2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽不變量試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里。不填、多填或錯(cuò)填得零分。設(shè)(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，則代數(shù)式(a^3+3a^2-a+1)的值為（）（A）0（B）1（C）﹣1（D）2對(duì)于任意實(shí)數(shù)(m)，(n)，(p)，(q)，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)((m,n))與((p,q))之間的運(yùn)算“△”為：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)(m)，(n)，都有((m,n)△(p,q)=(m,n))，那么((p,q))為（）（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，﹣1）已知(A)，(B)是兩個(gè)銳角，且滿足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實(shí)數(shù)(t)所有可能值的和為（）（A）(-\frac{1}{2})（B）(-\frac{3}{2})（C）1（D）(\frac{5}{2})如圖，點(diǎn)(D)，(E)分別在△(ABC)的邊(AB)，(AC)上，(BE)，(CD)相交于點(diǎn)(F)，設(shè)(S_{四邊形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）（A）(S_1S_3＜S_2S_4)（B）(S_1S_3＝S_2S_4)（C）(S_1S_3＞S_2S_4)（D）不能確定（注：此處應(yīng)有圖形，頂點(diǎn)為(A)，底邊(BC)，(D)在(AB)上，(E)在(AC)上，(BE)與(CD)交于(F)）設(shè)(S=\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}+\cdots+\frac{1}{4049})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)(a)，(b)（其中(a＜b＜2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是________。如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x})（(x＞0)）與矩形(OABC)的邊(CB)，(BA)分別交于點(diǎn)(E)，(F)，且(AF＝BF)，連接(EF)，若(OA=2)，(OC=4)，則△(OEF)的面積為_(kāi)_______。（注：此處應(yīng)有圖形，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，(OA)在(x)軸，(OC)在(y)軸，(B)為((2,4))）⊙(O)的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將⊙(O)分成的區(qū)域的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(a^3+b^3+c^3+d^3+1=10c+d)，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。三、解答題（共4題，第11-13題每題20分，第14題20分，共80分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程(x^2+nx+m=0)的兩個(gè)根都大1，求(m+n)的值。如圖，點(diǎn)(H)為△(ABC)的垂心，以(AB)為直徑的⊙(O_1)和△(BCH)的外接圓⊙(O_2)相交于點(diǎn)(D)，延長(zhǎng)(AD)交(CH)于點(diǎn)(P)，求證：點(diǎn)(P)為(CH)的中點(diǎn)。（注：此處應(yīng)有圖形，(AB)為⊙(O_1)直徑，(H)為垂心，(O_2)為△(BCH)外接圓，(AD)延長(zhǎng)線交(CH)于(P)）若從1，2，3，…，2025中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)(a_1)，(a_2)，(a_3)，(a_4)，(a_5)，其中總有一個(gè)整數(shù)是1，求滿足條件的取法種數(shù)。設(shè)(a)，(b)，(c)為正實(shí)數(shù)，且滿足(abc=1)，證明：(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\geq1)，并指出等號(hào)成立的條件。四、附加題（共2小題，每小題15分，滿分30分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(y=x^2-2mx+m^2-1)與(x)軸交于(A)，(B)兩點(diǎn)（點(diǎn)(A)在點(diǎn)(B)左側(cè)），與(y)軸交于點(diǎn)(C)。若點(diǎn)(P)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足(\angleAPB=45^\circ)，求點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)的取值范圍。設(shè)(n)是正整數(shù)，(S_n)表示滿足(1\leqa\leqb\leqc\leqn)且(a+b+c)是3的倍數(shù)的三元數(shù)組((a,b,c))的個(gè)數(shù)，求(S_{2025})的值。五、解題提示與不變量思想應(yīng)用（一）選擇題解題關(guān)鍵第1題：通過(guò)分母有理化化簡(jiǎn)(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024}=\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}})，構(gòu)造方程(a+\frac{1}{a}=2\sqrt{2025})，代入代數(shù)式降次求解。第4題：利用面積比與線段比的關(guān)系，設(shè)(\frac{AF}{FB}=m)，(\frac{CF}{FD}=n)，通過(guò)燕尾定理表示(S_1)，(S_2)，(S_3)，(S_4)，發(fā)現(xiàn)(S_1S_3=S_2S_4)為不變量。（二）填空題解題技巧第6題：根據(jù)勾股定理(a^2+b^2=c^2)，(a＜b＜2025)，轉(zhuǎn)化為((c-a)(c+a)=b^2)，通過(guò)因數(shù)分解確定整數(shù)解個(gè)數(shù)。第9題：先計(jì)算1個(gè)正三角形分圓為4個(gè)區(qū)域，2個(gè)正三角形（旋轉(zhuǎn)(30^\circ)）新增12個(gè)區(qū)域，3個(gè)正三角形（旋轉(zhuǎn)(60^\circ)）新增18個(gè)區(qū)域，總區(qū)域數(shù)為(4+12+18=34)。（三）解答題核心方法第12題：連接(BD)，(BH)，利用垂心性質(zhì)得(\angleBHD=\angleACB)，結(jié)合圓周角定理證明(\angleBDP=\angleBHP)，從而推出(\triangleBDP\cong\triangleBHP)，得(PD=PH)，再由(AD\perpBC)，(CH\perpAB)證(AP\parallelBH)，最終得(CP=PH)。第14題：利用柯西不等式((\frac{a^2}{a+2b}+\frac