2025年下學期高中數(shù)學競賽幾何軌跡試卷一、選擇題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E是棱A?B?的中點，點M在正方體表面上運動，若AM⊥BD?，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為（）A.√3/2B.3/2C.2D.√5/2在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AB=1，AA?=4，E為DD?中點，P為正四棱柱表面上一點，且C?P⊥BE，則點P的軌跡的長為（）A.2√5B.2+√5C.4+√5D.2√2+√5在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E、F分別是棱AA?、AB的中點，點P是正方體表面上的動點，若CP∥平面C?DEF，則點P在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為（）A.3√2B.4√2C.2+2√2D.3+√2在直三棱柱ABC-A?B?C?中，所有棱長均為4，空間內(nèi)的點H滿足HA?⊥HA，且HB?⊥HC，則滿足條件的H所形成曲線的軌跡的長度為（）A.√2πB.2√2πC.3√2πD.4√2π已知棱長為3的正四面體ABCD，E為AD的中點，動點P滿足PA=2PD，平面α經(jīng)過點P，且平面α∥平面BCE，則平面α截點P的軌跡所形成的圖形的周長為（）A.2√3B.3√3C.4√3D.5√3二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點Q為側面BB?C?C內(nèi)一動點（含邊界），若D?Q=5/2，則點Q的軌跡長度為________。在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E在棱DD?上且滿足D?E=2ED，點F是側面ABB?A?上的動點，且D?F∥平面AEC，則動點F在側面ABB?A?上的軌跡長度為________。在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動點，且BM∥平面ADC?，則動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是________。在圓柱中，AB為下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，已知∠AOC=π/3，OA=2，圓柱的高為5。若點D在圓柱表面上運動，且滿足BC·CD=0，則點D的軌跡所圍成圖形的面積為________。在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M是棱BC?的中點，點P是正方體表面上的動點。若D?M⊥CP，則點P在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為________。三、解答題（本大題共3小題，每小題20分，共60分）如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長為4，點E、F分別是棱A?D?、C?D?的中點，點P是側面BCC?B?內(nèi)（包括邊界）一動點，且DP∥平面EFG。（1）求點P的軌跡方程；（2）求點P的軌跡長度。在正三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=2，AA?=4，D、E分別為AB、AA?的中點。若側面BCC?B?的中心為O，M為側面ACC?A?內(nèi)的一個動點，且OM∥平面BDE。（1）證明：點M的軌跡是一條線段；（2）若點M的軌跡長度為3√2，求三棱柱ABC-A?B?C?的表面積。已知圓柱的底面半徑為2，高為5，AB為下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，且∠AOC=π/2。點P在圓柱表面上運動，滿足以下兩個條件：①BP⊥AC；②點P到平面ABC的距離為2。（1）判斷點P的軌跡形狀；（2）求點P的軌跡長度。四、附加題（本大題共1小題，30分）在棱長為6的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E、F分別在線段A?D?和線段AA?上，且D?E=2ED，AF=2FA?，點M是正方形BB?C?C所在平面內(nèi)一動點，若D?M∥平面FBE。（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出點M的軌跡方程；（2）在（1）的條件下，若點M同時滿足到直線BC的距離等于到點B?的距離，求點M的軌跡長度；（3）在（2）的條件下，求點M的軌跡所圍成圖形的面積。參考答案與評分標準（簡要提示）一、選擇題B2.C3.A4.B5.C二、填空題π/27.2√2/38.2√39.4π+610.2√2+√5三、解答題（1）軌跡為線段，方程略；（2）軌跡長度為4√2（1）證明略；（2）表面積為12+8√3（1）軌跡為橢圓；（2）軌跡長度為2π√5四、附加題（1）軌跡方程為2x+y-6=0（0≤x≤6，0≤y≤6）；（2）軌跡長度為√5；（3）面積為5π/4解題方法總結定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，如到定點距離等于定長的點的軌跡是圓。在正方體中，若動點到某一定點的距離為常數(shù)，則其軌跡可能是圓或圓弧。幾何法：從幾何視角入手，結合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質定理，找到動點滿足的幾何條件，進而確定軌跡形狀。例如，利用線面平行的性質定理，若直線平行于平面，則直線上任意一點到平面的距離相等。坐標法：通過建立空間直角坐標系，設出動點的坐標，將幾何條件轉化為代數(shù)方程，從而求出軌跡方程。這種方法適用于規(guī)則的幾何體，如正方體、正棱柱等。交軌法：若動點滿足的幾何條件是兩動曲線的交點，此時需要分析兩動曲線的變化，設出參數(shù)，求出兩動曲線的方程，然后消去參數(shù)，得到動點的軌跡方程。向量法：利用空間向量的坐標運算，將幾何條件轉化為向量的數(shù)量積、模長等關系，從而求出動點的軌