山東省聊城市2024-2025學年高一下學期期末教學質量抽測

數(shù)學試題

一、單選題

1.已知點A（—l,3）,8（1,2）,則鉆=（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.(-1,2)D.(2,-1)

2.下列幾何體是棱臺的是（）

C.3-4iD.3+4i

4.若數(shù)據1,2,5,x,2,2的極差是它們眾數(shù)的2倍，則滿足條件的正整數(shù)x的個數(shù)為（)

A.2B.3C.4D.5

5.已知正四棱錐S-A3CD的所有棱長均相等，則直線SA與其它經過該四棱錐的兩個頂點的直線所成的角

不可能為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.2sin400-V3sin100=()

A.cos10°B.cos20cC.sin40°D.sin50°

7.在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CDtAP=AAB+^AD,當點?在△BCD內部運動時，丸的取值區(qū)

間為（《〃），則〃（）

8.如圖，AO是半徑為4的半圓。的直徑，點8,。在弧A/y上，若AB=BC,則四邊形8CZ)O周長的最

大值為()

C.18D.19

二、多選題

9.已知空間中三條不同的直線。，b,c和平面a,且則下列結論正確的是()

A.若a//c,則/〃/cB.若a//a,則從/a

C.若。與c相交，則b與。相交D.若。與a相交，則與a相交

10.歐拉公式eR=cosx+isinx是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為

“數(shù)學中的天橋”.依據歐拉公式，若z_ji，則()

Z-C

A.2z的虛部為1B.3

C.卜次1=1D.zO—zi+z?—/--z2O25=l

II.將函數(shù)/(.I)=sin2x+G8s2A?的圖象向左平移￡個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若

4

h(x)=f(x)g(x),<p［x)=4°,則()

g。)

A.幻與(p{x}的最小正周期相同

B."(x)與儀幻的對稱中心完全相同

C./*)與g(x)在［-不力上的值域相同

44

D.八的與g(x)的圖象在［().陽］上恰有四個交點時，機的取值范圍為［等.當)

三、填空題

12.若向量4在單位向量b上的投影向量為-八則a/=.

13.函數(shù)小)=sin［x-盍卜os(一1),xe|,n的單調遞減區(qū)間為.

2

14.已知V4BC中，C4_LCB,48=2,若將V4BC繞直線AB旋轉一周，所得幾何體的內切球半徑等于-BC,

則該內切球的表面積為

四、解答題

15.對于向量(i=(N，y),〃=(4,%)，定義運算。=(內)’2,凹蒞)，已知向量機=(1/)，〃=(-2、2),feR

(1)若〃?區(qū)＞〃=〃③〃?，求/的值;

⑵若(4/?-//)!//,求m0〃與〃2夾角的余弦值.

16.某校高一年級為了解學生近期的數(shù)學學習情況，組織了一次數(shù)學階段測試.從所有學生的數(shù)學成績中隨

機抽取400名學生的數(shù)學成績作為樣本，整理數(shù)據并分成［30,50),［50,70),［70,90),［90,110),［110,130),

(1)求。的值，并估計參加這次測試的學生數(shù)學成績的中位數(shù)(囚舍五人取整數(shù))；

⑵從所抽取的數(shù)學成績在［110,130)，口30,150］內的學生中，采用樣本量按比例分配的分層抽樣抽取〃名學

生，若這〃名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為126分，方差為50,且這〃名學生中數(shù)學成績在［130,150］內的只有

1名，其數(shù)學成績?yōu)?36分，求這〃名學生中數(shù)學成績在［110,130)內的學生數(shù)學成績的平均數(shù)與方差.

17.如圖，已知A8是圓柱下底面圓的直徑，點C是下底面圓周上異丁A,B的動點，CD,8E是圓柱的兩

條母線.

⑴證明：8c〃平面ADE；

(2)若該圓柱的側面積等于兩底面面積的和，當C為弧A3的中點時，求直線AE與平面AC。所成角的正切

值.

題號12345678910

答案1)I)B1)AACBADBCD

題號11

答案ABD

1.D

根據給定條件，利用坐標表示向量即可.

【詳解】由點A(—1,3),8(1,2),得A8=(2,-l).

故選：D

2.D

【詳解】A,C都不是由棱錐截成的不符合棱臺的定義故選項A,C不滿足題意；

8中的截面不平行于底面，不符合棱臺的定義，故選項4不滿足題意；

。符合棱臺的定義.

故選:。.

3.B

根據復數(shù)代數(shù)形式的運算法則進行計算.

【詳解】I,=(1+2i)2=]+4i2-4i=1—4+41=—3+4i.

故選：B

4.D

確定出眾數(shù)，再由已知數(shù)據中最大值與最小值的差是眾數(shù)的2倍，從而得出x的范圍及結論.

【洋解】由已知眾數(shù)是2,由于5-l=4=2x2,因此只有當1GK5即x=l,2,3,4,5時均滿足題意，共5個,

故選:D

5.A

確定直線3A與具它經過該四棱錐的兩個頂點的直線所成的角的大小，再進行判斷即可.

【詳解】如圖：

因為四棱錐S-人8C。是正四棱錐，且所有棱長均相等.

所以NSA3=60。，故C可能成立；

在,SNC中，ZASC=90°,ZS4C=45°,所以BD可能成立;

SA與其余的棱或對角線都不能成30。，故A不可能成立.

故選：A

6.A

將40。寫成30。+10。，利用兩角和的正弦公式化簡即可.

【詳解】因為2sin4()o-/sinl()o=2sin(30°+10°)-^sin10°

=2sin30°cos10。+2cos30。?sin10。-百sin10°

=cosl00+^sinl00->/3sinl00=cosl00.

故詵：A

7.C

根據向量的線性運算，確定〃力的值即可.

【詳解】如圖：

DC

^AE=-AD,過E作M//A3,交BD于點G,交BC于點F.

3

設AG=4A8+§4。，因為及G,D三點共線,所以4+耳=1=>4=--

1§,AF=^AB+-AD,因為AC=L/1B+/1O,

■32

所以C尸=囚尸一CBt=AB-AC=-AB-AD.

2

因為反￡C共線，所以CF//CB，所以(乙一

;)("對-。"V

2S

因為=+且點〃在△BCO內運動，所以點P在線段G/上，所以

36

25253

即〃=一，8=一.所以〃+/?=—+—=—.

36362

故選：C

8.B

作出輔助線，設NAO8=e,0<〃<2,表達出CN=Z)N=4sin|W—o],CM=8M=4sin2,化簡求出

2U)2

BO+CD+BC+OD=8sin-+8[l-2sin2-7T

+8,結合。"j,得到最大值.

2I2

【詳解】取8CC。的中點M,N,連接OM、ON,OB、OC,

則OM±BC,ON【CD,

因為A8=8C,所以A4=8C，ABOC=AAOB,

因為08=0C,所以NOCB=NOBC,

設ZAO8=9,0<<9<-,則N80M二一，ZCON=--0,

222

故CN-DN-4sin-°)=4cos8.CM=BM=4sin%,

故BO+CO+8C+OO=8+8sin3+8cose=8sing+8(l-2sin2?|+8

=-16sin2—+8sin—+16=-1bfsin---1+17,

22I24)

因為所以Ovgvf,0<sin—<>

22422

故當sing=!時，—16(sin2—」I+17取得最大值，最大值為17.

24I24)

C

故選：B

9.AD

利用空間中線線與線面的位置關系逐一分析各選項的正誤，可得出合適的選項.

【詳解】對A：因為。/〃_?,al1c,則b//c.故A成立;

對B：若a〃b,alia,則h//a或/?ua.故B錯誤；

對C：若人。與c相交，則人與c相交或〃與c異面，故C錯誤；

對D：若〃//〃，。與a相交，則6與a相交.故D成立.

故選：AD

10.BCD

A選項，計算出z=』+且i,得到虛部；B選項，由共擾復數(shù)的定義可知B正確；C選項,

2222

計算出z2g=(z3r=(-1戶5=-1,C正確；D選項，通過計算可得z"(〃cN)的一個周期為6,且

z0_z+z2_z3+z4_z5=0t通過周期可得答案.

【詳解】A選項，因為z=a=cos工+is加四二工+立i,所以2z=1-Gi,故2z虛部為-6,A錯誤：

3322

B選項,=COS-斗的V="爭，故妻=1，B正確;

fl73.Y，+3i+"二」+且"

C選項，z—+——1

2242422

Z2p-i=-i

44

故泮5一一］,產。25卜1,C正確;

flX/3.Yfl6116

D選項，z°=1?z—+------1=——+------1=-----------------I

2222)229

3回15

-------------1，

”222

L四

---i2=l,

Z2244

故z"(〃eN)的一個周期為6,

MZ0_2+22_23+?_25

故z°-zi+z2-z3+Z2025=337(z°-z+z2-z3+z4-z5)+z0-z+z2-z3

十一g+*i-(7)=1，D正確.

\7

故選：BCD

11.ABD

利用輔助箱公式化簡/(X)，進而求出g(x)JKx),奴X),再結合三角函數(shù)圖象性質逐項求解判斷.

【詳解】函數(shù)/(x)=2sin(2x+q),g(x)=/(x+J)=2cos(2x+g),

J45

則力(x)=2sin(4x+—),0ci)=(an(2A+—),

33

對干A,〃(幻的最小正周期為==例x)的最小正周期為I，A正確；

422

對干B,由4K+,=E,kcZ,得力(X)圖象對稱中心(一己+與，。,wZ),

由2x+1若入Z,得皈I)圖象對稱中心(q+*O)(ZeZ),B正確；

對干C,當工￡[一：百時,2x+^e[~,^],f(x)€[-1,2],g(x)G[-y/3y2],C錯誤;

44366

對于D,由/(x)=g(x),得tan(2，+三)=1,解得2x+===+機0Z,

334

即工=-/+g,攵eZ,方程/(")=g(x)在[0,m]上恰有四個根,

加加4兀/兀5兀?47TT597r八一「“

則一五+三一五+耳’即N方"〃〈三'0正確.

故選：ABD

12.-1

結合投影向量的概念以及平面向量數(shù)量積的概念求值即可.

【詳解】由題意：卜|他,/)=訓=-1,

所以〃力=—lx母=-1.

故答案為：-1

先利用二倍角公式化簡函數(shù)/(力的解析式，在求函數(shù)的單調區(qū)間.

【詳解】因為

由2EW2x+”W2E+7t,kwZnEl一一-<x<+—,keZ.

61212

又"e7c，所以當&=2時、可得xe.

所以所求函數(shù)的單調減區(qū)間為：雪，冗.

故答案為：—

…64

14.—71

45

根據“箏形”內切圓半徑的求法，確定幾何體的內切球半徑，再求內切球的表面積.

【詳解】如圖：

作旋轉體的軸截面，為如圖箏形，設箏形的內切圓半徑為，BC=a.AC=b,

因為VAAC中，CA1CB,AB=2,

rOA..2rrOB__2r

n則il—=—=>OA=—；—==>OB=—.

a2ab2b

由AB=2=—F：=1.

ab

又，=學，可得〃=2a.

J

由/+//=4可得/=：.

J

524416

所以「二療后

所以旋轉體的內切球表面積為：4"2=4"當="兀.

4545

64

故答案為：吃兀

45

15.⑴f=-l

⑵.|

（1）利用新定義列方程求解；

（2）由垂直求得/值，由新定義求得?、邸保儆上蛄繆A角公式計算.

【詳解】（1）因為。@〃=（占月，凹、2），=〃=（-2,2）,

所以m?/?=(2,-2z),n=(-2/,2j

因為〃⑨〃=〃位〃?，所以-2z=2,解得/=一1.

(2)由題意得4而f=(6,4”2)

又…(-2,2),且(4…)_L〃,所以一12+8”4=0,解得32,

此時〃2=(1,2),;?0w=(2.-4)

設尸網八與〃2的夾角為。，

.八(，〃€>〃)?〃？(2,-4)-(1.2)-63

則cos0=7----r=；7v^==—；=~產=——

|/w@n|-|//i|V4+16xVrl+42V5xV55

3

所以加③〃與〃?夾角的余弦值為--

16.(1)?=0.0025,中位數(shù)為99分,

⑵平均數(shù)為124分，方差為36

(1)利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出“，再確定中位數(shù)所在區(qū)間，列式求解.

(2)求出〃，利用分層抽樣平均數(shù)、方差公式列式求解.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖知,(a+2a+4a+0.0175+0.0125+a)x20=l,解得々=0.0025：

由(a+加+4a)x20=7x0.0025x20=0.35<0.5,0.35+0.0175x20=0,7>0.5,

得這40()名學生數(shù)學成績的中位數(shù)x?90/l。)，由0.35+(X-90)X0.0175=0.5,得工。99,

所以估計參加這次測試的學生數(shù)學成績的中位數(shù)為99分.

⑵依題意，/=喘=々，解得〃=6,

0.01250.0125n-\

設這6名學生的數(shù)學成績分別為演，X,,七，Z，毛，136,

由這6名學生的數(shù)學成績的平均數(shù)為126分，得N+W+W廣+勺+136=]26,

6

解得％+A-2+七+A-4+內=620,因此=124；

設乙，/，七，%，己的方差為『，由這6名學生的數(shù)學成績的方差為50,

得口$2+(]24-126)2]+10+(136-126)2]=50,解得s?=36，

66

所以所求學生數(shù)學成績的平均數(shù)為124分，方差為36.

17.(1)證明見解析

⑵當

3

(1)根據圓柱母線的概念，得到BC〃OE,再根據線面平行的判定定理證明8C//平面AOE.

(2)先根據條件，確定圓柱的母線長與底面半徑的關系，再確定直線AE與平面ACO所成的角，利用三角

形的邊角關系求角的正切值.

【詳解】(1)因為co,跖是圓柱的兩條母線,

所以CD〃3E,且CD=BE,所以四邊形58E為平行四邊形，

所以

又BCa平面ADE,O￡u平面HOE,所以BC//平面AOE.

(2)因為A3是下底面圓的直徑，C是下底面圓周上異于4,8的動點，

所以8C1AC,

又因為CO是圓柱的一條母線，所以C0_L底面ACH,

而8Cu底面4c所以C￡)_L8C.

因為CZ)u平面AC。，ACu平面ACO,且CO【AC=C,

所以4。_1_平面人(7。.

又由(1)知8?！āＪ?，所以?！阓1_平面AC。

所以N￡4。為直線AE與平面ACD所成的角.

設圓柱的底面圓半徑為一母線長為I，

因為圓柱的側面積等于兩底面面積的和，所以2斤/-2%產，得/=廠，

又C為弧的中點，所以AC=?C=/)E=?*，

所以在RtZ\ACD中，AD=>IAC2+CD2=V2r+r=&

在R1△八￡)￡中，1：111/￡4。=空=^^=當

ADJ3r3

所以直線AE與平面AC。所成角的正切值為好.

3

⑶⑴C=g

⑵(i)(ii)B

84

【詳解】(1)由〃(cos2C-cos2A)=(a-〃)sin2B得跳sii?A-sin2c)=(a-〃)sin2A

在NABC中，由正弦定理得b(a2-c2)=(a-b)b2,

222

即a-c=(a-b)b=ab-b,所以cosC==

lab2

1T

因為0VCV7C,所以C=一.

3

(2)(i)由(1)知C=］，因為VABC的邊c上的高等于sinC,且c=2,

所以V/WC的面積S=gcsinC=%力sinC,所以c=a〃=2,

:2J/

因為在VA8C中，.c”,即sinAsin633

sinAsinBsin'Cj

所以sinAsinB=-,

又VABC中，cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=—

所以cosAcosB=sinAsinB-^=-=

(ii)由(1)及⑴知C=g,c=ab,

在VA3c中，由余弦定理得d=6T2+Z>2-2abcos^=a~+lr-ab

所以/+//=/+3)=a2h2+ab-

因為所以"從+而22曲，解得必21,當且僅當。=〃=1時，等號成立.

由

所S=—</Z>sinC>—xlx—-4

222

即V/WC面積的最小值為

19.(1)證明見解析

(2)⑴@(ii)更姮或指

225

【詳解】(1)因為A8=8C,。為AC的中點，所以8Q_LAC,

因為平面平面A8C,平面A聲。c平面A8C=8O,ACu平面ABC,

所以AC_L平面A/。，

因為三棱柱ABC—Age中，AC/M.C,,所以AG_L平面AB。，

又A8U平面AB。，所以AGJ.A8,即VA]G是直角三角形.

(2)(i)如圖，由心〃平面ABC,得M///平面A8C，

小G

因為MFu平面A/G,平面ABC】n平面AUG=AG,

所以MfV/AG，

又E為4G的中點，BCMBG，所以筋=箓=呼=，