分析得出〃)3,

可設(shè)〃-3=3cos。，后〃=3加。，其中0<夕<],可得出/_A88=18(l+cose)2(l-cos。)，令戶cos6?0,I),

/(x)=(l+x)2(l-x),利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)取最大值時(shí)對應(yīng)的x的值，求出sin。的值，可得出4E的長，進(jìn)

而可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，可知四棱缽P-A8C。為正四棱錐，設(shè)ACD8O=E,則球心0在直線PE上，

設(shè)PE=h,AB=2a,則AE=\fla,

由勾股定理可得。A2=o￡+A￡，即|〃一3『+2/=9,

當(dāng)四棱錐P-A3C。的體積最大時(shí)，則點(diǎn)。在線段注:上，則力>3,

可設(shè)〃-3=3cos6.aa=3sin0,其中0＜。＜搟，

^p-ARci)=-^x4?2//=-1x9sin20x3(1+cos0)=180-cos?0)(l+cos0)=18(1+cos0)~(l-cos^),

令工=88〃￡(0,1),/(x)=(l+X)2(l-X),

則f(x)=2(l+x)(l_x)_(l+x『=_(3x_])(x+l).

當(dāng)時(shí)，附勾>0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng);VX<1時(shí)，/"（工）<（）,此時(shí)函數(shù)/（X）單調(diào)遞減，所以，小）2=/（；,

此時(shí)cos6=:，sin^=Vl-cos2^=—,則AE=3sinO=2直，

33

因此，當(dāng)該四棱錐■的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面板球0的截面面積是/rxAE?=81.

22.如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是16Gcnf的正三角形.若在該酒杯內(nèi)放

置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為

「2566

C.--------ncmD.9\/5兀cm'

27

【答案】C

【分析】先根據(jù)軸截面求出圓錐底面圓的半徑，設(shè)出圓柱形冰塊的底面半徑X,用含X的式子表達(dá)出圓柱形

冰塊的高，從而得到圓柱形冰塊的體積關(guān)于X的表達(dá)式，用導(dǎo)函數(shù)求解最大值.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為Rem,圓柱形冰塊的底面圓半徑為nm,高為力cm.由題意可得，

—x（2/?）2=16x/3,解得:R=4,/7<tan^（/?-x）=^（4-x）（0<x<4）,

43

設(shè)圓柱形冰塊的體積為Vcm\則V<V3TU:2-（4-X）（0<X<4）.

設(shè)/a)=W(4—x),則r(x)=6兀M8—3X),當(dāng)0<x<g時(shí)，/^x)>0；

J

當(dāng)g<%<4時(shí)，r(x)<0,故/(.r)在x=|取得極大值，也是最大值，所以/(力…=/(g)=25；，兀，故

酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為2%島cn?

27

2023屆?湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)第一次月考

4

23.在AA6C中，4B=5,AC=3,tan4=y,點(diǎn)M、N分別在邊A8、8C上移動(dòng)，且MN=8N,沿MN將△BMN

折起來得到棱錐8-4WNC,則該棱錐的體積的最大值是()

,1672口16Gr16#h309

151515128

【答案】C

［分析］根據(jù)題意，可得的具體形狀，由折疊，可得當(dāng)而MNB±而AMNC時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)B到底面AMNC

的距離最大，設(shè)BM=2x,將四棱維中底面積和高，都用工表示出來，整理出體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，

可得答案.

43

【詳解】由tan/\=5得cosA=《，由余弦定理得CB=4,

則“8C是直角三角形，。為直角，對MN的任何位置，當(dāng)面MNBJ.面4MNC時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)8到底面AMNC

的距離最大，此時(shí)/NMB即為MB與底面AMNC所成的角，

設(shè)BM=2x,

3133

在LMNB中，tanB=—,S&MNB=—?2x?x?tan8=-/,sin/NMB=sinB=一,

25

6x

點(diǎn)3到底面AMNC的距離h=MBsin/NMB=一，

5

,..I”(,36x24,v-3x3f..5、

則n/-兒“⑶二、(5"8。―5?儕8)〃=與6_工/~=———0<x,-L

e-9f+249f2^}(2痂

VB-AMNC=-77-=-77x+-rx一~「，

令匕-=()，解得工=±平，可得下表:

。里

2瓜‘2瓜5~

X、3a

VB-&MNC+0—

VB-ANMC/極大值

故當(dāng)1=也時(shí)，該棱錐的體積最大，為網(wǎng)區(qū).

315

24.已知球體的半徑為3,當(dāng)球內(nèi)接正四棱錐的體積最大時(shí),正四棱錐的高和底面邊長的比值是（）

A.1B.72C.>/3D.2

【答案】A

【解析】設(shè)珠心。到底面距離為“，通過正四棱雉的對角面求出棱維的高，與底面邊長，計(jì)笄出體積后，利

用導(dǎo)數(shù)的知識求出最大值，得出結(jié)論.

【詳解】如圖，△P4C是正四棱錐P-A8CQ的對南面，其外接圓是四楂錐外接球的大圓，。是圓心（球心），

設(shè)正四棱錐底而邊長為“，則AC=JS〃，OA=OP=3,設(shè)OE=x（（）<x<3）,

2

則由爐+A￡?得/+g/=9,"=]8_2/，PE=3+x,SABCD=\S-2x,

\i2

232

V=-SABCI）-P￡=-（18-2^）（3+X）=-（-x-3x+9x+27）,

已=一（一3/-6工+9）=-23—1）（工一3）,當(dāng)Ovxvl時(shí)，Vr>0,V遞增，lvxv3時(shí)，

3

64

r<o,v遞減，，x=i時(shí)，丫取得極大值也是最大值囁、=可.

_______PE

此時(shí)高PE=4,々=J18-2XF=4,-=1.

故選：A.

云南省昆明市2023屆“三診一?！备呷|(zhì)量檢測

25.某機(jī)床廠工人利用實(shí)心的圓錐舊零件改造成一個(gè)正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上,

下底面在圓錐的底面內(nèi).已知該圓錐的底面圓半徑為3cm,高為3cm,則該正四棱柱體積（單位：cn?）

的最大值為（）

27

A.54（10-7>/2）B.8C.D.9

4

【答案】B

【分析】設(shè)OC=x,借助于圓錐的軸截面分析可得Cb=3—x,利用柱體體積公式可求得V=2(3/-

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【詳解】顯然當(dāng)正四棱柱的上底面頂點(diǎn)在圓錐表面時(shí)的體積較大，

如國，借助于圓錐的軸裁面，

由題意可得：04=08=0尸=3cm,