遼寧省重點中學(xué)協(xié)作校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.集合〃={中=八90。+45。,丘耳，N={x|x=h45。,丘Z},則下列選項正確的是（）

A.McN=0B.NjMC.MqND.M2N=R

2.達?芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中女子神秘的微笑數(shù)百年讓無數(shù)觀賞者入

迷，某愛好者對《蒙娜麗莎》的同比例影像作品進行了測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一

個圓弧，在嘴角A,8處；乍圓弧所在圓的切線，兩條切線交于點C,測得48=12cm,

/ACB=q,則《蒙娜麗莎》中女子嘴唇的長度約為（單位：cm）（）

A.12B.4兀C.8D.8兀

3.函數(shù)y=\/Jsin2x-cos2x的單調(diào)減區(qū)間是（）

,71,兀

A.kit—./ai+—,(AeZ)B.2k7t--,2kn+-，（八三z)

L63」L63

57r.x.5兀

C.2kn+—,2kit+:#cZ)D.kit+-,KTl+--，化ez)

_3rL36J

4.已知非零向量否滿足坂=（5,0）,若則;;在右方向上的投影的數(shù)量為（)

A.5B.1C.(5,0)D.(1,0)

5.已知〃=吐遜!，6=廣嗎:,C=2COS2340-1，則下列選項正確的是()

V21-tan190

A.a>c>bB.c>a>hC.a>b>cD.b>a>c

6.“欲窮千里目，更上一層樓''出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟

市，該樓有三層，前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛塞在此停留，故有此名.與黃鶴樓、

岳陽樓、滕土閣齊名，是中國古代四大名樓之一.下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客

（身高忽略不計）從地面D點看樓頂點A的仰角為30。，沿直線前進8U米到達E點，此時看

試卷第1頁，共4頁

點C的仰角為45。，若4。=3力。，則樓高44約為（）

（6*1.732,結(jié)果保留2位小數(shù)）

C.84.32米D.80.56米

7.如圖，點。在以為直徑的圓上，其中48=10,過A向點C處的切線作垂線，垂足為

P，則沅/方的最大值是（）

C.25D.36

8.已知Ov/C'l',0<?<y,且cosa=gsin(a+")=地，則tan/?=(

)

14

A6C.竽或石D.S

3

二、多選題

9.已知向量。=（1,6）,S=（costz,sincz）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若;〃力，則tana=V5B.￡石最大值為石

C.若[J.幾則tana=-弓D.若￡與坂的夾角為。，則歸一可=3

10.在V//6C中，角A、8、C的對邊分別為“、b、c,下列說法正確的是（）

A.若/=：，。=孤〃=8,則V48C有兩個解

B.若麗.前＜0，則V48C是銳角三角形

C.若V48C是銳角三角形，則sin力〉cos8

D.S2bcosB=acosC+ccosA,則8=]

11.下列說法正確的有（）

試卷第2頁，共4頁

A.tan2000+tan400-x/5tan(-l60°)tan40°=->/3

「J(冗)2e.(5nc、17

B.已知cos—+a=-,則sin—+2a=---

16J5\6)25

C.sin50°(l+x5-tanl0<>)=l

D.在VABC,角A.,B,C的■邊分別為a,b,c,若tanJtan5>1,則tan4tan5tanC>1

三、填空題

12.求值cos945。+sin30()0=

13.設(shè)向量b,"滿足M=W=I,ah=o^(ci-c,b-c^=^,則卜|的最大值為

夕)1>0,陣,

14.已知函數(shù)/(x)=cos(/m+工=一左是函數(shù)/("的一個零點，x=?是

08

函數(shù)/(X)的一?條對稱軸,上單調(diào)，則啰的最大值是,

四、解答題

15.已知向量；=(2,3),7(〃?,2),c=(-l,2),且(2lE)_L).

⑴求實數(shù)機的值；

(2)求恢+5-工；

⑶求向量-與坂的夾角仇

16.已知函數(shù)/(x)=/siii(@.1+8)(力>0,/>0,0<8<兀|的圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

⑵求函數(shù)/(x)在［0,2兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶求函數(shù)g(x)=/2(x)-/(x)在區(qū)間上的值域.

_66

17.已知V/8C為銳角三角形，角力，B,。所對邊分別為a,b,c,V/18C滿足:

試卷第3頁，共4頁

cos2B+cos2C+sin5sinC<1+cos2A

(1)求角力的取值范圍；

(2)當角力取最大值時，若AB=6,求V48C面積的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(工)=2\/1邪1姐(：0531-2$山：:姐+1,0工0

⑴若/(X)K/(X)W/(X2),k—X21mto=：,求函數(shù)/(X)的解析式及對稱軸;

(2)若69=1,<ex<7t,/f—+—=—2、,且，求sina的值；

61122J3

(3)已知0</<5,函數(shù)/卜)的圖象向右平移￡個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)g(x)

的圖象，X是g(x)一個零點，當粵］時，方程g(x)-4=0恰有三個不相等的實

數(shù)根怎、/、毛(王<X3),求實數(shù)。的取值范圍以及芭+2工2+芻的值.

19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬提出的一個幾何問題.該問題是：“在一個三角

形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出

了解答：當\/月8。的三個內(nèi)角均小于120。時，滿足乙4。4=/80。=/。。4=120。的點0即

為費馬點；當V力8。有一個內(nèi)角大于或等于120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.利用以上

知識解決下面問題：

(1)若V/8C是邊長為3的等邊三角形，求該三角形的費馬點O到各邊的距離之和；

(2)V48c的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且6=八m8,點P為V48C的費馬

點.

⑴若be=4百，求莎?麗+而?正+正歷;

PBPC

）求同2的最大值.

試卷第4頁，共4頁

《遼寧省重點中學(xué)協(xié)作校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案CBDADBCDACACD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】易知”.卜卜?（2人l）45?eZ},即可判斷.

【詳解】有已知A/={x|x=上90。+45。,%eZ}={鵬x=（2左+1）45。，丘彳，

則M旦N,

故選：C.

2.B

【分析】設(shè)圓弧的圓心為O,根據(jù)切線性質(zhì)可知乙4。8=^,進而確定半徑與弧長.

【詳解】

設(shè)圓弧的圓心為O，

則易知/。力。=/。8。=三，

XZJCT=y,

則ZAOB=1,

即Y404為正三角形，

所以半徑，，=。4=48=12,

則弧長為/=+=4兀，

故選：B.

3.D

【分析】由輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷選項正誤;

答案第1頁，共15頁

【詳解】=V3sin2x-cos2x=2sin2x—,因?=5畝工在2A-7T+y,2A：7l+^,(AeZ)上單

k6J

調(diào)遞減，則2x-?e2E+g,2E+乎,(『eZ),

62222

貝ijxwkn+—,k7i+—,(^eZ).

36J

故選：D

4.A

【分析】利用向量垂直時數(shù)量積為0,可求得￡7=25,進而可求得投影的數(shù)量.

【詳解】因為否=(5,0),所以忸卜/^萬二5,

因為可得1/=(),所以"4=25，

所以-在坂方向上的投影的數(shù)量為慟=行=5.

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較大小.

【詳解】化簡可得“=J"c；s66。=sin33。,由30。<33。<90。，則$訪30。<5皿33。<5m90。，

即;<a<l；

,1+tan190tan450+tan190”,

b=--------=---------------=tan6^>tan49=1,

1-tan19°1-tan45°tan19°

c=2cos234°-1=cos68°?由60°<68°<90°,則cos60°>cos68°>cos90°,即0<e<,，

2

所以c<a<6,

故選：D.

6.B

【分析】設(shè)/。=人，分別在△/IN。與△C6E中利用正弦定理，列方程，解方程即可.

【詳解】由已知設(shè)4C=x,則8C=3x,AB=4x,

在△初。中'由正弦定理得而集

即切=鬻"=4底'

BE

乂在△C8E中，由正弦定理得

sinZ.BECsinNBCE

答案第2頁，共15頁

口nclsin45°.

BpBE=DC=3x,

sin45°

則OE=4O_4E=4>QX_3X=（4X/5-3）x=80,

故選：B.

7.C

【分析】利用轉(zhuǎn)化法求得數(shù)量積，即可得最值.

【詳解】

如圖所示，易知4C_L8C,AP1PC,OC1PC,

過點A作力。工0C于點Q,則四邊形力QC0為矩形，

則

記方=祝?停+刀)=(萬+珂?蘇+衣?(就+⑻=_|研+圈2

=|阿、匹上時j—加j,

又口*[0,5],西=5

所以正?麗二國卜的？6[0,25],

即急屈的最大值為25,

故選：C.

8.D

【分析】利用同角的正余弦的平方關(guān)系，求得sina,cos(a+/?),進而求得tana,tan(a+￡),

進而利用兩角差的正切公式可求tan尸.

【詳解】因為cosa=L，0＜。＜三，所以.。="^京=速，所以tana=空區(qū)=4百,

727cosa

因為0＜6＜色，0＜a＜-,所以。＜。+/?＜兀，

22

又sin(a+Q)=地，所以sin(a+〃)＜sina,所以5＜°+/?＜兀，

答案第3頁，共15頁

所以cos(a+/?)=—yji—sin2(a+/?)=——,所以tan(or+/?)=—,

5百4h

所以3"=tan[(a+￡)-a]」an(a+Q二tanaJ不二百

LI?」i+tan(a+/7)tana「逆乂4石

故選：D.

9.AC

【分析】根據(jù)向量的坐標運算及三角恒等變換化簡，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判斷各選項.

【詳解】由已知向量不=(1,6),b=(cos?,siim),

A選項：若a〃b，則Ixsina-6xcosa=0,解得tana=>/5，A選項正確：

B選項：小5=cosa+\/Jsina=2sin(a+E,所以￡.石的最大值為2,B選項錯誤;

C選項：由aJL》,則acusa+萬點”a=0,解得1訓(xùn)(/=-^^,C選項正確；

D選項：由￡與右的夾角為方，且同=2,刊=1,則Z%=2xlx8S1=l,

\a-b\=J(”盯=\la2+b2-Jib=g1-2=M,

D選項錯誤；

故選：AC.

1().ACD

【分析】對于A,由余弦定理可得c的可能情況，據(jù)此可判斷解的個數(shù)；對于B,由數(shù)量積

運算律可得8為銳角，據(jù)此可判斷選項正誤；對于C,由誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)單調(diào)性可判斷

選項正誤；對于D,由正弦定理邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦公式可判斷選項正誤.

【詳解】對于A,由余弦定理，672=Z>2+c2-26ccos-=>48=64+c2-8V2c=>

4

。2-8五c+】6=0，則c=4五+4或c=4及-4，經(jīng)驗證均滿足三角形三邊關(guān)系，則三角形

有兩解，故A正確；

對于B,在?脛<0=-而?脛=-|/，網(wǎng)cos"<0=cos8>(,則8為銳角，但題目條

件不足，無法判斷其他角的情況，故B錯誤；

對于C,因V/18C是銳角三角形,則4+4＞色=力＞￡-8,

22

因正弦函數(shù)在(。目上單調(diào)遞增,71

A,--Be0,-,

22)

\1)2

答案第4頁，共15頁

則sin力〉sind-B)=cos8,故C正確:

對于D,由正弦定理邊角互化可得

2sin5cosB=sin/IcosC+sinCeosA=sin(A+C)=sinB=>cosB=

則8=],故D正確.

故選：ACD

11.BCD

【分析】根據(jù)三角恒等變換分別化簡判斷即可.

【詳解】A選項：由誘導(dǎo)公式可知tan200o=tan(-160o)=tan20。,

_/八門/“c"八tan200+tan40°rr

又tan600=tan(20+40)=--------------------------=V3,

''1-tan20°tan40°

即tan200+tan40°=6-A^tan200-tan40°,

tan200°+tan40°+x§^tan(-160°)tan400=tan20o+tan40°+>ftan200-tan40=后,

A選項錯誤;

B選項：由已知COS(E+Q2

5

傳+勿卜in2g71t_n_7T

則sin+a+—=cos2—+a=2cos=B選項正確;

216

C選項:

\/3sinl00+cosl00

sin50°(l+\5tanl0°j=sin50o

cos10°

二.5。。.辿”迎包2"颯竺需C選項正確;

cos10°cos10°cos10°

D選項：由已知在V48ctbtanC=tanFTT-(J+Z?)1=-tan(A+B)=—⑶1.1+tanB

L'、J1-tan//tanB

又設(shè)tan,4tan8=A>1,則在V'/AC中，tan>0,tan>0,

目f以tan彳+tanB>2-7tanAtanB=2>]~k>2>

,門八，門tan/+tanB2=2,占卜1，

tanAtanAtanC=tanJtan/?--------------------

tanJtanB-1k-1

D選項正確;

故選：BCD.

答案第5頁，共15頁

]oV2+G

2

【分析】利用誘導(dǎo)公式化筒.

【詳解】由誘導(dǎo)公式可知

cos9450+sin300°=cos(10x90°+45°)+sin(3x90°+30°)=-cos450-cos300

V2\/3>J2+S

=---------=---------9

222

故答案為：-叵匚叵.

2

A/2+A/6

1Q3.-------;

2

【分析】如圖，設(shè)$=1湍)笳二，由題可得展終點C所在圖形，據(jù)此可得答案.

【詳解】如圖，設(shè)$=瑞=力關(guān)"，由題可得//。8=今，/8=0，

V2_s/6

取力5中點為。，過。做力8垂線，在垂線上取點E,F,使DE=DF=

從而可使乙4匹=//128=120",再以￡,尸為圓心，力￡=力廣=四為半徑作圓,

3

則當一點G分別在兩圓優(yōu)弧薪上時，4G8=60°.

注意至1工一"=25-"=而，則不一2萬一1=N4C'3,即之終點。在兩圓優(yōu)弧罰上.

由圖可得，當C在圓E優(yōu)弧a上，且C,E,O三點共線時同最大.

hllll-l/AcmcnRR五41+\/6

貝IJ|c|4AE+ED+OD---1---+=--------.

113622

故答案為：叵電

2

14.14

【分析】根據(jù)函數(shù)零點與對稱軸可確定(2女+1)5二；,即3=必+2,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

答案第6頁，共15頁

可得最值.

【詳解】由已知X=-9是函數(shù)/(X)的一個零點，x=9是函數(shù)/(6的一條對稱軸,

OO

則(24+即(2八1吟二；,即/=4k+2,P,

又函數(shù)/'(X)在區(qū)間傳，外上單調(diào)，

則四一四4二=巴，即e?20,

452<y

9

所以勿=4%+2工20,解得且左wZ,

當左=4,即/=18時，/(x)=cos(18x+°),

JI9

此時18?一+e=〃?不，meZ,解得Q=—it+mn,weZ,

84

又MK5,即夕=_?,

此時/(x)=cos(18x_j),

當xe佶，孔則即9第號),函數(shù)不單調(diào);

<54)41204J

當￡=3,即/=14時，/(x)=cos(14x+°),

7

此時14一+0=小;r,meZ,解得°=一一Tt+mil,機eZ,

84

又則吟,即t，

此時/(x)=cos(14x+：,

當XW住，則14X+3缺，塔,函數(shù)單調(diào),滿足題意；

154)4V204J

綜上所述3的最大值為14,

故答案為：14.

15.(1)-4

⑵而

(或九一arccos也^)

(3)。=arccos

65

【分析】(1)利用向量的坐標運算即可求解:

(2)利用向量的坐標運算求得垢+坂-2的坐標;

答案第7頁，共15頁

（3）利用向量的夾角的坐標運算公式可求得cos%B,進而可求夾角.

【詳解】（1）由題意可知，2。一石=（4,6）-（“2）=（4-陽,4）,

Xc=（-I,2）,（2G—B）_L干可得（2之一3＞云=〃?-4+8=0,

解得加=-4.

（2）由（1）可知B=（T2）,

可得2萬+5-1=(4,6)+(-4,2)-(一1,2)=86),

因此恢+5/=廬"=歷；

(3)易知QB=2m+6=-8+6=-2

同=5/2?+32-V13

|^|=7(-4)2+22=2^

一rHb-2\/65-

8叫"=麗=兩T—而

又2,5G[0,TT],可得萬,彼=arccos[一^^)=冗一arccos

所以向量Z與B的夾角

0=arccos

65

16.(l)/(x)=2sinl2x+—

I3

⑵玲詈］'177r237r

STr

（3代二

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)最值與周期，再代入點坐標，可得函數(shù)解析式;

（2）利用整體代入法可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間;

（3）可得/（'）在-會［上的值域，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得值域.

【詳解】（1）由圖象可知力=2,

即嘴…

K-=--

4126

答案第8頁，共15頁

又切〉0,所以0=2；

所以/(x)=2sin(2x+Q),

nA.(7i]

又/--=2sin一工+e=2,

12yz\6/

解得。=笄+2版，keZ,

271

又。<。<兀，貝ij8=3-,

所以/(x)=2sin(2x+g.

(2)令一四+2EW2x+44'+2%幾，keZ,

232

解得----Fkit<x<----Fkit,keZ,

1212

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為卡+機蘭+阮，keZ,

又xe[0,2句,

所以函數(shù)/'(X)在[0,2可上的單調(diào)遞增區(qū)間為蘇詈和詈昔：

(3)當xw?則2x+—G"九,

66」3|_3

即sin(2x+ge[0,1]

設(shè)i=/(x)=2sin(2x+gw[0,2],

則g(x)=/2(x)_/(x)=1T=/<0,2],

\乙)一

所以當"g時，g(x)取得最小值為-：；

當Z=2時，g(x)取得最大值為2,

故g(x)在卜?』上的值域為「一：，2.

66J4

17.⑴由

⑵(哈乎

【分析】(1)利用正弦定理角化邊可配湊得到cos/的取值范圍，根據(jù)為銳角三角形可求得

的取值范圍：

答案第9頁，共15頁

⑵法一：由正弦定理可得心察進而黑'轉(zhuǎn)化為。

13

的函數(shù)，求得C的范圍，可求面積的范圍.法二：S=-bcsinA=-bf利用余弦定理，結(jié)合

24

銳角三角形求得b的范圍，可求面積的范圍.

【詳解】（1）由題意知

COS2B+cos2C+sin8sinC41+cos2A得sin'AsiirB+sin2C-sin^sinC，

222222

由正弦定理可得：a^h+c-hc,^b+c-a>bc，

2bc2

又力e，所以力的取值范圍為。譚71；

3

(2)由(1)知:p

BC二AC.

"r十"…rmBCACAB

法一、由正弦7t理忑7=痛=/記得；sinBsinC，

2

所以/C=?sin8

sinC

.’3sinB?3/3s\nB

S=-AB-/I=-x>/3x5/3x~；—xsinA=-x------x—=>-------■------>

22sinC2sinC24sinC

4=1則8號-C,

又4+8+。=兀,

36件J

「3x/3sinB

3=------?--------

4sinC4sinC

3Gy^cosC+|sinC

3國V31

4sinC42tanC6'

因為V/18C為銳角三角形"=g-C

八2兀~71

0<B<—0<------C<—

23乃「兀

：.\,即《，解得:—<c<—.

62

0<C<-0<C<-

22

石11r

則tanC>>—<+—<2,

所以

（3石3⑸

所以V45C的面積的取值范圍為

答案第10頁，共15頁

法二、求的范圍

S=—bcsinA=-1>/3sin—=—b,a2=h2+c2-2bccos—=b~+3

22343

因為V45c為銳角三角形，

b2<a2+c2b2<b2+3-y/3b+3

所以

c2<a2+h23<〃+3-麻+〃

解得巫<s工（巫,

2842

所以VABC的面枳的取值范圍為（匯，野

18.（1）答案見解析:

（2/拉一行

6

1171

~9~

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)周期性可得。=±1，分類討論，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)利用整體法求解即

可;

（2）利用已知可求得sin（a+g）=-等，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得

cos(a+q)=

—?進而利用sma=sm。+三-三可求值;

（3）根據(jù)圖象變換可得g（x）=2sin（2"x+Bp）+1,再根據(jù)函數(shù)零點可得3=3,進而

結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析運算.

【詳解】（1）函數(shù)

/（x）=2\/3sin69xcos（yx-2sin2cox+\=Csin2<wx+cos2<w;=2sin（26yx+弓）,/w（）.

則/（x）的最小正周期了二國，

因為/（』）W/（X）W/（X2），k.-^L=p所以函數(shù)〃力的最小正周期7=兀，

_2it

所以,=由二兀，解得切=±1

|2例

①當/=1時，/（x）=2sin（2x+都令2》+弓=>左兀（丘2）,解得x=（旌Z）,

所以函數(shù)/'（X）的圖象的對稱軸為“尹領(lǐng)我Z）

答案第11頁，共15頁

②當/=7時，/(.r)=2sin-2x4-^,令—2x+巴=2+而(A”Z),解.得x=(kwZ),

6/6262

所以函數(shù)/'（X）的圖象的對稱軸為工=-2-弓（左ez）：

⑵當口=1,/(x)=2sin(2t+F)

由/f—+-l=2sinf?+-1=--,Msinfa+

1122)13yl33)3

,5兀Rtll7兀兀4兀r/u(n\L,2(兀1V6

由一<a<it則一<a+—<一,可得cosa+-=-</!-sin~a+—=----，

6t633131V13J3

所以sina=sina+—~—|=sina+—cos-cosa+—sin71

(33jI3j3I3,13-

61(yfb]63人-百

--X--------X----=--------

32\3/26

(3)由題意可知g(x)=2sin2Gx++1,

k63J

因為x=g是g(x)的一個零點，即g仔)=2sin(§3+m—gJ|+l=0

所以

3\3y\363>

n

sin—co+

13

所以=1+2尢兀(匕€2)或-0+—=與^+242>他GZ),

故口=3+64(自eZ)或ty=5+6七(42wZ),又0</<5,a)=5+6k2(k2€Z)(舍)，

故3=3,則g(x)=2sin6*-；+1,

I6/

當腎xW學(xué)時，-學(xué)42兀，設(shè)，=6工-學(xué)，則$4,2九)，貝1」原式可化為

936666Vo7

//(z)=2sin/+l,

即y=〃（/）-l=2sinf的圖象在區(qū)間-奈2兀內(nèi)與水平直線丁=。-1的圖象有3個不同的交

點，

作出y=2sin/在1-2,2/上的圖象如下圖所示，

.0_

所以當一1。-1K0時，即OW〃W1,歹=2sin/與》=。-1恰有3個不同的交點，故實數(shù)。的

取值范圍為[0,1],

設(shè)y=2sin/與y=〃-I的3個不同的交點分別為。、4、/3&</2<，3），則4+，2=冗、/2+/3=兀，

答案第12頁，共15頁

6北-21ijr

十4幾，整理得％+2看+%=9

6,

(2)(i)-4；(ii)-2-V3

【分析】（1）根據(jù)費馬點的定義可知點O位置，即可得解:

⑵（i）設(shè)網(wǎng)=x,|附=y,