■第5講一元二次方程、不等式

------------------------圖知識點目錄/---------------------------

【知識點1】求解一元二次不等式........................................................2

【知識點2】一元二次方程根的分布......................................................3

【知識點3】三個二次之間的關(guān)系........................................................5

【知識點4】一元二次不等式恒成立問題.................................................6

?基礎(chǔ)知識/

1.二次函數(shù)v=ax2+bx+c(a>0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+

c>0(a>0)的解的對應(yīng)關(guān)系

方程的判別式/=

/>04=021<0

t)-4ac

Lk

二次函數(shù)△

的圖象

~GIX|=X2^

有兩個相等的實數(shù)

有兩個不相等的實

方程的根b沒有實數(shù)根

數(shù)根M,x(x<x)根x]=x2=—

2122a

不等式

{x|或x>xjR

的解集Ll

2.分式不等式與整式不等式

尸

(1)3(x>)0(<0)。。(*)冢。)>0(<0);

g(x)

f(x)

(2)20(W0)oAx)鼠x)20(WO)且g(x)#=0.

g(x)

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3.簡單的絕對值不等式

|x|>a(a>0)的解集為(—8,一a)U(a,+8),|x|<a(a>0)的解集為(―a,a).

【常用結(jié)論】

1.一元二次不等式恒成立問題

(1)不等式ax'+bx+cXHaHO),x￡R恒成立=a>0且/<0;

⑵不等式ax'+bx+KOSRO),xGR恒成立。水0且/<0;

⑶若a可以為0,需要分類討論，一般優(yōu)先考慮a=0的情形.

2.對于不等式af+6x+c>0,求解時不要忘記方=0時的情形.

■知識點1/

知識點

【知識點1】求解一元二次不等式

對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有

⑴根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

⑵根據(jù)判別式4與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

⑶有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

典型例題

【例1】(2025?開遠市校級開學(xué))已知〃<0,則關(guān)于x的不等式/一4批一5/<0的解集是()

A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}

C.{T|—〃vrv5〃}D.{r|5r/<x<-a]

【例2】(2025?廣東學(xué)業(yè)考試)不等式Y(jié)-2x<0的解集是()

A.(-oo,2)B.(-oo,0)

C.(0,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

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【例3】(2024秋?中山區(qū)校級期末)關(guān)于x的一元二次方程爾+6x+c=0(上YO)的解集為卜2,

3},則不等式ex1+bx+叭6的解集為()

A.B.[-2,3]

JJ

C.S，TU〔I，+8)D.y,-2]J[3,+8)

【答案】A

【分析】由方程的解集和根與系數(shù)關(guān)系得a,b,c的關(guān)系，并由Mc、<0得a的正負，代人不等

式以2+8+小內(nèi)后即可求解.

【解答】解：?.■關(guān)于x的一元二次方程a/+〃x+c=()的解集為{-2,3},

——=-2+3=1

/.-a,/?=-47,c=-6a,/.abc=6/<0,^IJa<0.

￡=-2X3=-6

a

：.ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a(6x2+x-1)^0,

即6x2+x—18,即(2x+l)(3x-|)w,解得一

23

故選：A.

【例4】(2024秋?深圳校級期末)已知函數(shù)/(x)=ax2一(a+l)x+\(aeR).

(1)若/(x)在區(qū)間(-8,1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

(2)求關(guān)于工的不等式/*)>0的解集.

【例5】(2024秋?海淀區(qū)校級期中)解關(guān)于x的不等式：ax2-(a+2)x+2^)(aeR).

@知識點2/

知識點

【知識點2】一元二次方程根的分布

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【例10】（2024秋?青海期末）若二次方程/+（。_6口+26-4=0在（0,3）上有兩個不相等的實根,

則。的取值范圍是（）

A.（10+46+8）B.（—,6）C.（―J0-4V3）D.（2,10+4回

55

-------------------------屯知識點3一/---------------------------

知識點

【知識點3】三個二次之間的關(guān)系

已知一元二次不等式的解集，就能夠得到相應(yīng)的一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可

以求出相應(yīng)的系數(shù).注意結(jié)合不等式解集的形式判斷二次項系數(shù)的正負

典型例題

【例11】（2023秋?信陽期中）已知關(guān)于x的不等式〃（x+l）（x-3）+l>0的解集是（司，當(dāng)）（再<當(dāng)）,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.X)+x2=2B.xtx2<-3C.-1<^1<x2<3D.x2-xt>4

【例12】（2024秋?吉林期末）已知不等式aF+bx+cyo的解集為*|X<T或其>3},則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex?-bx+a<0的解集為{x|-;vx<1}

【例131（2023秋?云南期末）已知關(guān)于x的不等式/-如+49的解集為{x|2E5},則關(guān)于x的

不等式/-bx+a<0的解集為（)

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A.{x|2<x<3}B.{x11<x<3}C.{x12<x<5}D.{x11<x<5}

【例14】（2024秋?集安市月考）已知關(guān)于x的不等式爾+加+c>0的解集為（-co,-2）U（3,+oo）,

則下列選項中正確的是（

A.a<0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>0

D.不等式ad一也工<o的解集為（-X,-—）|J（―,+00）

32

【例15】（2024秋?大理市期末）若關(guān)于實數(shù)x的不等式寸+加+c>0的解集是"|x<-5或x>2},

則關(guān)于x的不等式ex?+bx+|>。的解集是（）

A.（-<3°,-J）U（:,+8）B.y,一：）U（；，+8）

C（-兵）D.

52

El知識點4

知識點

【知識點4】一元二次不等式恒成立問題

恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略

⑴弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，雄就是參數(shù).

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式■;一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不

能用判別式』，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

典型例題

【例16】（2024秋?武強縣校汲期末）時，不等式/x成立，則，〃的取值

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范圍是（）

A.{m|B.{m\C.{w11<w<2}D.{〃?|〃?T}

【例17】（2024秋?中牟縣期末）設(shè)xeR,不等式a/+2“_3<0恒成立的一個充分條件可以是

（）

A.-3<a<0B.—3-^?<0C.-3<?<1D.<1

【例18】（2025?芒市校級開學(xué)）一元二次不等式Ax，？履+2>o對任意恒成立，則實數(shù)上的

4

取酒范圍是（）

A.0<Z:<1B.0-^<1C.k<0D.0<Arvb

【例19】（2024秋?寧波期末）若不等式（ar-2）（x-b）W對任意的xe火恒成立，則〃+2方的最小

值為（）

A.3B,272C.4D.36

【例20】（2025?山東模擬）己知不等式3/+（a-2）x+4力對任意的xw（0,+oo）恒成立，則實數(shù)a的

最小值_2_46_.

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一Ei牛刀小試/----------

第5講一元二次方程、不等式

一.選擇題（共10小題）

1.（2025春?臨泉縣月考）不等式-/+3》_2＜（）的解集為（）

A.{x\x<-2^x>-\]B.{x|x<1或x>2}

C.{x11<x<2}D.{x\-2<x<-\]

2.（2024秋?鶴山市期末）一元二次不等式-4x2—x+13的解集為（）

7

A.{x|-2Wx4—}B.或xi2}

7

C.{x\~<x<2}D.{x\x<-2^x>^]

3.（2024秋?呂梁期末）己知關(guān)于工的一元二次不等式-2/+憶_〃/的解集為{x|；w2},則

竺的值為（）

n

AA.-3BD

5-I-4

4.（2024秋?金山區(qū)期末）當(dāng)0＜。＜1時，關(guān)于x的不等式（x—3）[?！?口+（。-3）]＜0的解集為（）

A.S,^^^）U（3收）B.（—8,3）U（9=,+8）

a-\G~\

c.（3,二）D.”3）

a—1a—1

5.（2024秋?大興區(qū)期末）關(guān)于x的不等式爾+瓜+cW（"0）的解集不可能是（）

A.RB.[-1,1]C.0D.[-1,+oo）

6.（2024秋?佛山期末）若關(guān)于x的方程x?-at+4=0有兩相異實根演，x2,且05＜》2＜4,

則實數(shù)°的取值范圍是（）

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A.(-00,-4)kJ(4,+00)B.(0,5)

C.（4,5）D.（4,8）

7.（2024秋?固鎮(zhèn)縣期末）關(guān)于x的不等式父-（〃+1口+4<0的解集中恰有1個整數(shù)，則實數(shù)”的

取值范圍是（）

A.（-1,0]|J[2,3）B.[-2,-1）53,4]

C.[-1,0）52,3]D.（-2,-1）U（3,4）

8.（2024秋?屯溪區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式（〃?+l）x+9泡在0,4]上有解,則實數(shù)機的最

小值為（）

A.9B.5C.6D.—

4

9.（2024秋?宿遷期末）設(shè)a,/）,c為實數(shù)，不等式ax?+bx+c>o的解集是｛x|x<l或x>3｝,

則的最大值為（）

A.-日B.號C.-迪D.迪

3333

10.（2024秋?濟南期末）若MwR,必2+2（〃.3口+49,則實數(shù)”的取值范圍為（）

A.（1,9）B.（-a）,0）

C.（-00,1）U（9,+8）D.（-co,1]|J[9>+00）

二,多選題（共4小題）

（多選）11.（2025?余姚市模擬）關(guān)于x的一元二次不等式爾+6+1>0的解集為（-1-），則下

2

列成立的是（）

A.a2+b2=5B.a+5=-3C.ab=-2D.—=2

b

（多選）12.（2024秋?西峰區(qū)期末）關(guān)于x的不等式——G+3”0的解集為/?的充分不必要條

件有（）

A.Iga=1B.0<<12C.1<a<11D.-1<a<15

（多選）13.（2024秋?南昌縣期末）已知關(guān)于x的不等式ad++ca的解集為｛x|3yT｝，

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則下列說法正確的是（）

A.a<0

B.不等式ex2-bx+a<0的解集為｛》|--<x<-｝

43

C.a+b+c<0

D.上+5的最小值為7

36+42

（多選）14.（2024秋?日照期末）已知關(guān)于X的不等式G2+&+ca的解集為｛x|_3g｝,則（

）

A.a<0

B.a+b+c<0

C.不等式ex?-fox+a<0的解集為｛x|-;vxv；｝

D.上+￡的最小值為6

3/）+12

三,填空題（共4小題）

15.（2025春?寶山區(qū)月考）已知不等式』+2初+》<0的解集為｛2一2<“<3｝,貝1」實數(shù)而=—.

16,（2025?南通模擬）己知二次不等式——加+2〃-3<0的解集為&,小），-+—<2,則的

王々

取值范圍是—.

17,（2024秋?許昌期末）若不等式r2