2025年下學(xué)期初中inquiry學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、情境探究題（共30分）（一）校園改造中的幾何應(yīng)用（15分）背景材料：某校計(jì)劃對校園內(nèi)一塊直角三角形空地進(jìn)行綠化改造，已知該空地的兩條直角邊長分別為6米和8米，斜邊上有一個(gè)半徑為1米的圓形花壇（圓心位于斜邊中點(diǎn)）。學(xué)校要求在剩余區(qū)域種植草坪，并在三角形三邊外圍鋪設(shè)1米寬的塑膠跑道。探究任務(wù)：計(jì)算與推理（1）通過勾股定理計(jì)算斜邊長度，并驗(yàn)證斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離關(guān)系；（2）用分割法求圓形花壇的面積占空地總面積的百分比（π取3.14，結(jié)果保留一位小數(shù)）。方案設(shè)計(jì)（1）若塑膠跑道每平方米造價(jià)為120元，草坪每平方米造價(jià)為80元，計(jì)算整個(gè)工程的總造價(jià)；（2）請?jiān)谧鴺?biāo)系中建立模型（以直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直角邊為坐標(biāo)軸），寫出斜邊所在直線的函數(shù)解析式，并求出跑道外沿各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。（二）社區(qū)人口數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（15分）背景材料：某社區(qū)為優(yōu)化養(yǎng)老服務(wù)，收集了2020-2024年常住人口年齡分布數(shù)據(jù)（如下表）：年份0-14歲（%）15-64歲（%）65歲及以上（%）總?cè)丝冢ㄈ耍?02018.268.513.312500202117.867.914.312800202217.567.215.313100202317.166.516.413400202416.865.717.513700探究任務(wù)：數(shù)據(jù)處理（1）計(jì)算2024年該社區(qū)65歲及以上人口數(shù)量，并繪制2020-2024年老年人口數(shù)量變化折線圖（要求標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)據(jù)）；（2）用加權(quán)平均法預(yù)測2025年65歲及以上人口的百分比（假設(shè)每年下降幅度保持一致）。問題解決（1）若社區(qū)計(jì)劃新建老年活動中心，按每100位老人配備20平方米活動面積計(jì)算，2025年需規(guī)劃多少平方米的活動場地？（2）結(jié)合數(shù)據(jù)趨勢，分析該社區(qū)未來5年養(yǎng)老服務(wù)需求的變化特點(diǎn)，并提出一條合理化建議。二、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)題（共40分）（一）家庭用電優(yōu)化方案（20分）背景材料：某家庭記錄了2025年9月的用電量數(shù)據(jù)：基礎(chǔ)電費(fèi)：0.56元/千瓦時(shí)（月用電量≤200千瓦時(shí)）階梯電價(jià)：超過200千瓦時(shí)的部分按0.61元/千瓦時(shí)計(jì)費(fèi)該家庭9月用電量為280千瓦時(shí)，其中峰時(shí)（8:00-22:00）用電占比60%，谷時(shí)（22:00-次日8:00）用電占比40%。若安裝智能電表，峰時(shí)電價(jià)為0.58元/千瓦時(shí)，谷時(shí)電價(jià)為0.38元/千瓦時(shí)。探究任務(wù)：成本對比（1）分別計(jì)算使用普通電表和智能電表的9月電費(fèi)差額；（2）若智能電表安裝費(fèi)用為300元，估算多少個(gè)月可收回成本（假設(shè)每月用電量及峰谷占比不變）。節(jié)能方案（1）設(shè)計(jì)一個(gè)家庭節(jié)能計(jì)劃，要求通過調(diào)整峰谷用電比例使每月電費(fèi)降低10%，計(jì)算需將谷時(shí)用電占比提高至多少（精確到1%）；（2）結(jié)合函數(shù)圖像分析：當(dāng)谷時(shí)用電占比x（0≤x≤1）變化時(shí)，智能電表電費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出y的最小值。（二）校園藝術(shù)節(jié)的統(tǒng)籌規(guī)劃（20分）背景材料：某校舉辦藝術(shù)節(jié)，需從初二年級選拔120名學(xué)生組成三個(gè)表演方陣：舞蹈隊(duì)（40人）、合唱隊(duì)（50人）、器樂隊(duì)（30人）。要求：每個(gè)方陣至少有2名指導(dǎo)老師，總指導(dǎo)老師不超過10人；舞蹈隊(duì)服裝每套80元，合唱隊(duì)每套60元，器樂隊(duì)每套100元，服裝總預(yù)算不超過8000元；排練時(shí)間安排在每周一至周五下午，每個(gè)方陣每周至少排練2次，每次排練1小時(shí)，各方陣排練時(shí)間不沖突。探究任務(wù)：資源分配（1）設(shè)舞蹈隊(duì)、合唱隊(duì)、器樂隊(duì)的指導(dǎo)老師人數(shù)分別為x、y、z，列出滿足條件的不等式組，并求出所有可能的正整數(shù)解；（2）在服裝預(yù)算范圍內(nèi)，若舞蹈隊(duì)增加5人，器樂隊(duì)減少5人，計(jì)算是否超出預(yù)算，并說明理由。時(shí)間規(guī)劃（1）用列表法設(shè)計(jì)一周的排練時(shí)間表（每天可安排3個(gè)時(shí)段：16:00-17:00，17:00-18:00，18:00-19:00）；（2）若合唱隊(duì)需額外增加1次排練，且只能安排在16:00-17:00時(shí)段，有多少種不同的調(diào)整方案？三、跨學(xué)科實(shí)踐題（共30分）（一）橋梁承重與函數(shù)模型（15分）背景材料：某小組研究橋梁承重問題，通過實(shí)驗(yàn)得出：一根長度為L（米）的矩形截面橫梁，其最大承重W（千克）與截面寬度a（厘米）、高度h（厘米）的關(guān)系為W=k·a·h2/L（k為常數(shù)）。當(dāng)a=10cm，h=20cm，L=2m時(shí)，W=800kg。探究任務(wù)：模型建立（1）求常數(shù)k的值，并寫出W關(guān)于a、h、L的函數(shù)表達(dá)式；（2）若保持截面面積（a·h）不變，探究h為何值時(shí)W最大（用含a的代數(shù)式表示）。工程應(yīng)用（1）現(xiàn)有一根長4m的橫梁，截面寬度為15cm，要使承重達(dá)到1200kg，截面高度至少需要多少厘米？（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識（選做）：證明當(dāng)h=2a時(shí)，橫梁的“承重-材料比”（W/(a·h·L)）最大。（二）環(huán)保行動中的數(shù)據(jù)分析（15分）背景材料：某班級開展“垃圾分類”實(shí)踐活動，記錄了四周的可回收物回收量（單位：kg）：第一周：12，15，10，8，14，9，11（對應(yīng)周一至周日）第二周：14，16，12，10，15，11，13第三周：16，18，14，12，17，13，15第四周：18，20，16，14，19，15，17探究任務(wù)：趨勢分析（1）計(jì)算每周的平均回收量和方差，分析回收量的穩(wěn)定性變化；（2）用線性回歸法預(yù)測第五周周一的回收量（參考公式：回歸方程y=bx+a，其中b=(nΣxy-ΣxΣy)/(nΣx2-(Σx)2)）。實(shí)踐反思（1）若每千克可回收物可轉(zhuǎn)化為0.8元收益，第四周比第一周多獲得多少收益？（2）結(jié)合數(shù)據(jù)變化，提出兩條提高回收量的具體措施，并說明其數(shù)學(xué)依據(jù)。四、開放創(chuàng)新題（共20分）主題：“數(shù)學(xué)+生活”創(chuàng)意設(shè)計(jì)要求：選擇生活中的一個(gè)場景（如購物、出行、游戲等），發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問題；建立至少2個(gè)不同的數(shù)學(xué)模型（如方程、函數(shù)、概率、幾何等）進(jìn)行分析；設(shè)計(jì)一個(gè)可操作的解決方案，并通過數(shù)據(jù)或推理驗(yàn)證其有效性。示例方向：外賣配送路線的最短路徑優(yōu)化（幾何+圖論）家庭月度預(yù)算的動態(tài)平衡模型（函數(shù)+不等式）校園共享單車的投放量預(yù)測（統(tǒng)計(jì)+概率）（注：本題需寫出問題背景、模型假設(shè)、分析過程、解決方案及驗(yàn)證步驟，字?jǐn)?shù)不少于300字）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分示例）一、情境探究題（一）（1）斜邊長度=√(62+82)=10米，斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離均為5米（直角三角形斜邊中線定理）；（2）空地面積=24平方米，花壇面積=3.14平方米，占比≈13.1%。（1）跑道面積=直角三角形外圍擴(kuò)展面積+三個(gè)角的扇形面積（拼成一個(gè)半徑1米的圓）=（6+2）×（8+2）/2-24+3.14×12=40-24+3.14=19.14平方米，總造價(jià)=19.14×120+（24-3.14）×80≈4166.4元。二、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)題（一）（1）普通電表電費(fèi)=200×0.56+80×0.61=112+48.8=160.8元；智能電表電費(fèi)=280×60%×0.58+280×40%×0.38=97.44+42.56=140元，差額=20.8元；（2）收回成本月數(shù)=300÷20.8≈14.4個(gè)月，即15