2025年下學期高中數(shù)學競賽邏輯問題試卷一、選擇題（共6小題，每小題5分，共30分）1.設集合(A={x\midx^2-5x+6=0})，(B={x\midx^2-ax+a-1=0})，若(B\subseteqA)，則實數(shù)(a)的取值集合為（）A.({2})B.({3})C.({2,3})D.({2,3,4})2.已知命題(p):“若(x>y)，則(x^2>y^2)”，命題(q):“若(x>y)，則(x^3>y^3)”，則下列命題中為真命題的是（）A.(p\landq)B.(p\lor(\negq))C.((\negp)\landq)D.((\negp)\land(\negq))3.某班有50名學生，其中30人參加數(shù)學競賽，25人參加物理競賽，15人同時參加數(shù)學和物理競賽，則該班既不參加數(shù)學競賽也不參加物理競賽的學生人數(shù)為（）A.5B.10C.15D.204.已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\leq0,\x^2-2x,&x>0,\end{cases})則不等式(f(x)>3)的解集為（）A.((-\infty,-1)\cup(3,+\infty))B.((-\infty,-1)\cup(1,3))C.((-1,3))D.((-1,0]\cup(3,+\infty))5.在一次數(shù)學競賽中，甲、乙、丙、丁四名同學預測自己的成績，甲說：“我不會是最后一名”，乙說：“我會是第一名”，丙說：“我不會是第一名也不會是最后一名”，丁說：“我會是最后一名”。若四人中只有一人預測錯誤，則錯誤的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁6.設(a,b,c)為正實數(shù)，且(a+b+c=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})的最小值為（）A.3B.6C.9D.12二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）7.若命題“(\existsx\in\mathbb{R},x^2+2ax+2-a=0)”是真命題，則實數(shù)(a)的取值范圍為________。8.已知集合(M={1,2,3,4})，(N={2,4,6,8})，則(M\triangleN=)________（其中(\triangle)表示集合的對稱差，即(M\triangleN=(M-N)\cup(N-M))）。9.某密碼鎖的密碼由三位數(shù)字組成，每位數(shù)字可從0~9中任選一個，若連續(xù)三次輸入錯誤密碼，則鎖會鎖定。若某人忘記了密碼，但記得密碼中不含重復數(shù)字且各位數(shù)字之和為10，則他最多嘗試________次就能確保打開鎖。10.已知(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且當(x>0)時，(f(x)=2^x-1)，則(f(f(-1))=)________。11.現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色的卡片各5張，從中任取3張，要求三種顏色都至少有一張，則不同的取法共有________種。12.若對于任意(x\in[1,2])，不等式(x^2-ax+3\geq0)恒成立，則實數(shù)(a)的最大值為________。三、解答題（共5小題，共90分）13.（16分）已知集合(A={x\mid\log_2(x-1)<2})，(B={x\midx^2-5x+6\leq0})。（1）求(A\cupB)和(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B))；（2）若集合(C={x\midm-1\leqx\leq2m+1})，且(C\subseteqA)，求實數(shù)(m)的取值范圍。14.（18分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+a^2-1)，其中(a\in\mathbb{R})。（1）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,2])上的最小值為3，求(a)的值；（2）若對于任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，求(a)的取值范圍。15.（20分）某學校組織數(shù)學、物理、化學三個學科的競賽，每個學科競賽均設一、二、三等獎各一名?，F(xiàn)有甲、乙、丙等6名學生參賽，每個獎項只能由一名學生獲得，且每名學生最多獲得一個獎項。（1）求甲獲得數(shù)學一等獎的概率；（2）求甲、乙、丙三人恰好獲得兩個學科獎項的概率；（3）若一等獎獎金500元，二等獎300元，三等獎200元，求所有獎項獎金總和的分布列及數(shù)學期望。16.（20分）已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)。（1）求不等式(f(x)\leq5)的解集；（2）若關于(x)的不等式(f(x)\geqa^2-2a)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求實數(shù)(a)的取值范圍；（3）設(m,n>0)，且(m+n=1)，求證：(f(x)\geq\frac{4}{m}+\frac{1}{n})。17.（16分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（3）設(b_n=\frac{n}{a_n+1})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。四、附加題（共2小題，每小題20分，共40分，不計入總分，供學有余力的學生選做）18.已知(a,b,c)為正實數(shù)，且(a+b+c=1)，求證：（1）(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9)；（2）(a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3})；（3）(\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}\leq\sqrt{3})。19.現(xiàn)有5名學生參加一項智力競賽，競賽規(guī)則如下：每人從1~10中隨機選擇一個整數(shù)作為自己的“密碼”，若5人的密碼互不相同且總和為20，則可獲得一等獎。求獲得一等獎的概率。參考答案及評分標準（部分提示）一、選擇題C2.C3.B4.A5.B6.C二、填空題7.((-\infty,-2]\cup[1,+\infty))8.{1,3,6,8}9.1610.111.7512.4三、解答題13.（1）(A\cupB=(1,5))，(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=(1,2)\cup(3,5))；（2）(m<-1)或(2<m<2)（此處需分(C=\varnothing)和(C\neq\varnothing)討論）。14.（1）(a=-1)或(a=3)；（2）(0\leqa\leq2)。15.（1）(\frac{1}{6})；（2）(\frac{15}{56})；（3）獎金總和的數(shù)學期望為2700元。16.（1）([-3,2])；（2）([-1,3])；（3）利用柯西不等式證明(\frac{4}{m}+\frac{1}{n}\leq9)，結合(f(x))的最小值為3（此處需修正：(f(x))的最小值為3，而(\frac{4}{m}+\frac{1}{n})的最大值為9，需重新論證）。17.（1）略；（2）(a_n=2^n-1)；（3）(S_n=2-\frac{n+2}{2^n})。附加題18.均利用基本不等式證明；19.一等獎的概率為(\frac{1}{1