2025年下學期初中數(shù)學與代數(shù)思維試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）若代數(shù)式$\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}$有意義，則x的取值范圍是（）A.$x\geq2$B.$x>2$且$x\neq3$C.$x\geq2$且$x\neq3$D.$x>2$下列計算正確的是（）A.$a^3+a^2=a^5$B.$a^3\cdota^2=a^6$C.$(a^3)^2=a^5$D.$a^6\diva^2=a^4$已知關于x的方程$x^2-2x+k=0$有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.$k<1$B.$k>1$C.$k\leq1$D.$k\geq1$若點$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}(k<0)$的圖象上，則$y_1$與$y_2$的大小關系是（）A.$y_1>y_2$B.$y_1=y_2$C.$y_1<y_2$D.無法確定如圖，在$\triangleABC$中，點D、E分別是AB、AC的中點，若DE=5，則BC的長為（）A.5B.10C.15D.20某商店銷售一種商品，每件的進價為80元，售價為120元，每天可售出20件。為了擴大銷售，商店決定降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，每天可多售出2件。設每件商品降價x元，每天的銷售利潤為y元，則y與x之間的函數(shù)關系式為（）A.$y=(120-x-80)(20+2x)$B.$y=(120-x)(20+2x)$C.$y=(120-80-x)(20+x)$D.$y=(120-80)(20+2x)$若$\alpha$、$\beta$是一元二次方程$x^2-3x+1=0$的兩個根，則$\alpha^2+\beta^2$的值為（）A.5B.7C.9D.11如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為$(1,0)$，點B在x軸上，且AB=3，則點B的坐標為（）A.$(4,0)$B.$(-2,0)$C.$(4,0)$或$(-2,0)$D.$(0,4)$或$(0,-2)$下列命題中，真命題是（）A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.對角線相等的四邊形是矩形C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（）A.$a>0$，$b>0$，$c>0$B.$a<0$，$b<0$，$c>0$C.$a<0$，$b>0$，$c<0$D.$a<0$，$b>0$，$c>0$二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）分解因式：$x^3-4x=$________。若關于x的不等式組$\begin{cases}x+1>2\x-m\leq0\end{cases}$有解，則m的取值范圍是________。一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別。從中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是________。如圖，在$\odotO$中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則$\odotO$的半徑為________cm。如圖，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，AC=3，BC=4，以點C為圓心，r為半徑作圓，若$\odotC$與AB相切，則r的值為________。觀察下列等式：$1^2=1$$1^2-2^2=-3$$1^2-2^2+3^2=6$$1^2-2^2+3^2-4^2=-10$……根據(jù)以上規(guī)律，第n個等式為$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n+1}n^2=$________。三、解答題（本大題共8小題，共72分）（8分）計算：$(\sqrt{3}-2)^0+(-1)^{2025}+\vert-2\vert-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$。（8分）先化簡，再求值：$\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-x}\right)\div\frac{x^2+2x+1}{x^2}$，其中$x=\sqrt{2}-1$。（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。求證：BE=DF。（8分）某校為了解學生的課外閱讀情況，隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，調(diào)查結果分為“非常喜歡”、“喜歡”、“一般”、“不喜歡”四個等級，分別用A、B、C、D表示。根據(jù)調(diào)查結果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖：（1）求本次調(diào)查的學生人數(shù)；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有學生2000人，估計“非常喜歡”課外閱讀的學生人數(shù)。（8分）某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需用甲種原料4千克，乙種原料1千克；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需用甲種原料3千克，乙種原料5千克?，F(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克。設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，解答下列問題：（1）求x的取值范圍；（2）若生產(chǎn)一件A產(chǎn)品可獲利50元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品可獲利60元，怎樣安排生產(chǎn)可使獲利最大？最大利潤是多少？（10分）如圖，在Rt$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，點O在AB上，以O為圓心，OA為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且$\angleCBD=\angleA$。（1）求證：BD是$\odotO$的切線；（2）若AD:DC=2:3，BC=10，求BD的長。（10分）如圖，拋物線$y=ax^2+bx+c$與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3)。（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，過點P作PD$\perp$x軸于點D，交直線BC于點E。當點P在第一象限時，求線段PE的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得$\triangleBCQ$是等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。（12分）已知正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，連接AE，過點E