2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽截面問(wèn)題試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.用一個(gè)平面去截正方體，不可能得到的截面形狀是（）A.三角形B.五邊形C.六邊形D.七邊形2.圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正方形，則圓柱的側(cè)面積為（）A.4πB.8πC.16πD.32π3.用一個(gè)平面截圓錐，若截面平行于底面，則截面形狀是（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線4.正方體ABCD-A?B?C?D?中，平面截正方體得到一個(gè)三角形截面，若截面三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B?、D?，則該截面的面積為（）（設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1）A.√2/2B.√3/2C.√2D.√35.球的任意截面都是（）A.圓B.橢圓C.半圓D.不規(guī)則圖形6.用一個(gè)平面截三棱柱，截面形狀不可能是（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形7.圓錐的軸截面是等邊三角形，其母線長(zhǎng)為2，則圓錐的底面半徑為（）A.1B.√3C.2D.48.正方體的截面中，面積最大的三角形截面的面積為（）（設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a）A.√3a2/2B.√2a2C.3a2/2D.2a29.用一個(gè)平面截圓柱，若截面與軸截面垂直且過(guò)底面圓心，則截面形狀是（）A.圓B.長(zhǎng)方形C.正方形D.橢圓10.三棱錐的截面最多能是幾邊形（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形二、填空題（共5題，每題6分，共30分）11.用一個(gè)平面截長(zhǎng)方體，截面邊數(shù)最少是______，最多是______。12.圓錐的截面中，若截面過(guò)頂點(diǎn)且與底面相交，截面形狀是______。13.正方體棱長(zhǎng)為2，用平面截正方體，若截面經(jīng)過(guò)棱AB、BC、C?D?的中點(diǎn)，則截面形狀是______。14.圓柱的底面半徑為3，高為4，與底面成30°角的平面截圓柱，截面橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____。15.球的半徑為5，截面到球心的距離為3，則截面圓的面積為_(kāi)_____。三、解答題（共4題，共70分）16.（15分）已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為2，E、F、G分別為棱AB、BC、DD?的中點(diǎn)，求過(guò)E、F、G三點(diǎn)的截面面積。17.（15分）圓錐的底面半徑為3，高為4，求過(guò)圓錐頂點(diǎn)且與底面成60°角的截面面積。18.（20分）如圖，圓柱的底面半徑為2，高為5，平面α與圓柱的母線成30°角，且截面α與圓柱的兩個(gè)底面都相交，求截面橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及面積。19.（20分）正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P、Q、R分別為棱A?B?、B?C?、C?D?的中點(diǎn)，（1）求證：平面PQR截正方體所得截面為正三角形；（2）求該截面的周長(zhǎng)和面積。四、附加題（共2題，每題10分，共20分，不計(jì)入總分）20.用一個(gè)平面截正四面體，截面形狀能否為菱形？若能，請(qǐng)說(shuō)明條件；若不能，請(qǐng)證明。21.球的半徑為R，用兩個(gè)平行平面截球，若兩截面間的距離為d，且截面圓半徑分別為r?和r?（r?<r?），求d與R、r?、r?的關(guān)系。答案一、選擇題D2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.A9.A10.B二、填空題3，612.三角形13.五邊形14.1215.16π三、解答題16.解：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，坐標(biāo)如下：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A?(0,0,2)，B?(2,0,2)，C?(2,2,2)，D?(0,2,2)。E(1,0,0)，F(xiàn)(2,1,0)，G(0,2,1)。設(shè)截面與棱A?D?交于點(diǎn)H(m,2,2)，與棱A?A交于點(diǎn)I(0,0,n)。由共面條件解得H(0,2,2)，I(0,0,1)。截面為五邊形EFGHI，坐標(biāo)依次為(1,0,0)，(2,1,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，(0,0,1)。利用向量法計(jì)算各邊長(zhǎng)及夾角，得面積為√6/2+3√2/2。17.解：圓錐軸截面為等腰三角形，底面半徑r=3，高h(yuǎn)=4，母線l=5。截面與底面交于弦AB，設(shè)截面三角形為SAB（S為頂點(diǎn)）。截面與底面成60°角，即截面與底面所成二面角為60°。設(shè)O為底面圓心，OH⊥AB于H，則∠SHO=60°，OH=SO·cos60°=4×1/2=2。AB=2√(r2-OH2)=2√(9-4)=2√5。截面面積S=1/2×AB×SH=1/2×2√5×√(SO2-OH2)=√5×√(16-4)=√5×2√3=2√15。18.解：圓柱底面半徑r=2，高h(yuǎn)=5，截面與母線成30°角。橢圓短軸長(zhǎng)=2r=4。長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2r/sin30°=4/(1/2)=8。橢圓面積S=π×(長(zhǎng)軸/2)×(短軸/2)=π×4×2=8π。19.解：（1）證明：P(1/2a,0,a)，Q(a,1/2a,a)，R(1/2a,a,a)。PQ=QR=RP=√[(a/2)2+(a/2)2+0]=√2a/2，故△PQR為正三角形。（2）周長(zhǎng)=3×√2a/2=3√2a/2；面積=√3/4×(√2a/2)2=√3a2/8。