2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽抽屜原理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）把23支鉛筆任意放進(jìn)5個(gè)文具盒里，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)了（）支鉛筆A.3B.4C.5D.6解析：根據(jù)第一抽屜原理，將23個(gè)物體放入5個(gè)抽屜，23=5×4+3，故至少有一個(gè)抽屜放入4+1=5支鉛筆，選C。新年晚會(huì)上，老師讓每位同學(xué)從裝有紅、藍(lán)、黃、白、綠五種顏色球的口袋中摸出兩個(gè)球，結(jié)果發(fā)現(xiàn)總有2人取的球顏色完全相同，參加取球的人至少有（）A.10人B.11人C.15人D.16人解析：兩球顏色組合分兩類：同色（5種）和異色（C?2=10種），共15種可能。根據(jù)抽屜原理，至少需15+1=16人才能保證重復(fù)，選D。一副撲克牌有54張（含大小王），至少?gòu)闹谐槿。ǎ埮?，才能保證有兩張的點(diǎn)數(shù)不同A.13B.14C.15D.16解析：最壞情況為同一花色13張牌+2張王，此時(shí)再抽1張必出現(xiàn)不同點(diǎn)數(shù)，共13+2+1=16張，選D。有紅、黃、藍(lán)三種顏色的帽子各3頂，要保證取出的帽子至少有兩種顏色，至少應(yīng)取出（）頂A.3B.4C.5D.6解析：最壞情況為先取同色3頂，再取1頂必為其他顏色，共3+1=4頂，選B。在1，2，3，…，20中任取P個(gè)數(shù)，其中任何兩個(gè)數(shù)的和都不是平方數(shù)，則P的最大值是（）A.10B.11C.12D.13解析：構(gòu)造抽屜：{1,15}（1+15=16=42）、{2,14}（2+14=16）、{3,13}（3+13=16）、{4,12}（4+12=16）、{5,11}（5+11=16）、{6,10}（6+10=16）、{7,9}（7+9=16）、{8}、{16}、{17}、{18}、{19}、{20}。共13個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜最多取1個(gè)數(shù)，故P=13，選D。一個(gè)袋子里有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的球各8個(gè)，至少要拿（）次才能保證拿出的球有2個(gè)同色A.4B.5C.8D.9解析：四種顏色為4個(gè)抽屜，需4+1=5次，選B。二、填空題（每題6分，共30分）盒子里有26根帶白色珠子、20根帶粉色珠子、22根不帶珠子的五彩繩，至少拿出______根才能保證拿到6根帶粉色珠子的五彩繩解析：最壞情況為取完白珠26根+無珠22根+粉珠5根，再取1根必滿足，共26+22+5+1=54根。把25個(gè)玻璃球最多放進(jìn)______個(gè)盒子里，才能保證至少有一個(gè)盒子里有5個(gè)玻璃球解析：設(shè)最多放進(jìn)n個(gè)盒子，(5-1)n<25≤5n，解得n=6（4×6=24<25≤5×6=30）。抽屜中放著9雙襪子（3種顏色×3種款式），至少需摸出______只襪子才能保證有3雙顏色、款式都互不相同解析：最壞情況為某顏色某款式取2只（1雙），其余8雙各取1只，共2+8=10只，再取1只必湊成第3雙，共11只。蘋果、梨子、桔子三種水果混在一起，最少要分成______堆（每堆含三種水果），才能保證有兩堆合并后三種水果個(gè)數(shù)都是偶數(shù)解析：每堆水果個(gè)數(shù)奇偶性有23=8種組合，根據(jù)抽屜原理，至少需8+1=9堆。已知A、B、C、D、E、F六人賽棋（單循環(huán)制），A賽5盤、B賽4盤、C賽3盤、D賽2盤、E賽1盤，則F已賽______盤解析：A與所有人賽過（F1盤），E僅與A賽過；B與A、C、D、F賽過（F2盤）；C與A、B、F賽過（F3盤）；D僅與A、B賽過。綜上F賽3盤。三、解答題（每題10分，共40分）證明：從1，2，3，…，100中任意挑出51個(gè)數(shù)，一定有2個(gè)數(shù)互質(zhì)證明：將100個(gè)數(shù)按相鄰整數(shù)分為50組：{1,2}，{3,4}，…，{99,100}。根據(jù)抽屜原理，51個(gè)數(shù)必有2個(gè)數(shù)來自同一組，而相鄰整數(shù)互質(zhì)，得證。在1，2，3，…，20中任取11個(gè)數(shù)，證明其中一定能找到兩個(gè)數(shù)，使大數(shù)是小數(shù)的奇數(shù)倍證明：按奇數(shù)倍關(guān)系構(gòu)造抽屜：1的倍數(shù)：1，3，9（3=1×3，9=3×3）5的倍數(shù)：5，15（15=5×3）7的倍數(shù)：7，21（21>20，僅7）11，13，17，19（質(zhì)數(shù)）2，6，18（6=2×3，18=6×3）4，12（12=4×3）8，20（20=8×2.5非奇數(shù)倍，單列）共8個(gè)抽屜，取11個(gè)數(shù)時(shí)至少有3個(gè)數(shù)來自同一抽屜，必有大數(shù)是小數(shù)的奇數(shù)倍。某小學(xué)參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、常識(shí)競(jìng)賽，數(shù)學(xué)203人，語(yǔ)文179人，常識(shí)165人；參加兩科的數(shù)學(xué)語(yǔ)文143人，數(shù)學(xué)常識(shí)116人，語(yǔ)文常識(shí)97人；三科都參加89人。求參加競(jìng)賽總?cè)藬?shù)解：根據(jù)容斥原理，總?cè)藬?shù)=203+179+165-143-116-97+89=280人。有8個(gè)藍(lán)色球、3個(gè)黃色球、6個(gè)紅色球放入口袋，至少摸多少個(gè)球才能保證：（1）有2個(gè)球顏色相同；（2）三種顏色都有解：（1）最壞情況為藍(lán)、黃、紅各摸1個(gè)，再摸1個(gè)必重復(fù)，共3+1=4個(gè)；（2）最壞情況為先摸藍(lán)色8個(gè)+紅色6個(gè)，再摸1個(gè)必為黃色，共8+6+1=15個(gè)。四、附加題（10分）在3×3的方格紙中任意填入1-9的數(shù)字，證明：至少存在一個(gè)2×2的子方格，其數(shù)字之和≥20證明：3×3方格有4個(gè)2×2子方格，每個(gè)數(shù)字被重復(fù)計(jì)算次