2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽文明互鑒試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1.古埃及紙草書記錄了“堆算”問題：將100個(gè)面包分給5人，使每人所得成等差數(shù)列，且較大的三份之和的$\frac{1}{7}$等于較小的兩份之和。若最小的一份為$a$，公差為$d$（$a,d$為正整數(shù)），則$a+d$的值為（）A.6B.11C.16D.212.中國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中創(chuàng)造“弦圖”證明勾股定理，如圖1所示，由四個(gè)全等直角三角形與中間小正方形拼成大正方形。若直角三角形兩直角邊分別為$m,n$（$m>n$），大正方形面積為61，小正方形面積為1，則$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$的值為（）A.$\frac{61}{5}$B.$\frac{61}{25}$C.$\frac{59}{5}$D.$\frac{59}{25}$3.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，將1，3，6，10，…稱為“三角形數(shù)”（第$k$個(gè)三角形數(shù)為$\frac{k(k+1)}{2}$），將1，4，9，16，…稱為“正方形數(shù)”（第$k$個(gè)正方形數(shù)為$k^2$）。下列既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)是（）A.1225B.2025C.2500D.30254.印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多提出“四邊形對角線乘積公式”：圓內(nèi)接四邊形$ABCD$的面積$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$，其中$p=\frac{a+b+c+d}{2}$，$a,b,c,d$為四邊長度。若圓內(nèi)接四邊形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$CD=5$，$DA=6$，則該四邊形外接圓直徑為（）A.$\sqrt{26}$B.$\sqrt{37}$C.$\sqrt{52}$D.$\sqrt{65}$5.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在《代數(shù)學(xué)》中研究方程求解問題。若關(guān)于$x$的方程$x^2+px+q=0$的兩根分別對應(yīng)古埃及象形數(shù)字“$\cap$”（表示10）和中國算籌數(shù)字“$\perp$”（表示6），則代數(shù)式$p^2-4q$的值為（）A.16B.24C.36D.64二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6.《九章算術(shù)》“粟米章”記載比例換算：“粟率五十，糲米三十”（即50單位粟可換30單位糲米）。若某商人用粟和糲米混合成100單位糧食，其中粟與糲米的比例為$3:2$（按體積計(jì)），則混合糧食中含有的實(shí)際粟米量為______單位。7.古巴比倫楔形文字泥板中記錄“勾股數(shù)組”：若$m,n$為正整數(shù)（$m>n$），則$a=m^2-n^2$，$b=2mn$，$c=m^2+n^2$構(gòu)成勾股數(shù)。若某勾股數(shù)組中最大數(shù)為2025，則這樣的數(shù)組共有______組（$(a,b,c)$與$(b,a,c)$視為同一組）。8.日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在《算脫之法》中研究“方陣問題”：將1至9這九個(gè)數(shù)字填入$3×3$方格，使每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和相等（即三階幻方）。若幻方中右上角數(shù)字為2，左下角數(shù)字為6，則幻方中心數(shù)字為______。9.非洲桑海帝國時(shí)期的天文觀測記錄顯示，某地夏至日正午太陽高度角為$75^\circ$，冬至日正午太陽高度角為$45^\circ$（太陽高度角$h=90^\circ-|φ-δ|$，其中$φ$為當(dāng)?shù)鼐暥龋?δ$為太陽直射點(diǎn)緯度）。則該地緯度$φ$的正弦值為______（結(jié)果保留根號）。10.聯(lián)合國教科文組織將“0”的發(fā)現(xiàn)列為人類文明重大成就。若$a,b,c,d$是0~9的不同數(shù)字，且四位數(shù)$\overline{abcd}$滿足$\overline{abcd}=10×\overline{abc}+\overline{cd}$，同時(shí)$\overline{abc}$是古希臘“完全數(shù)”（除自身外所有因數(shù)之和等于自身的數(shù)），$\overline{cd}$是中國“天干地支”紀(jì)年法中的地支數(shù)（即1~12的正整數(shù)），則這樣的四位數(shù)共有______個(gè)。三、解答題（共4題，第11-13題每題20分，第14題25分，滿分85分）11.（古中國幾何與近代數(shù)學(xué)結(jié)合）如圖2，在$\triangleABC$中，$AB=AC=10$，$BC=12$，點(diǎn)$D$為$BC$中點(diǎn)，以$D$為圓心、$DB$為半徑作圓，與$AB,AC$分別交于點(diǎn)$E,F$（異于$B,C$）。（1）求證：$AE=AF$；（2）求$\triangleAEF$與$\triangleABC$的面積之比；（3）若將“以$D$為圓心”改為“以$BC$上某點(diǎn)為圓心”，且圓與$AB,AC$相切，求圓心到$B$點(diǎn)的距離。12.（跨文明數(shù)列綜合）（1）印度數(shù)學(xué)家馬哈維拉提出“蜜蜂問題”：蜂群的$\frac{1}{5}$飛向茉莉花叢，$\frac{1}{3}$飛向薔薇花叢，兩叢差的3倍飛向蓮花叢，最后剩下1只蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛舞。問蜂群總數(shù)是多少？（2）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤全書》中提出“兔子數(shù)列”：$F_1=1$，$F_2=1$，$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\geq3$）。若數(shù)列${a_n}$滿足$a_n=F_nF_{n+2}-F_{n+1}^2$，求$a_1+a_2+\cdots+a_{2025}$的值；（3）結(jié)合上述兩題，若某數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$滿足$S_n=3b_n-2$，類比“蜜蜂問題”的方程思想與“兔子數(shù)列”的遞推關(guān)系，求$b_{10}$的值。13.（文明互鑒幾何綜合）（1）古希臘歐幾里得在《幾何原本》中證明“三角形內(nèi)角和等于180°”。利用該結(jié)論，證明：任意凸四邊形內(nèi)角和等于360°；（2）中國魏晉數(shù)學(xué)家劉徽在《海島算經(jīng)》中提出“重差術(shù)”：如圖3，要測量海島高度$AB$，在岸邊取點(diǎn)$C,D$，使$C,D,B$三點(diǎn)共線，從$C,D$處分別立標(biāo)桿$CE,DF$，測得$CD=100$步，$CE=DF=5$步，人目高$CG=DH=1$步，且$A,G,E$三點(diǎn)共線，$A,H,F$三點(diǎn)共線。若$GD=120$步，求海島高度$AB$（結(jié)果用“步”表示）；（3）阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家塔比特·伊本·庫拉提出“全等三角形判定定理”。在（2）的條件下，若$\triangleAEG\cong\triangleAFH$，求$BD$的長度。14.（文明數(shù)學(xué)文化創(chuàng)新題）（1）定義“文明互鑒數(shù)”：若正整數(shù)$n$能表示為兩個(gè)不同文明古國的數(shù)學(xué)成就之和，例如$n=5=3$（中國勾股數(shù)）+$2$（埃及分?jǐn)?shù)），則稱$n$為文明互鑒數(shù)。寫出所有小于20的文明互鑒數(shù)；（2）證明：任意大于1的正整數(shù)都是文明互鑒數(shù)；（3）某國際數(shù)學(xué)競賽設(shè)金、銀、銅獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)人數(shù)比例為$1:2:3$，且獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為文明互鑒數(shù)。若金獎(jiǎng)人數(shù)不超過10人，求