黑龍江省牡丹江市名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.己知空間向量。=（X,1,1）,?二（2,2,—1）,若a_Lb，則4=（）

A.—1B.1C.——D.；

2.設(shè)G，七是空間兩個不共線的非零向量，已知A8=2e；+h；，

BC=q+%2，DC=2e]-e2?且A、B、

。三點共線，則實數(shù)A的值為（）

A.-2B.-4C.-8D.8

3.已知數(shù)據(jù)87,89,90,90,91,92,93,94,則（）

A.極差為6B,中位數(shù)為90

C.第70%分位數(shù)為92D.平均數(shù)為90.25

4.某校選修輪滑課程的學(xué)生中，一年級有20人，二年級有30人，三年級有20人.現(xiàn)用比例分層抽樣的方

法在這70名學(xué)生中抽取一個樣本，已知在一年級的學(xué)生中抽取了4人，則這個樣本中共有（）人.

A.13B.14C.15D.16

5.已知直三棱柱A8C-AMG，若AB=BC=BB_ABA.BC,。是棱CG中點，則直線AC與直線優(yōu)。所

A.且B.正C.顯D.巫

3326

6.已知某運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為80%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計某運(yùn)動員射擊4次，至少擊中

3次的概率.先由計算器給出。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,

7,8,9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

7527029371409857034743738636

6947761042811417469803716233

261680456011366195977424

根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率為()

A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75

7.有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍(lán)色，3個紅色.采用放回方式從中隨機(jī)取2次球，每次

取I個球，甲表示事件“第一次取紅球“，乙表示事件”第二次取藍(lán)球“，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”,

丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球“，則()

A.甲與乙相互獨(dú)立B.甲與丙相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.乙與丁相互獨(dú)立

8.投壺是從先秦延續(xù)至清末的傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在戰(zhàn)國時期較為盛行，投壺時，第一箭入壺(即投中)

稱為“有初”，投中且投入壺耳稱為“貫耳”.假設(shè)投壺參與者甲每次投壺得“貫耳”的概率為，，每次投中的概

6

率為g,若甲投壺3次，則甲“有初”，“貫耳”均投得的概率為()

人47廠5卜45

A?B.-C.—D.-----

216936216

二、多選題

9.下列說法不正確的是()

1一4

A.已知事件A,8互斥，它們都不發(fā)生的概率為且P(A)=2P(8),則。04)=大

69

B.若A,8為兩個事件，貝iJP(A+8)=P(A)+P(8)-P(AB)

C.若事件4,B,。兩兩互斥，則尸(A)+P(8)+P(C)=1

D.若事件A,B滿足P(A)+尸(8)=1,則A與8相互對立

10.下列說法正確的是()

A.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)小丁?中位數(shù)

B.一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都減去同一個非零常數(shù)小則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，方差改變

C.有A、B、C三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的人個體數(shù)為9,則樣本容量為18

D.若樣本數(shù)據(jù)占，…，%的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2芭-1,2X2-1,25-1的標(biāo)準(zhǔn)差為16

11.如圖：在棱長為1的正方體ABCQ-ABCR中，尸、M分別為棱AA、上的點(不與端點重合)，

點、N為正方形BCC國內(nèi)一點(不在其邊上)，且P、A、N、〃共面，D、C；=0D\M,

=則下列說法正確的是：().

MG

AB

A.若4=2,則直線AM與平面的夾角的正切值為氈

5

12

B.若a=4,22+〃=2,2+4〃=4,則夕=半

C.若夕=2,忸網(wǎng)有最小值，則。的取值范圍是：［與^+8

Q

D.若2+〃=1,則三棱錐N-4/G外接球表面積的最小值為三兀

二、填空題

12.若」=(T,2D,1=(1,3,-2),則(〃+〃)?(〃—。)=.

13.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5,方差為3,現(xiàn)洋本加入新數(shù)據(jù)3,5,7,則此時方差

14.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為!■；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為;.假

32

定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下

是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為.

四、解答題

15.如圖，長方體ABC。-人用GR底面是邊長為2的正方形，高為4,￡為線段4B的中點，”為線段CA

的中點.

(2)求直線E/與平面A。。所成角的正弦值.

(3)求直線A8到平面\DC的距離.

16.某商場隨機(jī)抽取了100名員工的月銷售額工(單位：千元)，將x的所有取值分成[5,10),[10,15),[15,20),

[20,25),[25,30]五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中人=2〃.

⑴求。，〃的值；

(2)設(shè)這100名員工月銷售額的第75百分位數(shù)為P.為調(diào)動員工的積極性，該商場基于每位員工的月銷售額

x制定如下獎勵方案：當(dāng)某員工的月銷售額x不足5千元時，不予獎勵；當(dāng)工目5,〃-7)時，其月獎勵金額

為。.3千元；當(dāng)xw[p-7,〃+3)時，其月獎勵金額為0.8千元；當(dāng)％不低于(〃+3)時，其月獎勵金額為1.1

千元.根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本頻率近似概率，估計上述獎勵方案下該商場一名員工的月獎勵金額的

平均值.

17.如圖，在平行六面體/WC。—A4G2中，AB=AD=AA.=I,^AB=ZA,AD=^BAD=60,設(shè)向量

AB=a，AD=b?=c.

(1)用a、b、c表不向量A。，并求A4；

(2)證明：直線AC平面

18.隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利

地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在每一次報名中，每個學(xué)員有5次參加

科目二考試的機(jī)會(這5次考試機(jī)會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試，或5次

都沒有通過，則需要重新報名)，具中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒后通過，則以后每次參加

科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考

32

試，每次通過的概率均為二，女性學(xué)員參加科目二考試，每次逋過的概率均為彳.現(xiàn)有一對夫妻同時報名參

加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機(jī)會

為止.

(D設(shè)這對夫妻中，“丈夫在科目二考試中第i次通過”記為事件4(7=1,2,3,4,5),事件“丈夫參加科目二考

試不需要交補(bǔ)考費(fèi)”，試用4或4。=123,4.5)的運(yùn)算表示A,并求P(A)的大??；

⑵求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；

(3)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為20()元的概率.

19.如圖1,在平面五邊形ABC"中，ZEAC=ZDCA=^,AE=4,CD=2,AB=BC=AC=2g,F、H

分別為AO的中點，將VABC沿AC翻折，使點3到點P的位置，如圖2.

⑴若叨_L平面ACOE.

(i)證明：b_LPA：

(ii)三棱錐P-ACO的各頂點都在球。上，M為球。球面上的動點，求的取值范圍.

(2)在翻折的過程中，設(shè)平面PCD與平面外￡的交線為/,求二面角4-/-C的最小值.

題號12345678910

答案CCCBCDAACDCD

題號11

答案ABD

1.c

利用空間向量垂直的坐標(biāo)形式可取參數(shù)的值.

【詳解】因為所以4?6=2x+2-1=0，可得X=-],

故選：C.

2.C

利用向量的線性運(yùn)算表示八。，根據(jù)A、B、。三點共線可得八B=/l人力，建立等量關(guān)系可得％的值.

【詳解】VAB=2e1+ke2,BC=q+3g,DC=2e,-e2f

.?.AD=AB+BC-DC=(2q+3)+卜+3訃(2q-e2]=q+(A+4)/,

VA>B、。三點共線,

/.32eR,使得=

B|J2e1+ke2=2q+(&+4)/]=之外+4(氏+4)/,

/.2=2,4(2+4)=々,解得％=一8.

故選：C.

3.C

根據(jù)一組數(shù)據(jù)的極差，平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)的定義依次求解即可.

【詳解】由題意可知：數(shù)據(jù)的極差為：94-87=7,故A錯誤；

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：匕4=90.5,故B錯誤；

因為8x70%=5.6,故數(shù)據(jù)的第70%分位數(shù)為第6個數(shù)92,故C正確：

因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：90+1(-3-1+0+0+1+2+3+4)=90.75,故D錯誤.

O

故選:c

4.B

利用分層抽樣的計算方法計算.

u4

【詳解】設(shè)抽取樣本人數(shù)為〃人，所以===="=14.

故選：B

5.C

G為3片中點，連接CGAG易得CO&G為平行四邊形，則CG//q。，進(jìn)而確定直線AC與直線4。所成角

的平面角，應(yīng)用余弦定理求其余弦值，繼而求得其正切值.

【詳解】解：若G為BBT中點、,連接CGAG,又。是棱CG中點，

所以，在直三棱柱A8C-AmG中，CD//BC且CD=BG，即880為平行四邊形,

所以CG//BQ,則直線AC與直線片。所成角即為ZACG,

若AB=BC=BB、=2,則CG=AG=逐，AC=20，

222

所以cos4CG=AC+GC-AG或國小旦二亞

2ACGC2x272x75—5

所以lanZACG=—.

2

故選：C.

6.D

由題設(shè)模擬數(shù)據(jù)確定擊中目標(biāo)至少3次的隨機(jī)數(shù)組，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.

【詳解】在20組隨機(jī)數(shù)中含｛2,3,4,5,6,7,8,9｝中的數(shù)至少3個（含3個或4個）,

共有15組，即模擬結(jié)果中射擊4次至少擊中3次的頻率為葛=0.75.

據(jù)此估計該運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率為0.75.

故選：D.

7.A

根據(jù)給定條件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互獨(dú)立事件的定義判斷作答.

3121

【詳解】依題意，事件甲的概率4=5二事件乙的概率呂=：=:,有放回取球兩次的試驗的基本事件

62□3

總數(shù)是6=36?

顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的球顏色相同含有的基本事件數(shù)為/+22+32=14,

事件丙的概率"1-粵14=191,事件丁的概率1"4?=7白，

36183618

對于A,事件甲與乙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為6,其概率6=二二q=小鳥，甲與乙相互獨(dú)立，A正確;

366

91

對于B，事件甲與丙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為9,其概率方=力=:。牛鳥，甲與丙不獨(dú)立，B錯誤；

364

Qo

對于C,事件乙與丙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為8,其概率6=白=:W八/，乙與丙不獨(dú)立，C錯誤；

369

41

對于D,事件乙與丁同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為4,其概率工月?乙，乙與丁不獨(dú)立，D錯誤.

369

故選：A

8.A

正確理解題意，分第一次投得“貫甲'，第一次投壺投中且未投得“貫耳”兩種情況計算.

【詳解】若甲第一次投壺投得“貫耳”，即“有初"，"貫耳''均投得的概率為:

0

若甲第一次投壺投中且未投得“貫耳”，則甲在后面2次投壺中至少要投中1次“貫耳”，概率為：

_l_II_47

所以所求概率為:6+216-216

故選：A

9.CD

根據(jù)互斥事件、對立事件的概念進(jìn)行判斷.

【詳解】對A,P(A+B)=P(A)+P(4)=1—，=4,又P(A)=2P(B),所以P(A)=:，貝1」2加=小，正確;

6699

對B,若A,6為兩個事件，貝Ijn/十B)二"(A)十—正確：

對C,事件4,8,C兩兩互斥，則尸(A+3+C)=aA)+P(3)+P(C),并不能說明P(A)+P(8)+P(C)=1,

錯誤：

對D,若事件A,B滿足P(A)+P拔)=1,且事件A,3互斥，則A與3相互對立，錯誤.

故選：CD

10.CD

根據(jù)分層抽樣的概念以及平均數(shù)、中位數(shù)、方差公式計算判斷.

【洋解】對A,直方圖如下：

由于是“右拖”，最高峰偏左，則中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)則靠近中點處，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，錯誤;

對B,設(shè)這組數(shù)據(jù)為天，與，…，匕，平均數(shù)為M+???+]”,方差為-,

nN=-------

所以每個數(shù)都減去同一個非零常數(shù)小平均數(shù)為.一〃+"2_-+…+.—J-―

n

方差為A,，所以平均數(shù)改變，方差不變，錯誤；

—N

n

9

對C,有A、B、。三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的人個體數(shù)為9,則樣本容量為3=18,

6

正確；

對D,若樣本數(shù)據(jù)巧，與，…，%的標(biāo)準(zhǔn)差為8,方差為64,則數(shù)據(jù)2%-1,2占-1,…，〃。-1的方差

為2?x64=256,標(biāo)準(zhǔn)差為16,正確.

故選：CD

11.ABD

根據(jù)線面角得出知AM與平面A8C。的夾角為NMA。計算正切判斷A,先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)直線得出

心：），=圣*--\/：），=:"-4由三點共線的性質(zhì)交點為（9；）進(jìn)而求出/?=?判斷比在乃給定時過定

a-\a-\33（77）7

點（40,臨界時/々RG=90。及臨界時BQcCR=7\則判斷C;應(yīng)用截面再由相似三角形的性質(zhì)時

等面積法得出選項D.

【詳解】對于A：若"2,M為。G中點，

過歷作MQ1.OC,連AQ,可知。為CO中點,

八”c_MQ_1_2石

且AM與平面A8C。的夾角為NM4Q,則1皿/做久?=而二方"飛一,

2

所以直線4M與平面A8CD的夾角的正切值為名叵，故A正確;

5

對于B：由條件：叫哈,

如圖：延長PM交4。的延長線于J,過/作J5//APjScCq,則NeRS,

1+小_g

aaa'

故景—，

若a=4,則/：y=gx4①,

由三點共線的性質(zhì):

2/1+〃=2的點在直線/,:y=--x+l±,

4+44=4的點在直線l2:y=-4x-4J-,

所以交點為這就是N點，故將該點代入①式得夕=1:2,故B正確.

X**Z/7

G

對于C）'=旨x-長在"給定時過定點（女尸），臨界時///?0=90?！甭试贉p小”增大）,

則易知存在N2CJ且N/8C使純NG=90°,即最小值存在，

而a減小時不存在N點，設(shè)臨界時4GCCR=T,

3-VT

則：TR=TB[=1^,6=—，故RC=^^,Rw]

121222

C錯誤.

對干D：若/1+〃=1,故N在線段印7上（不與端點重合），

對于V色2c（0,1）,作圖可知：G與％°的交點橫坐標(biāo)落在內(nèi),

設(shè)。4n平面=H為VA4G的外心，

如平面圖：由相似三角形的性質(zhì)可知:N為c片中點時，AN工BD,

隨N點由C點向上移動，其A、N中垂線斜率增大且小于BQ,

由相似三角形的性質(zhì):AN中點一定在修。上方，

故AN中垂線與片。交點心(即外接球球心)在射線。線上，外接球半徑/?最小，即最小,

此時ALJ.8N，用等面積法可算/?=邁，此時:S=47rR2=g兀.

33

故選：ABD.

12.-8

根據(jù)空間向最的加法、減法、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行計算.

【詳解】由-—1),—2),所以。+〃=(0,5,-3),〃一匕二(一2,-1,1)；

所以3+b)?(a_b)=0x(_2)+5x(_l)+(_3)x]=_8.

故答案為：-8

13.2.9

利用平均數(shù)和方差的定義直接求解即可.

【詳解】設(shè)這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為王,x7,

則*+占；+七=5,所以玉+毛++3=35.

；[($一5)2+&-5『+…+(與-5)[=3,所以(為-5)2+(々_寸++(3-5)2=21.

當(dāng)加入新數(shù)據(jù)3,5,7后，

F…1-X+X,++x-j+3+5+7

平均數(shù)=」——

XTo-

2222222

TJ^S=—[(X,-5)+(x2-5)+4-(x7-5)4-(3-5)+(5-5)+(7-5)"|=—[21+4+0+4]=2.9.

10L-J10

故答案為：2.9.

分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：（2）第一局乙勝，第二局甲勝.分析出每局輸贏的情況,

結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】分兩種情況討論:

（1）第一局甲勝，第二局乙勝:

若第一局中執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為

若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為:，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為

1211117

所以，第一局甲勝，第二局乙勝的概率為+

23222224

（2）第一局乙勝，第二局甲勝：

I7

若第一局甲執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為：，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為工,

若第一局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為?，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為!■,

23

I?7I105

所以，第一局乙勝，第二局甲勝的概率為6二5':^^+不、弓、：=瓦.

綜上所述，甲、乙各勝一局的概率為（7+]5=￡41.

41

故答案為：—.

72

15.（1）證明見解析

（2）?

⑶逑

5

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4QRA的法向量與直線曰7的方向向量，即可得證;

（2）求出平面AOC的法向量，再由空間向量法計算可得;

（3）首先證明A8〃平面AOC，則直線A8到平面4。。的距離即為點3到平面A。。的距離，再由空間向

量法計算可得.

【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則E（2J0）,0（020）,4（2,0,4）,8（220）,

又F為線段CA的中點，所以f（1,1,2）,

所以所=（一1,0,2）,又平面A的法向量可以為〃=（。1，0），

所以所.〃=0,即M_L〃，又"。平面AOAA，所以后/〃平面AORA.

(2)由(1)可得。(0,0,0),所以QC=(0,2,0),。人=(2,0,4),

DC-m=2y=0..

設(shè)平面A。。的法向量為根=(x,yz),則，取m=(2,0,T),

[?m=2x+4z=0

EFn44

設(shè)直線即與平面AQC所成角為夕，則sine=

|EF|-|/M|-V5x>/5-5*

4

所以直線EF與平面A。。所成角的正弦值為:；

(3)因為AW/CO,44a平面A。。，COu平面A。。,

所以〃平面A。。,

所以直線48到平面A。。的距離即為點8到平面A。。的距離,

又C8=(2,0,0),

|Cfi-w|44x/s

所以點3到平面A。。的距離d=「_1=)=上區(qū),

制V55

即直線AB到平面AQC的距離為延.

5

16.(1)。=0.02,Z?=0.04

(2)0.699(T元).

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方形面積和為1并結(jié)合〃=2。即可求解；

(2)先求第75百分位數(shù)〃，然后確定獎勵方案，進(jìn)而估算出月獎勵金額的平均值.

【詳解】(1)由已知得(a+0.06+0.07+〃+0.01)x5=l,

所以。+〃=().06,又因為〃=加，

所以4=0.02,匕=0.04.

(2)由于(0.02+0.06+0.07)x5=0.75,所以員工月銷售額的第75百分位數(shù)為20,

所以，當(dāng)x?5,13)時，獎勵金額為0.3千元：

當(dāng)了413,23)時，獎勵金額為0.8千元；

當(dāng)工N23時，獎勵金額為1.1千元，

所以，該商場一位員工的月獎勵金額的平均值為：

(0.02x5+0.06x3)x0.3+(0.06x2+5x0.07+0.04x3)x0.8+(0.04x2+0.01x5)x1.1=0.699(千元).

17.(\)AiC=a+b-c,|A^|=V2

(2)證明見解析

(1)利用空間向量的基本定理與空間向量的線性運(yùn)算可得出AC關(guān)于〃、》、C?的表達(dá)式，利用空間向量數(shù)

量積的運(yùn)算可求得|AC|；

(2)利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算可得出4cA.C1BD,利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成

立.

【詳解】(1)解：AyC=AC-AAl=AB+AD-AAl=a+b-c,

由已知可得"=W=H=1,a-b=b-c=ca=xcosGO=-,

因此，1AC卜“+c)=\la-ib+C1+2a-b-2a-c-2b-c=&.

2

(2)證明：\C-BB,=(6/+Z?-C)C=?C+Z?C-C=-X2-1=0,則

DB=AB-AD=a-by\C-DB=^a-^b-(^^a-b^=a-b-?c+/?c=0,

則AtC1BD,

/BD=BD、BBIU平面因此，A。，平面B。。陽.

18.(1)A=A+AA2,P(A)=||

(2)i

(1)根據(jù)題意列出事件A="丈夫參加科目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi)“4=A+A4

根據(jù)概率計算即可求解；

(2)根據(jù)題意列出事件可能然后根據(jù)概率公式即可求解;

(3)根據(jù)題意列出事件可能然后根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】(1)這對夫妻中，“丈夫在科目二考試中第i次通過“記為事件A，P(A)=：，事件A="丈夫參加科

目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi)“A=A-AA?

則p(4)=p(A+可AJ=P(A)+P伍&)=：+*啜

37

(2)設(shè)這對夫妻中，“妻子在科目二考試中第i次通過”為事件41=123,4,5),則P(4)=jp⑻=：.

設(shè)事件8=”妻子參加科目二考試不需要交補(bǔ)考費(fèi)”，事件C=”這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不

需要交補(bǔ)考費(fèi)

則P(B)=P(g+瓦8j=P⑻+明即=；+；X；=*P(C)=P(A8)=24=]

因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率為!■;

0

(3)設(shè)事件。="丈夫參加科目二考試需交補(bǔ)考費(fèi)200元”，事件E=”妻子參加科目二考試需交補(bǔ)考費(fèi)200

元”，

事件廠=”這對夫妻在本次報名中參加科H二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元”，則

尸⑷”(稿&)十衿陪P(￡)=P(麗助g；x|吟,

P(F)=P(AE+￡)B)=—X—+—x-=A.

v7'716276499

因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率為:

19.(1)(i)證明見解析；(ii)[V2,4V2]

嗚

(1)(i)先由AE//C。等條件得出sin/C"的值，再利用三角形全等得到C/_LA。，接著因為P"_L平面

ACDE,結(jié)合線面垂直性質(zhì)與判定，證明

(ii)解法一，先找外接球球心。在PH上，用勾股定理求半徑/?,再求E。，進(jìn)而得最值與范圍.

解法二，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點坐標(biāo)，根據(jù)外接球性質(zhì)求球心。坐標(biāo)與半徑R,最后求E。得出EM

范圍.

(2)解法一：先作輔助線找二面角平面角NM/W,因必=PC,K為戶在平面ACOE射影且是MN中點,

ZMPK=ZNPK.tanAMPK=—,NMPN最小則ZMPK最小,PK最大時NMQK最小，K為AC中點

PK

時PK最大，進(jìn)而得二面角最小值.

解法二：取AC中點Q建系，求各點及向量坐標(biāo).再分別求平面尸AE和PCD法向量〃7、〃.用向量夾角公式求

cos。，根據(jù)sin?取值求cos。最大值，從而得二面角*最小值.

【詳解】（1）（i）如圖，設(shè)。尸與AO交于點G,

由題可得AE//CO,AD=y）AC2+CD2=4?

則sin/CD4=sinZDAE=—,

2

所以NCD4=/D4E=g,乂AO=A￡,所以VAOE為正三角形，

所以NEQA=NCO4=巴，乂DF、DE=CD,DG=DG，

32

故^DFG^ADCG,所以9G=CG,故C/_LAO.

因為尸HJL平面48￡,CEu平面ACDE,所以CF_LP〃，

因為尸〃CAO=",P",AOu平面PA。，

所以C/7J?平面P/V）,又A4u平面PAO,所以C/LBA.

（ii）解法一：由（i）AH=^AD=2,由題可得PH=《PA三人》=21，

AC。為直角三角形，且尸〃_1_平面ACOE,所以三棱錐P-ACO的外接球球心0在直線P"上,

設(shè)球0的半徑為R,則

如圖，連接A。，在心,49“中，即（2拉-q+22=正，

連接E。，HE,因為0"=也，HE=2

2

所以EOnJOHrEH?=J等+（2>/3）2=當(dāng)，

所以的最小值為EO-R=yfi，EM的最大值為EO+R=4夜，

故舊必的取值范圍為4忘］.

以“為坐標(biāo)原點，點所在直線為x軸，平面4COE內(nèi)過〃且與x軸垂直的直線為〉軸，“P所在直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A0,一石,0）,C（l,G，0）,明,石,0）,P（0,0,272）,耳-3,-6⑼.

設(shè)球心