2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽立體幾何試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知直線l與平面α所成角為30°，則直線l與平面α內(nèi)所有直線的夾角中，最大角為（）A.30°B.60°C.90°D.120°若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為（）A.4πB.6πC.8πD.10π在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?=2，AB=1，則BC?與平面ADD?A?所成角的正弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1，點E為CC?的中點，點F為A?D?的中點，則直線AE與直線CF所成角的余弦值為（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.√3/3已知一個球的直徑為8，該球表面有三條長度均為√14的弦，這三條弦兩兩的距離相等，則這三條弦所在平面的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°圓柱底面半徑為r，高為h，體積為2，表面積為24，則（r+h）的值是（）A.6B.8C.12D.24設(shè)直線與球有且只有一個公共點，從直線出發(fā)的兩個半平面截球所得兩個截面圓半徑分別為r?和r?，二面角的平面角為θ，則球的半徑為（）A.√[(r?2r?2)/(r?2+r?2-2r?r?cosθ)]B.√[(r?2+r?2)/(1-cosθ)]C.√[(r?2+r?2-2r?r?cosθ)/sin2θ]D.√[(r?2+r?2)/(2(1-cosθ))]如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.4/3B.8/3C.4D.8（注：此處應(yīng)有三視圖，正視圖為正方形，俯視圖是腰長為2的等腰直角三角形）在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC=√3，AB=BC=CA=2，則三棱錐S-ABC的體積為（）A.1B.√3/3C.2√3/3D.√3已知正四面體ABCD的邊長為a，其外接球球心為O，則OA的長度為（）A.√3a/4B.√6a/4C.√3a/3D.√6a/3二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）在四面體ABCD內(nèi)部有一點O，滿足OA=OB=OC=4，OD=1，則四面體ABCD體積的最大值為________。在四面體ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=√17，AD=BC=√21，則ABCD外接球表面積是________。直角四面體ABCD中，六條棱長和為6，則其體積最大值為________。半徑為6的球，則該球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值是________。正四棱錐P-ABCD中，側(cè)面是邊長為1的正三角形，M，N分別是邊AB，BC中點，則異面直線MN與PC之間的距離是________。桌面上放著3個半徑為1的球，兩兩相切，在它們上方的空隙里放入一個球使其頂點（最高處）恰好和3個球的頂點在同一個平面上，則該球的半徑等于________。三、解答題（本大題共4小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分14分）在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?=2AB=2，E，F(xiàn)分別為A?B?，A?D?的中點。（1）求證：EF∥平面BDD?B?；（2）求直線EF與平面BCC?B?所成角的正弦值。（本小題滿分16分）四棱錐S-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠SDA=∠SDC=60°，AD=DC=BC=SD=2，E在棱SD上，F(xiàn)為BC中點。（1）若SF∥面AEC，求證：CE⊥平面ABE；（2）在（1）的條件下，求BC與平面CDE所成角的余弦值。（本小題滿分16分）在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA?=2，E、F分別是棱BC、A?A的中點，G為棱CC?上一點，且C?F∥平面AEG。（1）求CG/GC?的值；（2）求證：EG⊥A?C；（3）求二面角A?-AG-E的余弦值。（本小題滿分18分）已知四面體ABCD中，AB=AC=AD=2，∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，點P為棱BC上一動點，Q為棱AD上一動點。（1）求證：平面BCD⊥平面AOP（O為△ABC的外心）；（2）當(dāng)BP=1/3BC，AQ=1/2AD時，求異面直線PQ與CD所成角的余弦值；（3）在（2）的條件下，求點A到平面PQD的距離。附加題（本大題共2小題，每小題20分，共40分。不計入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）在四面體ABCD中，AB=CD=5，AC=BD=√34，AD=BC=√41，點M、N分別為AB、CD的中點。（1）求證：MN是AB和CD的公垂線；（2）求異面直線AC與BD所成角的大??；（3）求四面體ABCD的體積。如圖，圓錐