專(zhuān)題3.5正多邊形教學(xué)目標(biāo)在探索正多邊形性質(zhì)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、測(cè)量、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和自主探究能力；通過(guò)研究正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想方法，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）正多邊形的概念和性質(zhì)是教學(xué)的核心重點(diǎn)。學(xué)生需要深刻理解正多邊形邊和角的特性，熟練掌握內(nèi)角和、外角和公式以及內(nèi)角、外角的計(jì)算方法，這是后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的基礎(chǔ)。（2）正多邊形與圓的關(guān)系及相關(guān)概念，如正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等，學(xué)生要準(zhǔn)確把握這些概念的內(nèi)涵，并能運(yùn)用它們進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和推理，理解正多邊形是如何內(nèi)接于圓或外切于圓的。（3)運(yùn)用正多邊形的性質(zhì)和相關(guān)公式解決實(shí)際問(wèn)題，包括計(jì)算邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)、面積等，以及利用尺規(guī)作圖繪制正多邊形，讓學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到具體情境中，提高知識(shí)的運(yùn)用能力。2.難點(diǎn)(1)理解正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系，推導(dǎo)正多邊形的相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式，涉及到圓的對(duì)稱(chēng)性、弧長(zhǎng)、扇形面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求較高，學(xué)生在理解和推導(dǎo)過(guò)程中容易出現(xiàn)困難，這是教學(xué)的難點(diǎn)之一。(2)利用尺規(guī)作正多邊形，尤其是作正五邊形等較為復(fù)雜的正多邊形，作圖方法和步驟較為繁瑣，需要學(xué)生具備較高的作圖技巧和空間想象能力，學(xué)生在實(shí)際操作過(guò)程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，難以準(zhǔn)確作出符合要求的正多邊形。(3)綜合運(yùn)用正多邊形的知識(shí)解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)01圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.【即學(xué)即練】1．如果一個(gè)正多邊形的中心角是45°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角，計(jì)算即可得解．【詳解】解：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360°÷45°=8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計(jì)算；熟記正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，⊙O的半徑為4cm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于(1)圓心O到AF的距離；(2)正六邊形ABCDEF的面積．【答案】(1)2(2)24【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H，連結(jié)OA、OF，則可得OA=OF，∠AOF（2）由OA=OF，∠OAF=60°，可得△OAF本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H，連結(jié)OA、則OA=OF，∴∠AOH在Rt△∵OA∴AH∴OH故圓心O到AF的距離為23（2）∵OA=OF∴△OAF∴AF∴S∴正六邊形ABCDEF的面積為6S知識(shí)點(diǎn)02與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角?！炯磳W(xué)即練】1．如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC．若正六邊形的邊長(zhǎng)為4，則點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為（

）A．23 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求正多邊形的中心角，連接OG，OA，OD，則OC=OA=OD，【詳解】解：如圖所示，連接OG，∵點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，∴OC=∴△DOC是等邊三角形，∠∴OC=∵OG⊥∴OG=∴點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為2，故選：B．2．正多邊形的一部分如圖所示，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ACB=20°，則該正多邊形的邊數(shù)為（A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】本題主要考查了正多邊形與圓、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．連接OA，OB，易知點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)【詳解】解：連接OA，OB，如下圖，∵A、B、C∴點(diǎn)A、B、C、∵∠∴∠AOB∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=360°故選：B．知識(shí)點(diǎn)03正多邊形的對(duì)稱(chēng)性

1、正多邊形的軸對(duì)稱(chēng)性正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對(duì)稱(chēng)性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫(huà)法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?！炯磳W(xué)即練】1．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅(jiān)固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長(zhǎng)為8的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)O是正六邊形的中心，則BF的長(zhǎng)為．【答案】8【分析】根據(jù)正多邊形性質(zhì)得到∠A，AF=AB，利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求得∠AFB=∠ABF=30°，作AM⊥BF于點(diǎn)M【詳解】解：由題知，AF=∠A∴∠AFB作AM⊥BF于點(diǎn)∴BM=FM，∴FM∴BM∴BF故答案為：83【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、30度所對(duì)直角邊等于斜邊一半、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題．題型01求正多邊形的中心角【典例1】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，則∠ABF=A．9° B．12° C．18° D．36°【答案】C【分析】本題考查了正多邊形的中心角、圓心角與弧的關(guān)系、圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A心角與弧的關(guān)系是解題關(guān)鍵．連接OA,OE,OF，先求出【詳解】解：如圖，連接OA,∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O∴∠AOE∴AE的度數(shù)為72°，∵點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，∴AF的度數(shù)為12∴∠AOF由圓周角定理得：∠ABF故選：C．【變式1】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AF上，則∠A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】C【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出∠AOB=60°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．由正六邊形的性質(zhì)得出∠COD【詳解】解：連接OC，OD，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD∴∠CMD故選：C．【變式2】正十邊形的中心角的度數(shù)為．【答案】36°【分析】本題考查正多邊形和圓，根據(jù)正多邊形的中心角的定義解決問(wèn)題即可．【詳解】解：正十邊形中心角的度數(shù)=360°故答案為：36°．題型02已知正多邊形的中心角求邊數(shù)【典例2】如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADBA．9 B．10 C．18 D．20【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理得到∠AOB【詳解】解：∵A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，∵∠ADB∴∠AOB∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=360°故選：A．【變式1】如圖，是正多邊形的一部分，若∠ACB=18°，則該正多邊形的邊數(shù)為【答案】10【分析】本題主要考查了正多邊形中心角問(wèn)題、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．連接OA，OB，易知點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)【詳解】解：連接OA，OB，如下圖，∵A、B、∴點(diǎn)A、B、C、∵∠∴∠AOB∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=360°故答案為：10．【變式2】若一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的中心角是60°，則這個(gè)正多邊形是．【答案】正六邊形【分析】本題考查了正多邊形的邊數(shù)與中心角的關(guān)系，掌握正多邊形的中心角等于360°n根據(jù)正多邊形中心角等于360°n【詳解】解：由題意得，邊數(shù)為360°60°故答案為：正六邊形．【變式3】如圖，BC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)G在BC上．且GC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，若BG是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則

【答案】15/十五【分析】本題考查正多邊形和圓，連接OG，求出∠BOG的度數(shù)，利用360度除以∠【詳解】解：連接OG，

∵BC是⊙O∴∠BOC∵GC是⊙O∴∠COG∴∠BOG∴n=故答案為：15．題型03正多邊形和圓的綜合【典例3】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠OCB+∠A．72° B．98° C．102° D．108°【答案】D【分析】本題考查正多邊形與圓、正五邊形的性質(zhì)、正多邊形的中心角等知識(shí)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可以求得∠BCD=∠CDE=108°，根據(jù)周角等于360°，可以求得【詳解】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD=∠CDE∵OC=∴∠OCD∴∠=∠=108°+108°-54°-54°=108°，故選：D．【變式1】如圖，A，B，C，A．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，正多邊形與圓的綜合，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．如圖所示，設(shè)這個(gè)正n邊形內(nèi)接于⊙O，連接OC,OD【詳解】解：如圖所示，設(shè)這個(gè)正n邊形內(nèi)接于⊙O，連接OC∴∠COD∴360°30°∴n=12，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12故選：D．【變式2】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為3，則正六邊形的周長(zhǎng)為（A．18 B．9 C．12 D．36【答案】A【分析】本題考查正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的確關(guān)鍵．連接OA，OB，證△AOB【詳解】解：連接OA，OB，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O∴∴△AOB∴∴正六邊形的周長(zhǎng)=6AB故選：A．【變式3】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)等于6πA．273 B．183 C．272【答案】C【分析】本題考查了圓與正多邊形，連接OB，OC，由正多邊形的性質(zhì)得△OBC【詳解】解：連接OB，OC，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴OB∠BOC∴△OBC∴2πOB解得：OB=3∴S∴正六邊形的面積為93故選：C．題型04正多邊形與平面直角坐標(biāo)系綜合【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)AA．3,-1 B．-1,3 C．-【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)的變化規(guī)律問(wèn)題，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得A1,3，進(jìn)而求出每旋轉(zhuǎn)一次點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)每旋轉(zhuǎn)【詳解】解：∵ABCDEF是正六邊形，∴∠AOF∴∠AOP∵OA=∴△AOF∴OA=∵AB∥x∴∠APO∴AP=∴OP=∴A1,∵將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,-1第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-1,-第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3∵2025÷4=506?1，∴第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,-1故選：A．【變式1】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)D，E在x軸上，頂點(diǎn)F在y軸上，若正六邊形的中心點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為A．2,23 B．23,3【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB與點(diǎn)K，延長(zhǎng)BA交y軸與點(diǎn)N，連接BP，AP，F(xiàn)P，先證明四邊形NFPK是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出FP=AK=12AP=1，由等腰三角形的性質(zhì)得出KB=1，由勾股定理求出【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB與點(diǎn)K，延長(zhǎng)BA交y軸與點(diǎn)N，連接BP，AP，則∠KNF=90°，∵ABCDEF是正六邊形，且中心角為360°÷6=60°，則∠APF=∠APB∴∠APK=30°，∴∠KPF∴四邊形NFPK是矩形，∵正六邊形的中心點(diǎn)P的坐標(biāo)為2∴FP=∴AK=∴KB=1，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為：2，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為3,23故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，將七個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙的放在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,Q,M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為-2

A．2,-33 B．-2,-33 C．3【答案】C【分析】設(shè)中間正六邊形的中心為D，連接DB，可得AB=BC=23，OQ=3，即得OA=OB=3，得到OC=33【詳解】解：設(shè)中間正六邊形的中心為D，連接DB，∵點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為-23∴AB=BC=2∴OA=OB∴OC=3∵∠AEB∴∠BED∵DE=∴△BDE∴∠DBE=60°，∴∠OBD∴DQ=DB∵OD∴OD∴OD=1∴QD=∴M3故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，將其繞它的中心旋轉(zhuǎn)某一角度后會(huì)與原圖形重合，這個(gè)角度可以是（

A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】C【分析】本題考查了圓與正多邊形，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，掌握正多邊形的中心角的求法是解題的關(guān)鍵．求出正五邊形ABCDE的中心角即為可旋轉(zhuǎn)的角度．【詳解】解：正五邊形中心角為：360°5∴將其繞它的中心旋轉(zhuǎn)72°會(huì)與原圖形重合，故選：C．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P．將ΔOAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2024A．(3,-1) B．(-1,-3) C．【答案】D【分析】本題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理；正確掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，利用正多邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理計(jì)算，找到規(guī)律即可得解．【詳解】解：在RtΔAOP中，OA=∴OP=∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3第1次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1第四象限，其A1坐標(biāo)為第2次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2第三象限，其A2坐標(biāo)為第3次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A3第二象限，其A3坐標(biāo)為第4次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A4第一象限，其A4坐標(biāo)為第5次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A5第四象限，其A5坐標(biāo)為……每4個(gè)一循環(huán)，則2024÷4=506，第2024次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2024第二象限，其A坐標(biāo)為(1,故選：D．3．如圖，AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB=18°，則A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．由圓周角定理得∠AOB=36°，再根據(jù)正n邊形的邊數(shù)【詳解】解：∵∠ACB∴∠AOB∴n故選：C．4．半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（

）A．63 B．33 C．3 D【答案】A【分析】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形被它的半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形，畫(huà)出圖形，如圖，連接OA、OB，作OG⊥AB于G，利用半徑求得【詳解】解：如圖：連接OA、OB，作OG⊥AB于根據(jù)題意∠AOB=360°∴△AOB∴OA∵OG∴AG根據(jù)勾股定理可得OG=∴等邊三角形的面積為12∵正六邊形由6個(gè)等邊三角形組成，∴正六邊形的面積為6×3故選：A．5．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為弧DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合），則∠CPD的度數(shù)為（

A．36° B．54° C．60° D．72°【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理；連接OC,OD，先求得中心角【詳解】解：如圖所示，連接OC,∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠COD∴∠CPD故選：A．6．劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來(lái)確定圓周率．如圖，內(nèi)部多邊形為⊙O的內(nèi)接正十二邊形，若⊙O的半徑為2，則這個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形的面積為（A．1 B．63 C．12 D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于C，得到圓的內(nèi)接正十二邊的圓心角為【詳解】解：由題意可作圖如下，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于∵圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為360°12∴AC=∴S△即這個(gè)圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為12×1=12，故選：C二、填空題7．如圖，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A,C在⊙B上，F(xiàn)是優(yōu)弧AC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），連接AF

【答案】54°/54度【分析】本題考查正多邊形與圓、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，理解圓周角定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求得∠ABC【詳解】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠ABC∵F是優(yōu)弧AC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,∴∠AFC故答案為：54°．8．如圖，已知⊙O的半徑等于4cm，則圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OM的長(zhǎng)等于【答案】2【分析】本題考查了正多邊形，等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．連接OC，OD，可得△OCD是等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OM【詳解】解：連接OC，OD，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD∴△OCD由題意可知OM⊥CD，則OM垂直平分∴OC=OD∴OM=故答案為：239．如圖，在正多邊形中，若∠1=27°，則∠2=°．【答案】108【分析】本題主要考查了正多邊形和圓，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，根據(jù)∠1=27°求出∠3=5【詳解】解：∵∠1所對(duì)的邊有3條，∠3所對(duì)的邊有5條，∴∠3=5∴∠2=180°-∠1-∠3=108°．故答案為：108．10．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若點(diǎn)P為⊙O上異于A,B的一點(diǎn)，則【答案】30°或150°【分析】本題考查了正多邊形和圓以及圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造圓心角．構(gòu)造圓心角，分兩種情況，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半求得答案即可．【詳解】解：連接OA，OB，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB當(dāng)點(diǎn)P不在BA上時(shí)，∠APB當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∠APB故答案為：30°或150°．11．李師傅要在木板上開(kāi)一個(gè)小孔，使其恰好能穿過(guò)一個(gè)正六邊形的螺母，如圖所示，若圓孔的周長(zhǎng)等于6π，則正六邊形螺母的邊長(zhǎng)為【答案】3【分析】本題考查正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形中心角等于60°，從而得到△COD連接OC、OD，根據(jù)圓周長(zhǎng)求出半徑，再根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，求出∠COD得出△【詳解】連接OC、OD，如圖：∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π∴⊙O的半徑OC∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=∴△COD∴CD即正六邊形的邊長(zhǎng)為3．故答案為：3．三、解答題12．綜合與實(shí)踐某數(shù)學(xué)小組，在計(jì)算當(dāng)周長(zhǎng)為固定值時(shí)，圍成正三角形、正方形、正六邊形、圓的面積．

【探究發(fā)現(xiàn)】當(dāng)周長(zhǎng)為12?（1）正方形的面積為_(kāi)_______cm2（2）如圖，正△ABC（3）直接寫(xiě)出該周長(zhǎng)下，正六邊形和圓的面積．比較在同一周長(zhǎng)下，S正三角形、S正方形、S正六邊形、S圓的大小關(guān)系．（參考數(shù)據(jù)：

【應(yīng)用結(jié)論】張強(qiáng)同學(xué)假期看望爺爺奶奶，發(fā)現(xiàn)爺爺準(zhǔn)備在空地上圍一個(gè)簡(jiǎn)易羊圈，用來(lái)給懷胎和產(chǎn)仔的的母羊單獨(dú)喂食．爺爺買(mǎi)了30?m的護(hù)欄網(wǎng)，若不計(jì)損耗，圍成的簡(jiǎn)易羊圈場(chǎng)地面積，是否能達(dá)到【答案】[探究發(fā)現(xiàn)]（1）9；（2）43cm2或6.92cm2（3）S【分析】本題考查了正多邊形與圓，勾股定理的應(yīng)用；【探究發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理求得高，進(jìn)而根據(jù)面積公式，即可求解;（3）根據(jù)圓的面積公式，以及正六邊形的性質(zhì)分別求解，進(jìn)而比較大小，即可求解；【應(yīng)用結(jié)論】根據(jù)【探究發(fā)現(xiàn)】可得圓面積最大，進(jìn)而計(jì)算周長(zhǎng)為30?【詳解】解：（1）∵正方形的周長(zhǎng)為12?∴正方形的邊長(zhǎng)為12÷4=3(cm∴正方形的面積為3×3=9(cm故答案為：9．（2）解：作CD⊥AB于點(diǎn)∵△ABC是等邊三角形，周長(zhǎng)為12?cm∴AD∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：S△ABC=

（3）∵⊙O的周長(zhǎng)為12∴半徑為122∴面積為π×∵正六邊形的周長(zhǎng)為12cm，則邊長(zhǎng)為2∴正六邊形的面積為6S

∵S正三角形≈6.92cm2、S正方形∴S正三角形【應(yīng)用結(jié)論】解：能，護(hù)欄網(wǎng)圍成圓時(shí)，面積能達(dá)到70?根據(jù)【探究發(fā)現(xiàn)】可知，圍成圓時(shí)，面積最大，∵⊙O的周長(zhǎng)為30∴半徑為302∴面積為π×∴盡量圍成圓時(shí)，簡(jiǎn)易羊圈場(chǎng)地面積能達(dá)到70?13．如圖，⊙O的周長(zhǎng)等于16πcm，正六邊形ABCDEF(1)求圓心O到CD的距離．(2)求正六邊形ABCDEF的面積．【答案】(1)4(2)96【分析】（1）連接OC、OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H，由圓的周長(zhǎng)可得OC=8cm，由正六邊形的性質(zhì)可得（2）由（1）可得△OCD是等邊三角形，得到CD=OC=8cm【詳解】（1）解：如圖，連接OC、OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H∵⊙O的周長(zhǎng)等于16∴半徑OC=8cm∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD∴∠COH=30°∴CH=∴CH=即圓心O到CD的距離為43（2）解：∵∠COD=60°，OC∴△OCD是等邊三角形，∴CD=∴S△∴S正六邊形【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．金字塔是一種古老的建筑結(jié)構(gòu)．它的底面是一個(gè)正多邊形（如正三角形、正方形、正五邊形等），側(cè)面是由多個(gè)形狀和大小一樣的三角形構(gòu)成，這些三角形的底邊是底面多邊形的邊，頂點(diǎn)匯聚于一個(gè)共同的點(diǎn)，稱(chēng)為金字塔的頂點(diǎn)．【提出問(wèn)題】如何利用一張正多邊形硬紙片制成一個(gè)無(wú)底的金字塔模型？【理解問(wèn)題】在正多邊形中，到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是正多邊形的中心．將正多邊形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)與中心相連，所得的三角形面積均