2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽歷史真題試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1．設(shè)(a=\sqrt{5}-2)，則代數(shù)式(a^3+4a^2-3a-5)的值為（）A．0B．1C．﹣1D．22．對于任意實(shí)數(shù)(m)，(n)，(p)，(q)，定義有序?qū)崝?shù)對((m,n))與((p,q))之間的運(yùn)算“△”為：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。如果對于任意實(shí)數(shù)(m)，(n)，都有((m,n)△(x,y)=(m,n))，那么((x,y))為（）A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）3．已知(A)，(B)是兩個(gè)銳角，且滿足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實(shí)數(shù)(t)所有可能值的和為（）A．(-\frac{1}{2})B．(-\frac{3}{2})C．1D．(\frac{5}{2})4．如圖，點(diǎn)(D)，(E)分別在△(ABC)的邊(AB)，(AC)上，(BE)，(CD)相交于點(diǎn)(F)，設(shè)(S_{四邊形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）A．(S_1S_3＜S_2S_4)B．(S_1S_3＝S_2S_4)C．(S_1S_3＞S_2S_4)D．不能確定（圖：△(ABC)中，(BE)與(CD)交于點(diǎn)(F)，形成四個(gè)小三角形和一個(gè)四邊形）5．設(shè)(S＝\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）A．4B．5C．6D．7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．兩條直角邊長分別是整數(shù)(a)，(b)（其中(a＜b＜2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個(gè)數(shù)為________。7．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是________。8．如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x})（(x＞0)）與矩形(OABC)的邊(CB)，(BA)分別交于點(diǎn)(E)，(F)，且(AF＝BF)，連接(EF)，若(OA=3)，(OC=4)，則△(OEF)的面積為________。（圖：矩形(OABC)中，(O)為原點(diǎn)，(A)在(x)軸，(C)在(y)軸）9．⊙(O)的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將⊙(O)分成的區(qū)域的個(gè)數(shù)為________。10．設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(a^3+b^3+c^3+d^3+1=10c+d)，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________。三、解答題（共4題，第11-13題每題20分，第14題20分，共80分）11．已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程(x^2+px+q=0)的兩個(gè)根都大1，求(m+n-p-q)的值。12．如圖，點(diǎn)(H)為△(ABC)的垂心，以(AB)為直徑的⊙(O_1)和△(BCH)的外接圓⊙(O_2)相交于點(diǎn)(D)，延長(AD)交(CH)于點(diǎn)(P)，求證：點(diǎn)(P)為(CH)的中點(diǎn)。（圖：△(ABC)中，(H)為垂心，(O_1)、(O_2)分別為(AB)和△(BCH)的外接圓）13．若從1，2，3，…，2025中任取5個(gè)兩兩互素的不同的數(shù)(a)，(b)，(c)，(d)，(e)，其中總有一個(gè)數(shù)是1，求正整數(shù)(n)的最大值。14．已知二次函數(shù)(y=x^2+bx+c)（(b)，(c)為整數(shù)），其圖象與(x)軸交于兩點(diǎn)(A(x_1,0))，(B(x_2,0))，且(|x_1|＜2)，(|x_2|＜2)，求(b)，(c)的值。15．如圖，在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，點(diǎn)(D)是邊(BC)上一點(diǎn)，將△(ACD)沿(AD)折疊，使點(diǎn)(C)落在(AB)邊上的點(diǎn)(E)處，求：（1）(BE)的長；（2）△(ADE)的面積。16．設(shè)(a)，(b)，(c)是正實(shí)數(shù)，且滿足(abc=1)，求證：(\frac{a}{a^2+2}+\frac{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2}\leq1)。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動(dòng)點(diǎn)(P(x,y))滿足(|x|+|y|\leq1)，求(PA^2+PB^2+PC^2+PD^2)的最大值和最小值。18．將1，2，3，…，2025這2025個(gè)正整數(shù)任意分成兩組，證明：必有一組中存在三個(gè)數(shù)(a)，(b)，(c)（可以相同），使得(a^2+b^2=c^2)。19．如圖，⊙(O)的半徑為(R)，弦(AB)，(CD)相交于點(diǎn)(E)，且(AB\perpCD)，若(AE=4)，(EB=6)，(CE=3)，求(ED)的長及⊙(O)的半徑(R)。20．已知(n)為正整數(shù)，且(n^2+2n-15)能被(n-3)整除，求(n)的所有可能值。21．設(shè)(a)，(b)是實(shí)數(shù)，且滿足(a^2+b^2=1)，求(a+b)的取值范圍。22．如圖，在△(ABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(diǎn)(P)是(BC)邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與(B)，(C)重合），過點(diǎn)(P)作(PD\perpAB)于(D)，(PE\perpAC)于(E)，求(PD+PE)的值。23．解方程組：[\begin{cases}x+y+z=6\x^2+y^2+z^2=14\xy+yz+zx=11\end{cases}]24．已知(a)，(b)，(c)是△(ABC)的三邊長，且滿足(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca)，求證：△(ABC)是等邊三角形。25．某商店銷售一批進(jìn)價(jià)為每件(10)元的商品，若按每件(15)元銷售，每天可售出(200)件；若每件售價(jià)每提高(1)元，每天的銷售量就減少(10)件。設(shè)每件商品的售價(jià)為(x)元（(x\geq15)），每天的銷售利潤為(y)元，求(y)與(x)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤是多少？26．如圖，在正方形(ABCD)中，(E)是(BC)邊上一點(diǎn)，(F)是(CD)邊上一點(diǎn)，且(BE=CF)，連接(AE)，(BF)交于點(diǎn)(G)，求證：(AG\perpBF)。27．已知(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1)，求(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y})的值。28．在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(D)是(AB)的中點(diǎn)，點(diǎn)(E)，(F)分別在(AC)，(BC)邊上，且(DE\perpDF)，求(EF)的最小值。29．設(shè)(n)為正整數(shù)，且(n)滿足(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=k^2)（(k)為正整數(shù)），求(n)的值。30．已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖象經(jīng)過點(diǎn)((1,2))，((2,3))，((3,6))，求該二次函數(shù)的解析式。31．如圖，⊙(O_1)與⊙(O_2)外切于點(diǎn)(P)，過點(diǎn)(P)的直線分別交⊙(O_1)，⊙(O_2)于(A)，(B)兩點(diǎn)，若⊙(O_1)的半徑為(2)，⊙(O_2)的半徑為(3)，求(PA:PB)的值。32．計(jì)算：(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{2024\times2025})33．已知(a)是方程(x^2-3x+1=0)的根，求(\frac{a^4+a^2+1}{a^2})的值。34．在△(ABC)中，(\angleA=60^\circ)，(AB=2)，(AC=3)，求(BC)的長。35．若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+1)x+m=0)有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求(m)的取值范圍。36．如圖，在梯形(ABCD)中，(AD\parallelBC)，(AB=CD=5)，(AD=2)，(BC=8)，求梯形(ABCD)的面積。37．設(shè)(a)，(b)，(c)是正實(shí)數(shù)，求證：(\frac{a}{b+c}+\frac{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2})38．已知(n)為正整數(shù)，且(2^n+7)為完全平方數(shù)，求(n)的值。39．解不等式組：[\begin{cases}3x-1\geq2x+1\2x\leq8\x-3＜0\end{cases}]40．如圖，點(diǎn)(P)是⊙(O)外一點(diǎn)，(PA)，(PB)是⊙(O)的切線，(A)，(B)為切點(diǎn)，(OP)交(AB)于點(diǎn)(C)，若(PA=4)，(PC=2)，求⊙(O)的半徑。41．已知(f(x)=x^2+2x-3)，求(f(f(x))=0)的所有解。42．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(y=kx+b)經(jīng)過點(diǎn)((1,3))和((-1,1))，求該直線的解析式。43．設(shè)(a)，(b)是方程(x^2-x-1=0)的兩個(gè)根，求(a^4+3b)的值。44．如圖，在Rt△(ABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=4)，(BC=3)，以點(diǎn)(C)為圓心，(r)為半徑作圓，若⊙(C)與斜邊(AB)相切，求(r)的值。45．已知(a+b+c=0)，求(a^3+b^3+c^3-3abc)的值。46．若關(guān)于(x)的方程(kx^2-2x+1=0)有實(shí)數(shù)根，求(k)的取值范圍。47．如圖，在正方形(ABCD)中