2026屆北京市九級(jí)數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線(xiàn)由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是()A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線(xiàn)y=2x2繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，再向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，所得的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為()A．y=2(x﹣1)2﹣2 B．y=2(x+1)2﹣2C．y=﹣2(x﹣1)2﹣2 D．y=﹣2(x+1)2﹣23．如圖，AD是的一條角平分線(xiàn)，點(diǎn)E在AD上．若，，則與的面積比為（）A．1:5 B．5:1 C．3:20 D．20:34．矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，面積為9，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示大致為（）A． B． C． D．5．如圖，已知A、B是反比例函數(shù)上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于C，動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，過(guò)運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)上任意一點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，設(shè)四邊形OMPN的面積為S，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．6．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形．則a、b、c滿(mǎn)足的關(guān)系式是（）A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c7．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)的圖象上，AC//BD//y軸，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為1，2，△OAC與△ABD的面積之和為，則k的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．8．若點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，并且，則下列各式中正確的是（）A． B． C． D．9．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的其中一個(gè)解是x=1，則2018﹣a﹣b的值是（）A．2022 B．2018 C．2017 D．202410．如果2是方程x2-3x+k=0的一個(gè)根，則常數(shù)k的值為（）A．2 B．1 C．-1 D．-2二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個(gè)三角形的內(nèi)切圓，依此類(lèi)推，圖10中有10個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10=．12．已知線(xiàn)段a=4，b=9，則a，b的比例中項(xiàng)線(xiàn)段長(zhǎng)等于________．13．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是________．14．⊙O的半徑為10cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為12cm，則點(diǎn)P和⊙O的位置關(guān)系是_____．15．如圖，將面積為32的矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，連接AP交BC于點(diǎn)E．若BE=，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)____．16．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanA等于．17．如圖，已知是直角，在射線(xiàn)上取一點(diǎn)為圓心、為半徑畫(huà)圓，射線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)__________度時(shí)與圓第一次相切.18．將一元二次方程用配方法化成的形式為_(kāi)_______________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC⊥AB，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在劣弧BD上，DE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AE交BD于點(diǎn)G．（1）求證：∠AED＝∠CAD；（2）若點(diǎn)E是劣弧BD的中點(diǎn)，求證：ED2＝EG?EA；（3）在（2）的條件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的長(zhǎng)．20．（6分）如圖，是的直徑，直線(xiàn)與相切于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，線(xiàn)段與相交于點(diǎn).（1）求證：是的平分線(xiàn)；（2）若，求的長(zhǎng).21．（6分）甲、乙、丙、丁4位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選2名同學(xué)打第一場(chǎng)比賽．(1)已確定甲同學(xué)打第一場(chǎng)比賽，再?gòu)钠溆?名同學(xué)中隨機(jī)選取1名，恰好選中乙同學(xué)的概率是__________；(2)隨機(jī)選取2名同學(xué)，求其中有乙同學(xué)的概率．22．（8分）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，D在直線(xiàn)l上，∠BAD=60°，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將菱形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)M，C′D′交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)MN∥B′D′時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)求證：△AB′M≌△AD′N(xiāo)；(2)求α的大小.23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于點(diǎn)B．已知∠A=45°，∠C=60°，，求AD的長(zhǎng)．24．（8分）如圖，在菱形中，點(diǎn)是上的點(diǎn)，，若，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段最小時(shí)，長(zhǎng)為_(kāi)__________．25．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AD平分∠BAC，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（2）判斷并證明：直線(xiàn)DE與⊙O的位置關(guān)系；（3）若AB=10，BC=8，求CE的長(zhǎng)．26．（10分）如圖是一種簡(jiǎn)易臺(tái)燈的結(jié)構(gòu)圖，燈座為△ABC，A、C、D在同一直線(xiàn)上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，燈桿CD長(zhǎng)為40cm，燈管DE長(zhǎng)為15cm.求臺(tái)燈的高(即臺(tái)燈最高點(diǎn)E到底盤(pán)AB的距離).(結(jié)果取整，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】試題分析：根據(jù)平行投影特點(diǎn)以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解．把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線(xiàn)由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是正六邊形．考點(diǎn)：平行投影．2、C【分析】拋物線(xiàn)y=1x1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，即拋物線(xiàn)上的點(diǎn)（x，y）變?yōu)椋?x，-y），代入可得拋物線(xiàn)方程，然后根據(jù)左加右減的規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵把拋物線(xiàn)y=1x1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，∴新拋物線(xiàn)解析式為：y=﹣1x1，∵再向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，∴平移后拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣1(x﹣1)1﹣1．故選：C．本題考查了拋物線(xiàn)的平移變換規(guī)律，旋轉(zhuǎn)變換規(guī)律，掌握拋物線(xiàn)的平移和旋轉(zhuǎn)變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3、C【分析】根據(jù)已知條件先求得S△ABE：S△BED=3：2，再根據(jù)三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根據(jù)S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．【詳解】解：∵AE：ED=3：2，

∴AE：AD=3：5，

∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，

∴△ABE∽△ACD，

∴S△ABE：S△ACD=9：25，

∴S△ACD=S△ABE，

∵AE：ED=3：2，

∴S△ABE：S△BED=3：2，

∴S△ABE=S△BED，

∴S△ACD=S△ABE=S△BED，

∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，

∴S△BDE：S△ABC=3：20，

故選：C．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，不同底等高的三角形面積的求法等，等量代換是本題的關(guān)鍵．4、C【解析】由題意得函數(shù)關(guān)系式為，所以該函數(shù)為反比例函數(shù)．B、C選項(xiàng)為反比例函數(shù)的圖象，再依據(jù)其自變量的取值范圍為x＞0確定選項(xiàng)為C．5、A【詳解】解：①點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)四邊形OMPN的面積S=K，保持不變，故排除B、D；②點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)路線(xiàn)O→A→B→C的總路程為l，點(diǎn)P的速度為a，則S=OC×CP=OC×（l﹣at），因?yàn)閘，OC，a均是常數(shù)，所以S與t成一次函數(shù)關(guān)系，故排除C．故選A．考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象．6、A【分析】利用解直角三角形知識(shí).在邊長(zhǎng)為a和b兩正方形上方的兩直角三角形中由正切可得，化簡(jiǎn)得b＝a＋c，故選A.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、B【分析】首先根據(jù)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)AC//BD//y軸,及反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出AC,BD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式表示出S△OAC,S△ABD的面積，再根據(jù)△OAC與△ABD的面積之和為，列出方程，求解得出答案.【詳解】把x=1代入得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入得：y=,∴B(2,),∵AC//BD//y軸,∴C(1,k),D(2,)∴AC=k-1,BD=-，∴S△OAC=（k-1）×1,S△ABD=(-)×1,又∵△OAC與△ABD的面積之和為，∴（k-1）×1＋(-)×1=，解得：k=3;故答案為B.:此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵.8、B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象特征即可得．【詳解】反比例函數(shù)的圖象特征：（1）當(dāng)時(shí)，y的取值為正值；當(dāng)時(shí)，y的取值為負(fù)值；（2）在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大由特征（1）得：，則最大由特征（2）得：綜上，故選：B．本題考查了反比例函數(shù)的圖象特征，掌握理解反比例函數(shù)的圖象特征是解題關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)題意將x=1代入原方程并整理得出，最后進(jìn)一步整體代入求值即可.【詳解】∵x=1是原方程的一個(gè)解，∴把x=1代入方程，得：，即．∴，故選：D．本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.10、A【分析】把x=1代入已知方程列出關(guān)于k的新方程，通過(guò)解方程來(lái)求k的值．【詳解】解：∵1是一元二次方程x1-3x+k=0的一個(gè)根，

∴11-3×1+k=0，

解得，k=1．

故選：A．本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．二、填空題(每小題3分,共24分)11、π.【解析】圖1,過(guò)點(diǎn)O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足為E.

F,則∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四邊形OECF為矩形∵OE=OF∴矩形OECF為正方形設(shè)圓O的半徑為r,則OE=OF=r,AD=AE=3?r,BD=4?r∴3?r+4?r=5,r==1∴S1=π×12=π圖2,由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD=,BD=5?=，由(1)得：⊙O的半徑=,⊙E的半徑=，∴S1+S2=π×()2+π×()2=π.圖3,由S△CDB=××=×4×MD∴MD=，由勾股定理得：CM=,MB=4?=，由(1)得：⊙O的半徑=,⊙E的半徑=，∴⊙F的半徑=，∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π12、1【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可求解．【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線(xiàn)段的乘積，

∴，即，解得，（不合題意，舍去）

故答案為：1．此題考查了比例線(xiàn)段；理解比例中項(xiàng)的概念，注意線(xiàn)段不能是負(fù)數(shù)．13、且【分析】根據(jù)分母不等于0，且被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)列式求解即可.【詳解】由題意得x-1≥0且x-2≠0，解得且故答案為：且本題考查了代數(shù)式有意義時(shí)字母的取值范圍，代數(shù)式有意義時(shí)字母的取值范圍一般從幾個(gè)方面考慮：①當(dāng)代數(shù)式是整式時(shí)，字母可取全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)代數(shù)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)代數(shù)式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．14、點(diǎn)P在⊙O外【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：∵⊙O的半徑r=10cm，點(diǎn)P到圓心O的距離OP=12cm，∴OP＞r，∴點(diǎn)P在⊙O外，故答案為點(diǎn)P在⊙O外．本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．15、【解析】設(shè)AB=a，AD=b，則ab=32，構(gòu)建方程組求出a、b值即可解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)AB=a，AD=b，則ab=32，由∽可得：，∴，∴，∴，，設(shè)PA交BD于O，在中，，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.16、.【解析】試題分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴.∴可設(shè).∴根據(jù)勾股定理可得.∴.考點(diǎn)：1.銳角三角函數(shù)定義；2.勾股定理.17、60【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與圓相切時(shí)的切線(xiàn)BA1，切點(diǎn)為D,連接OD，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ODB=90°，然后根據(jù)已知條件，即可得出∠OBD=30°，從而求出旋轉(zhuǎn)角∠ABA1．【詳解】解：如下圖所示，射線(xiàn)BA1為射線(xiàn)與圓第一次相切時(shí)的切線(xiàn)，切點(diǎn)為D,連接OD∴∠ODB=90°根據(jù)題意可知：∴∠OBD=30°∴旋轉(zhuǎn)角：∠ABA1=∠ABC－∠OBD=60°故答案為：60此題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．18、【分析】把方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上1，變形得到結(jié)果，即可得到答案.【詳解】解：由方程，變形得：，配方得：，即；故答案為.此題考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1．【分析】（1）可得∠ADB＝90°，證得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，則結(jié)論得證；（2）證得∠EDB＝∠DAE，證明△EDG∽△EAD，可得比例線(xiàn)段，則結(jié)論得證；（3）連接OE，證明OE∥AD，則可得比例線(xiàn)段，則EF可求出．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）證明：∵點(diǎn)E是劣弧BD的中點(diǎn)，∴，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG?EA；（3）解：連接OE，∵點(diǎn)E是劣弧BD的中點(diǎn)，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝1．本題考查了圓的綜合應(yīng)用題，涉及了圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉上述知識(shí)點(diǎn)．20、（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，可證得OC∥AD，根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，可得∠DAC=∠CAO，即得AC平分∠DAB；（2）連接，連接交于點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和相似三角形求得，再求得，即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線(xiàn)；（2）解：如圖，連接，連接交于點(diǎn)，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，為線(xiàn)段中點(diǎn)，∵，，∴，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∵為直徑中點(diǎn)，為線(xiàn)段中點(diǎn)，∴．本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定、勾股定理、三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)等多方面的知識(shí)，是一道綜合題型，考查學(xué)生各知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．21、（1）（2）【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選取2名同學(xué)中有乙同學(xué)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：（1）已確定甲同學(xué)打第一場(chǎng)比賽，再?gòu)钠溆?名同學(xué)中隨機(jī)選取1名，恰好選中乙同學(xué)的概率=；故答案為：（2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選取2名同學(xué)中有乙同學(xué)的結(jié)果數(shù)為6，所以有乙同學(xué)的概率=．本題考查1、列表法與樹(shù)狀圖法；2、概率公式，難度不大，掌握公式正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．22、（1）見(jiàn)解析；（2）α=15°【分析】（1）利用四邊形AB′C′D′是菱形，得到AB′=B′C′=C′D′=AD′，根據(jù)∠B′AD′=∠B′C′D′=60°，可得△AB′D′，△B′C′D′是等邊三角形，進(jìn)而得到△C′MN是等邊三角形，則有C′M=C′N(xiāo)，MB′=ND′，利用SAS即可證明△AB′M≌△AD′N(xiāo)；（2）由（1）得∠B′AM=∠D′AN，利用∠CAD=∠BAD=30°，即可解決問(wèn)題.【詳解】（1）∵四邊形AB′C′D′是菱形，∴AB′=B′C′=C′D′=AD′，∵∠B′AD′=∠B′C′D′=60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等邊三角形，∵M(jìn)N∥B′C′，∴∠C′MN=∠C′B′D′=60°，∠CNM=∠C′D′B′=60°，∴△C′MN是等邊三角形，∴C′M=C′N(xiāo)，∴MB′=ND′，∵∠AB′M=∠AD′N(xiāo)=120°，AB′=AD′，∴△AB′M≌△AD′N(xiāo)（SAS），（2）由△AB′M≌△AD′N(xiāo)得：∠B′AM=∠D′AN，∵∠CAD=∠BAD=30°，∴∠D′AN=∠B′AM=15°，∴α=15°本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．23、．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，∠C=60°，，則可求出DE,由已知可推出∠DBE=∠ADB=45°，根據(jù)直解三角形的邊角關(guān)系依次求出BD，AD即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E∵在Rt△CDE中，∠C=60°，，∴，∵AB⊥BD，∠A=45°，∴∠ADB=45°.∵AD∥BC，∴∠DBE=∠ADB=45°∴在Rt△DBE中，∠DEB=90°，，∴，又∵在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠A=45°，∴．本題考查了解直角三角形的知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.24、【分析】設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x?3，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根據(jù)AB、PE的值和△ABE的面積，即可求得PE的最小值，再根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x?3，因?yàn)锳E⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，，∵，AE⊥BC設(shè)AE=3a，AB=5a，則BE=4a，∴cosB=∴于是5x?1＝4x，解得x＝1，即AB＝1．所以易求BE＝12，AE＝9，當(dāng)EP⊥AB時(shí)，PE取得最小值．故由三角形面積公式有：AB?PE＝BE?AE，求得PE的最小值為．在Rt△BPE中，BP=故答案為:．本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運(yùn)用、三角形面積的計(jì)算和最小值的求值問(wèn)題，求PE的值是解題的關(guān)鍵．25、(1)見(jiàn)解析;(3)直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn),證明見(jiàn)解析;（3）3.3或4.3【分析】（1）依據(jù)題意，利用尺規(guī)作圖技巧補(bǔ)全圖形即可