貴陽市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年度高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)

教學(xué)試卷

注意事項(xiàng):

1.本試卷共6頁，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分.

3.考試過程中不得使用計(jì)算器.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分.每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選

項(xiàng)正確，請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填寫在答題卷的相應(yīng)位置上.）

1.已知復(fù)數(shù)z=l-2i,則的虛部為（)

A.2B.2iC.D.-2i

【答案】C

解析：復(fù)數(shù)z=l-2i的虛部為-2.

故選：c

2.已知。=（3,4）,則與〃垂直的單位向量坐標(biāo)為（)

(43)(34)

A.B.■

43_4工、阿或3

C.或"?，5D.5，-5；

15，/>

【答案】c

解析：設(shè)與向量〃=（3,4）垂直的單位向量是e=（x,y）,由題意可得aJLe，6=1,

44

ae=3x+4y=0x=—x=——

53或‘5f43J43]

所以同二乒了=1,解得'?故《=—或《=—.

35；J\55>

故選：c

3.新能源汽車憑借環(huán)保、節(jié)能等優(yōu)勢(shì)，受到越來越多消費(fèi)者的青睞.某品牌為評(píng)估旗下新能源汽車在市場(chǎng)中

的競(jìng)爭(zhēng)力，統(tǒng)計(jì)了6個(gè)不同地區(qū)該品牌新能源汽車專賣店在一底內(nèi)的銷售數(shù)量（單位：輛），數(shù)據(jù)如下:18,

22,25,28,30,35.則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（）

A.22B.28

C.30D.35

【答案】C

解析：6x75%=4.5,所以這組數(shù)據(jù)的.上四分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)30.

故選：C.

4.一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若從中任取2支.記事件年"恰

有1支一等品"，事件8="2支都是二等品"，事件C=“沒有三等品"，下列說法正確的是（）

A.事件A與事件B互斥B.事件B與事件C互斥

C.事件A與事件C對(duì)立D.事件B與事件C對(duì)立

【答案】A

解析：對(duì)于A,事件人與事件8不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以事件4與事件8互斥，故A正確；

對(duì)干B,若取到的兩支筆都是二等品，則事件8與事件C同時(shí)發(fā)生，

所以事件8與事件C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,若取到的兩支筆是一支二等品，一支三等品，則事件4與事件C都沒有發(fā)生，

所以事件A與事件C不是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若取到的兩支筆是一支一等品，一支三等品，則事件8與事件C都沒有發(fā)生，

所以事件8與事件C不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；

故選：A.

5.設(shè)m,。是兩條不同的直線，Q,6是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若m//〃，碓la,a//6,則mK6

B.若〃z_L〃_L°,n±a,則m0a

C.若m//n,n//6,則at36

D.若m±n,m,貝ij成）6

【答案】D

解析：解：對(duì)丁A,若〃〃/〃,〃_!_%a/0,則機(jī)_Lc且〃?_L/7,所以A正確；

對(duì)于B,若_L4,〃_L_La,PJiJmJIn且mJLa,所以B正確；

對(duì)于C,若〃，川1/3,則由面面垂直的判定定理可得a,所以C正確；

對(duì)于D,若〃7_L小〃zua,〃uQ，則a./?可能相交或垂直，所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖

所示的幾何模型，該模型中MA、A/8均與水平面48c垂直.并已則得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離

AC=3m,BC=4m,在C處觀測(cè)M的仰角為45,觀測(cè)N的仰角為60。，且4/CN=45。，則M與N之間

的距離為（）

N

C

A.2smB.730m

C.4>/2mD.>/34m

【答案】D

解析：由題意知N"C4=45。,NNC6=60。，AC=3m,BC=4m,所以MC=3及m,NC=8m.

因?yàn)?MCN=45°,在△MCN中，MN=

故選：D

7.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是4和6,則該圓臺(tái)的體積是（）

19后

A.19技

3

387t

C.38K

【答案】B

解析：由題意及圖得，

作出圓臺(tái)的截面圖如下圖所示，過點(diǎn)作3G_LC。于點(diǎn)G,

設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為，

則2兀r=4兀，解得r=2,

BE=FG=r=2,

n（A）=12,n（B）=8,n（AuB）=16,則下列結(jié)論中正確的是（)

B.尸（砌=|

CP（/48）=§1

D.4與B相互獨(dú)立

【答案】ACD

解析：對(duì)于A,由圖知，〃（AB）=〃（A）+〃（8）-〃（AJB）=12+8-16=4,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)椤ǎ?08）=16,〃（Q）=24,所以〃（A8）=24-16=8,

/一\〃（函81

所以「AB=-W=—=—，故B不正確；

'）"（Q）243

對(duì)干C,因?yàn)椤ǎˋ§）=〃（AJ3）_〃（8）=16_8=8,所以尸（A方）=崇9=焉=；,故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)镻（網(wǎng)=3默*又尸⑷=黯吟得,

/、n（B\81/、/、/、

^（^）=-^=—=-，P（AB）=P（A）P（3）,所以A與B相互獨(dú)立，故D正確.

故選：ACD.

io.如圖，在校長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A/iGA中，N為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列選項(xiàng)中正

A,直線AC與直線所成角的最大值為

B.直線GN與平面AC"平行

c.當(dāng)N為線段A/上中點(diǎn)時(shí)，平面ANC_L平面A/C

D,N4+NC的最小值為J2+加

【答案】BCD

解析：對(duì)于A,.??直線AC與直線GN所成角即為直線AG與直線QN所成角,

顯然當(dāng)N與點(diǎn)重合時(shí)，直線A6與直線C|N所成角最大，最大角為=

二直線AC與直線GN所成角的最大值為故A錯(cuò)誤；

對(duì)干B,???AC7/AG，ACu平面AC",A。（Z平面AC",

??.A|C|//平面AC。，同理可■得48//平面AC。，

又AGna“=A,A￡u平面A8C1,ABu平面A|BC],

平面AC"〃平面&BC|,又qNu平面&BC],

:.C]N〃平面ACD「故B正確；

對(duì)于c,當(dāng)/v為線段A/上中點(diǎn)時(shí)，rANlAB,AN工BC,A/IBC=B,

「.AN_L平面ABC,又ANu平面ANC,

二平面ANCJ_平面ABC,故c正確；

對(duì)于D,把平面A8cA沿BA展開到平面ABBM所在平面，如圖，

連接AC交4B于點(diǎn)N此時(shí)N4+NC最小，最小值為AC,

在VA3c中，ZABC=450+90°=135°,AB=BC=T,

AC=VAB2+BC2-2ABBCCOS135°=^12+I2+2xlxlx^=也+0，

故D正確.

三、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分,請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相

應(yīng)位置上.）

11.已知事件A與事件8互斥，若尸（A）=0.5,尸（8）=0.2,則P（AU8）=

【答案】。7##5

解析；因?yàn)槭录伺c事件?；コ?，P（人）=0.5,P（B）=0.2,

所以P（A/3）=P（A）+P（3）=0.5+0.2=0.7.

故答案為：0.7

12.一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，若用“斜二側(cè)〃畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為.

［答案］”2

44

解析：如圖平面正方形OABC的邊長(zhǎng)為3,

則直觀圖如下所示:

13

則直觀圖為平行四邊形：OA,=B,C'=OA=3,O,C,=B,A,=-OC=-

22t

又因?yàn)镹C'O4=45,

所以直觀圖的面積為S=2x1x3x2xsin45=—

224

故答案為：逑

4

13.已知等邊VA8C的邊長(zhǎng)為1,CI3=a,CA=b,AB=ct那么無〃+方.e+e々=

【答案】^-##0.5

2

解析：由題意，在等邊VA3C中，邊長(zhǎng)為1,三個(gè)內(nèi)角都為60°,CB=a,CA=b,AB=c,

??.《咐=60。,（Z?,c）=120°,（〃。=60°,

：.ab+bc+c-a=\a\bcosa.b+司同cos〃,c+同|c|cosa,c

=1x1xcos600+1x1xcos12004-1x1xcos60°----+—=-,

2222

故答案為：—

2

14.已知一組數(shù)據(jù)2,3,m,8,m+2,9的平均數(shù)為8,則川二二這組數(shù)據(jù)的方差為.

【答案】①.12②.19

解析：2,3,m,8,m+2,9的平均數(shù)為8,所以2+3+/+8+m+2+9=8x6,解得：機(jī)=12,

這組數(shù)據(jù)2,3,12,8,14,9,

片w為.2（2-8）2+（3-8）2+（12-8）2+（8-8）2+（14-8）2+（9-8）236+25+16+0+36+1

9

/JyJ?s=--------------------------------------------------=--------------------=

66

故答案為：12；19.

15.在正三棱錐P—A8C中，AB=m,PA=2,RP、A、B、c四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則球o被

平面PAB所截圓的面積為.

【答案】y

解析：球0被平面QA3所截圓的面積為即為RW外接圓的面積，

因?yàn)锳8=J&PA=2,所以由余弦定理可得cosN/1尸8二4尸+尸''A"二2'+2—'行）=],

2APPB2x2x24

所以sinNAPB=y/1-cos2ZAPB=—，

4

AB瓜—29

所以上/VLB外接圓的半徑為「一2sinNAP8—一乖—5，

2x---

4

所以外接圓的面積為兀=y.

故答案：.

四、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分?解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.）

16.已知平面向面宣=（2,3）,^=（-2,4）.

（1）求向量2a+3Z?的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，a7—6與2a+3b共線.

【答案】（1）（-2,18）

2

（2）k=—

3

（1）

2。+3〃=2（2,3）+3（-2,4）=（4,6）+（-6,12）=（-2,18）.

（2）

如一〃二川2,3）-（一2,4）=（2攵+2,3"4）,勿+在=（-2,18）,

Q店一人與2a+3〃共線，.?.18（2攵+2）=-2（3攵-4）,解得：攵=一；.

17.記VA8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且加I-=島.

1-cosB

（1）求8的大??；

<2）若A6C?的面積為26，求VA6C的周長(zhǎng).

JT

【答案】（1）/

（2）6庭

（1）

在VABC中，由產(chǎn)叫=怎.及正弦定理得，吧=bsinA,

1-cosB1-cosB

因?yàn)镺vAv兀，所以sinAwO,所以sinB+J5cosB=8，即sin‘5+1）=岑，

7T7T47r7T27r7T

而0<3<兀，所以=所以A+w=丁，所以8=；.

333333

（2）

由（1）知，B=p由VA8C的面積為2后，得:“csinB二手QC=2#，解得ac=8,

由余弦定理及b=2V2得8=〃~=〃-+c~—2accosB=（。+c）——3〃c—（〃+c）~~24,

解得a+c=4應(yīng)，所以VA8C的周長(zhǎng)為a+〃+c=2>/5+40=6右.

18.為了讓同學(xué)們更好的了解垃圾分類，貴陽市某中學(xué)高一年級(jí)1000名學(xué)生進(jìn)行了垃圾分類知識(shí)測(cè)試（滿

分100分）,將全部測(cè)試成績(jī)分組得［50,60）.［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］五個(gè)組，已知

前三組的頻率分別為0.04、0.16、0.2,后兩組的頻率之比為3：2.請(qǐng)回答下列問題：

（1）求后兩組的頻率，并補(bǔ)全如圖所示頻率分布直方圖；

（2）結(jié)合頻率分布直方圖，估計(jì)該中學(xué)本次垃圾分類知識(shí)測(cè)試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中間值代表）：

（3）若垃圾分類知識(shí)測(cè)試中將成績(jī)［80,90）稱為良好，［90,100］稱為優(yōu)秀.按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣,

現(xiàn)從測(cè)試成績(jī)?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的兩組同學(xué)中抽取5人，然后從5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人成績(jī)

都為優(yōu)秀的概率.

【答案】⑴0.36,0.24

（2）81分

(1)

解：設(shè)后兩組頻率分別為352〃，則有0.04+0.16+0.2+3。+2a=1,

解得：。=0.12,所以后兩組的頻率分別為0.36,0.24.

頻率分布直方圖

平均分為：0.04x55+0.16x6815+0.2x75+0.36x85+0.24x95=81（分）

所以該中學(xué)本次垃圾分類知識(shí)測(cè)試成績(jī)的平均分為81分.

(3)

因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,90）,［90,100］的兩組的頻率之比為3：2,所以分層抽樣抽取的人數(shù)分別為3人，2人,

設(shè)抽到的良好的學(xué)生為扯到的優(yōu)秀的學(xué)生為L(zhǎng)2,

則從5人中抽取2人的情況為；（々力）,（々,。）,31）,（々,2）,（友。）（〃,1）,（我2）,9,1）,（。,2）,（1,2）共10種，

其中兩人成績(jī)都優(yōu)秀的情況為：（1,2）共1種，

設(shè)事件A：抽到的兩人成績(jī)都為優(yōu)秀，

則HA）/

故抽到的兩人成績(jī)都為優(yōu)秀的概率為

19.如圖所示，在四棱維P-A5C。中，P41底面ABC。，且四邊形ABC。為直角梯形,

ABLBC.BC=2AD,E為PC中點(diǎn).

（1）證明：DE//平面PAB；

⑵若PB=BC=2,PA=?求直線AC與平面P8C所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵理

10

(1)

取尸8的中點(diǎn)尸，連接A尸,“，

因?yàn)镋為。。中點(diǎn)，所以EF//BC,EF=!BC,

2

又因?yàn)?c=2A￡),四邊形46s為直角梯形，ABA.BC,

所以石///A2Q=AZ),所以四邊形AOEF為平行四邊形,

所以匹//4/，又AFu平面PA3，OE<Z平面Q4B，

所以0E//平面PAB；

R

力j二…方”

過作ANJ_PB于N,連接NC,

因/%!底面A8C。，乂8Cu底向A8C。，所以〃AJ.6C,

又A8J.8C,AB^PA=A,45,R4u平面所以3C1平面FAB，

又BCu平面PBC,所以平面PBCJ_平面Q45，

又ANLPB,又ANu平面Q4B，平面PHCD平面B45二尸8，

所以AN1平面P8C,所以AC在平面PBC內(nèi)的射影為NC,

所以4CV為直線4c與平面PBC所成的角，

因?yàn)镻B=2,PA=?所以AB={PB2-PA2=1，

因?yàn)镾.,，八=所以;x0xl=gx2-AN,解得AN=2

2

又BC=2,所以4。=》了記=6，

叫XCN嚏徭B懵L

所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為巫

10

五、閱讀與探究(本大題1個(gè)小題，共8分.解答應(yīng)寫出文字說明，條理清晰.)

20.形如z=a+bi(a,b￡R)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosMsinO)的

a-rcosO

形式，即{,.八，其中「為復(fù)數(shù)z的模，。是以x軸非負(fù)半軸為始邊，向量0Z所在射線(射線0Z)

b=rsmu

為終邊的角，稱為復(fù)數(shù).z=a+》i的輻角，規(guī)定0?。<2兀范圍內(nèi)的輻角9的值為輻角的主值，記為argz.

z=r(cos0+isin6>)叫做復(fù)數(shù)的三角形式.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示知：

z?=(廠(cosd+isine))~=/(cos2￡+isin2。).推廣，至！Jn次哥有?：

z”=&(cose+isin。))"=/(cos〃0+isin〃8)此結(jié)論稱為棣莫弗定理.下面我們利用棣莫弗定理探究1的3

次方根：設(shè)z=r(cos?+/sin9)(r>0)是1的3次方根，則z?=I=cosO+isinO.所以

(r(cose+isine))'=/(cos3e+isin3e)=cosO+isinO.因?yàn)橄嗟鹊母鼣?shù)的模相等，輻角可以相差2兀的整

r=1

r3=1Ol^rr)l^jr

數(shù)倍.所以《丁、,八2E.小所以1的3次方根是cos^+isinr(ZwZ).由三

30=O+2E(%￡Z)0-----(A:eZ)33

角函數(shù)周期性可得，1的3次方根為：

八..?.2JT..27c1.47t..4兀1.、+人?蟲、【

w=cosO+isinO=1;w.=cos一+isin——=——十——i;w,=cos——+isin——=-------1總結(jié)合材料

°n'3322-3322

回答以下問題：

(1)將z=l+?表示成三角形式(輻角取主值)；

(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，求出1的8次方根；

(3)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是否存在滿足以下條件的集合S={q),q,%,.....,%};

⑴0任S;

(ii)任意m￡{0,123,4,5,6,7},都有eS.若存請(qǐng)確定集合s；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7T71

【答案】(1)以z=2cos—+isin-

l33J

/八八icr

(2)z.=cos—+zs.in—kit,k.=0,l,2….，7

44

(3)存在這樣的集合，S=卜旦+以「旦+&-1,至一旦T在一公

22222222

(1)

由？=1+63ci=\,b-5/3,

則r=Jl+3=2,cos^=-,sin/9=—>

22

由owo<2兀，則

所以z=2cos工+isin工；

I33j

1的三角形式：I=cos0+isin0

設(shè)z=/(cose+isin。)是1的8次方根，則:z8=r8(cos804-zsin80)=cosO+isinO,

解得：廠=1,86>=2E(RWZ),”爺=?

取2=0,1,2,…,7,得到8個(gè)不司的根:

所以勺=cos—+zsin—，左=0,1,2,...,7,

44

即1的8次方根為：z=cosO-isinO,zs—+isin—=+?

0