2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽鋪砌問題試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）用2×1的長方形瓷磚（多米諾骨牌）覆蓋2×3的矩形區(qū)域，共有多少種不同的鋪法？A.2種B.3種C.4種D.5種下列圖形中，不能單獨密鋪平面的是？A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形用1×2的瓷磚覆蓋3×4的矩形區(qū)域，若瓷磚不允許重疊或切割，則不同的鋪法總數(shù)為？A.6種B.8種C.10種D.12種在邊長為4的正方形網(wǎng)格中，用邊長為1的正方形瓷磚鋪成“L”形圖案（由3個小正方形組成），最多能放置多少個不重疊的“L”形？A.5個B.6個C.7個D.8個關(guān)于彭羅斯瓷磚（非周期密鋪）的說法，正確的是？A.僅需一種形狀即可實現(xiàn)平面密鋪B.圖案具有平移對稱性C.由“風(fēng)箏”和“飛鏢”兩種形狀組成D.無法鋪滿整個平面二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）用1×3的瓷磚覆蓋3×n的矩形區(qū)域，若n=5時共有2種鋪法，n=6時共有5種鋪法，則n=7時的鋪法數(shù)為________。一個3×3的正方形區(qū)域，中心位置挖去一個1×1的小正方形，用2×1的瓷磚覆蓋剩余區(qū)域，共有________種不同的鋪法。在4×4的方格紙中，用黑白兩色瓷磚鋪成“對稱”圖案（沿對角線對稱），若黑色瓷磚數(shù)量為偶數(shù)，則不同的圖案總數(shù)為________。用邊長為1的正六邊形瓷磚密鋪一個周長為12的正六邊形區(qū)域，共需瓷磚________塊。某展廳地面為長方形，長10米，寬6米，用兩種規(guī)格的瓷磚鋪地：甲種為2×3米的長方形瓷磚，乙種為1×1米的正方形瓷磚。若要求甲種瓷磚至少使用5塊，且不允許切割瓷磚，則乙種瓷磚最少需要________塊。三、解答題（共4小題，每小題15分，滿分60分）11.基礎(chǔ)鋪砌問題用1×2的瓷磚覆蓋2×n的矩形區(qū)域，定義f(n)為不同的鋪法數(shù)。（1）計算f(1)、f(2)、f(3)的值；（2）推導(dǎo)f(n)的遞推關(guān)系式，并求出f(10)的值。12.區(qū)域分割與鋪砌如圖1，一個4×4的正方形被分割成A、B、C、D四個全等的“L”形區(qū)域（每個“L”形由4個小正方形組成）。（1）用1×2的瓷磚覆蓋區(qū)域A，有多少種鋪法？（2）若用1×2的瓷磚覆蓋整個4×4正方形，且要求瓷磚不跨越區(qū)域邊界（即瓷磚完全落在A、B、C、D中的一個區(qū)域內(nèi)），共有多少種鋪法？13.密鋪條件探究現(xiàn)有兩種正多邊形瓷磚：正三角形和正十二邊形。（1）證明這兩種瓷磚可以組合密鋪平面；（2）若用m塊正三角形和n塊正十二邊形拼成一個平面圖案，求m與n的數(shù)量關(guān)系。14.動態(tài)鋪砌與優(yōu)化某教室地面為10×10的正方形網(wǎng)格，用邊長為1的正方形瓷磚鋪地，要求瓷磚顏色為紅色或藍(lán)色，且滿足以下條件：①每行瓷磚中紅色與藍(lán)色數(shù)量相等；②任意2×2的正方形區(qū)域內(nèi)，紅色瓷磚數(shù)量不超過2塊。（1）若第一行瓷磚顏色為“紅藍(lán)紅藍(lán)紅藍(lán)紅藍(lán)紅藍(lán)”，求第二行瓷磚的可能排列方式；（2）求整個教室地面鋪砌的不同方案總數(shù)。四、拓展題（共2小題，每小題20分，滿分40分）15.三維鋪砌問題用1×1×2的長方體瓷磚（三維多米諾）填充2×2×n的長方體區(qū)域，定義g(n)為不同的填充方式數(shù)。（1）計算g(1)、g(2)的值；（2）若n=3時，瓷磚可沿長、寬、高三個方向放置，求g(3)的所有可能取值。16.非周期鋪砌設(shè)計2023年發(fā)現(xiàn)的“帽子形”瓷磚是單形狀非周期密鋪的重要突破。請根據(jù)以下條件設(shè)計一個簡單的非周期鋪砌圖案：（1）使用兩種形狀的瓷磚（如“L”形和“T”形）；（2）說明圖案的構(gòu)造規(guī)則，并證明其不具有周期性；（3）計算該圖案在10×10的區(qū)域內(nèi)最多能放置多少塊瓷磚。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）一、選擇題B2.C3.B4.A5.C二、填空題11（提示：遞推關(guān)系為f(n)=f(n-1)+f(n-3)）28.169.710.12三、解答題（1）f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3；（2）f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(10)=89。（1）2種；（2）16種（每個區(qū)域2種鋪法，4個區(qū)域獨立）。（1）正三角形內(nèi)角60°，正十二邊形內(nèi)角150°，60m+150n=360，取m=1，n=2即可密鋪；（2）2m+5n=12（m、n為正整數(shù)）。四、拓展題（1）g(1)=2，g(2)=9；（2）g(3)=36（考慮沿不同軸的放置方式）。（3）最多放置88塊（利用非周期規(guī)則避免重復(fù)圖案）。說明：本試卷涵蓋鋪砌問題的