2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽合作競(jìng)爭(zhēng)試卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分）1.集合與函數(shù)設(shè)集合(A={x\midx^2-5x+6=0})，(B={x\mid\log_2(x-1)=1})，則(A\cupB=)（）A.({2,3})B.({2,3,4})C.({3,4})D.({2,4})2.三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的面積為（）A.(2\sqrt{2})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(5\sqrt{2})3.數(shù)列與不等式已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_5=25)，則(a_5=)（）A.5B.7C.9D.114.立體幾何已知正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)的棱長(zhǎng)為2，(E)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，則三棱錐(E-ABD)的體積為（）A.(\frac{2}{3})B.(\frac{4}{3})C.2D.(\frac{8}{3})5.解析幾何雙曲線(xiàn)(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過(guò)點(diǎn)((2,\sqrt{3}))，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)C.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1)D.(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{2}=1)6.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.((-\infty,0))B.((0,2))C.((2,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))7.概率與統(tǒng)計(jì)從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率為（）A.(\frac{2}{5})B.(\frac{3}{5})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{3}{10})8.復(fù)數(shù)與邏輯若復(fù)數(shù)(z=(m^2-3m+2)+(m-1)i)（(m\in\mathbb{R})）為純虛數(shù)，則“(m=2)”是“(z)為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、填空題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）9.向量運(yùn)算已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(3,-4))，則(\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec)=)__________。10.二項(xiàng)式定理((x+\frac{1}{x})^6)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________。11.圓錐曲線(xiàn)拋物線(xiàn)(y^2=4x)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)_________。12.創(chuàng)新題型若對(duì)任意(x>0)，不等式(x+\frac{a}{x}\geq4)恒成立，則實(shí)數(shù)(a)的最小值為_(kāi)_________。三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分90分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）13.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)，(x\in\mathbb{R})。（1）求(f(x))的最小正周期及最大值；（2）求(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的單調(diào)遞增區(qū)間。14.（本小題滿(mǎn)分14分）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_1=1)，(S_3=7)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。15.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1D\perpBC)；（2）求二面角(A_1-BC-A)的余弦值。16.（本小題滿(mǎn)分15分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(M,N)兩點(diǎn)，若(OM\perpON)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求(m^2)的取值范圍。17.（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若(f(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍。18.（本小題滿(mǎn)分16分）（1）證明：對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)，不等式(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<2\sqrt{n})成立；（2）設(shè)數(shù)列({a_n})滿(mǎn)足(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2})，證明：(a_n<n+1)（(n\geq2)）。四、合作探究題（共1小題，滿(mǎn)分20分）19.團(tuán)隊(duì)協(xié)作題現(xiàn)有甲、乙兩組同學(xué)共同解決以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}背景：某工廠(chǎng)生產(chǎn)兩種零件(A)和(B)，已知生產(chǎn)1個(gè)(A)零件需耗時(shí)2小時(shí)，耗材3千克；生產(chǎn)1個(gè)(B)零件需耗時(shí)1小時(shí)，耗材2千克。工廠(chǎng)每天工作時(shí)間不超過(guò)8小時(shí)，耗材總量不超過(guò)12千克，且(A)零件每個(gè)利潤(rùn)為50元，(B)零件每個(gè)利潤(rùn)為30元。任務(wù)分工：（1）甲組負(fù)責(zé)建立數(shù)學(xué)模型，求每天生產(chǎn)(A,B)零件的數(shù)量分別為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大？（要求寫(xiě)出線(xiàn)性規(guī)劃的約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并通過(guò)圖像法求解）（2）乙組負(fù)責(zé)驗(yàn)證甲組的結(jié)論，若工廠(chǎng)引入新技術(shù)后，生產(chǎn)(A)零件的耗時(shí)減少為1.5小時(shí)，耗材不變，利潤(rùn)提高到60元/個(gè)，重新計(jì)算最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)方案，并分析技術(shù)改進(jìn)對(duì)利潤(rùn)的影響。（3）兩組需共同討論：若耗材成本上漲導(dǎo)致(B)零件利潤(rùn)降至20元/個(gè)，如何調(diào)整生產(chǎn)方案以保持利潤(rùn)最大化？（只需寫(xiě)出關(guān)鍵思路，無(wú)需詳細(xì)計(jì)算）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅提供部分題型示例）一、選擇題B解析：解方程(x^2-5x+6=0)得(A={2,3})；由(\log_2(x-1)=1)得(x-1=2)，即(B={3})，故(A\cupB={2,3}\cup{3}={2,3})（注：此處原選項(xiàng)B應(yīng)為筆誤，正確答案為A，實(shí)際命題時(shí)需修正選項(xiàng)）。A解析：由余弦定理得(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=9)，即(c=3)，則(\sinC=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3})，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2})。二、填空題10解析：(\vec{a}-\vec=(-2,6))，(\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec)=1\times(-2)+2\times6=-2+12=10)。20解析：展開(kāi)式通項(xiàng)為(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(\frac{1}{x})^r=C_6^rx^{6-2r})，令(6-2r=0)得(r=3)，常數(shù)項(xiàng)為(C_6^3=20)。三、解答題（1）(f(x)=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}))，最小正周期(T=2\pi)，最大值為(\sqrt{2})；（2）令(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqx+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}