2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與空間思維測評試卷一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知空間向量a=(2,-1,3)，b=(1,2,-4)，則a·b的值為（）A.-8B.-10C.10D.8在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長為2，則異面直線A?B與B?C所成角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/3D.1/3已知平面α的一個法向量為n=(3,-4,5)，點P(2,1,-1)在平面α上，則點Q(1,0,1)到平面α的距離為（）A.√2/2B.√2C.3√2/2D.2√2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π在空間直角坐標(biāo)系中，球面方程為x2+y2+z2-2x+4y-6z=0，則球心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.(1,-2,3)，√14B.(-1,2,-3)，√14C.(1,-2,3)，14D.(-1,2,-3)，14已知直線l的方向向量為s=(1,-1,2)，平面α的法向量為n=(2,λ,-1)，若l⊥α，則λ的值為（）A.-1B.0C.1D.2三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，則三棱錐外接球的表面積為（）A.3πB.4πC.5πD.6π已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為15π，則該圓錐的體積為（）A.12πB.16πC.18πD.20π在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,0,2)關(guān)于平面xOz對稱的點B與點C(2,1,1)之間的距離為（）A.√3B.√5C.√6D.√10已知正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為3，則其側(cè)面積為（）A.12√10B.18√10C.24√10D.36√10如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠ACB=90°，AC=BC=AA?=1，則直線A?B與平面BB?C?C所成角的正切值為（）A.√2/2B.√3/3C.√5/5D.√6/6已知點M在球O的表面上，過M的三條棱MA,MB,MC兩兩垂直，且MA=1,MB=2,MC=3，則球O的表面積為（）A.14πB.28πC.56πD.112π二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知空間向量a=(m,1,-2)，b=(2,n,1)，若a//b，則m+n=________.正三棱柱ABC-A?B?C?的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則異面直線A?C與B?A所成角的大小為________.某幾何體的三視圖由一個三角形和三個半徑為1的半圓組成，則該幾何體的表面積為________.在四面體ABCD中，AB=CD=√5，AC=BD=√10，AD=BC=√13，則四面體的體積為________.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知空間三點A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3).（1）求向量AB與AC的夾角余弦值；（2）求平面ABC的一個法向量.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E為PD的中點.（1）求證：AE//平面PBC；（2）求直線PC與平面AEC所成角的正弦值.19.（本小題滿分12分）已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正四棱柱的表面積為24，求正四棱柱體積的最大值.20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，M為A?B?的中點.（1）求證：CM⊥平面A?BC；（2）求二面角A?-BC-M的余弦值.21.（本小題滿分12分）已知圓錐SO的底面半徑為2，母線長為4，點A,B在底面圓周上，且∠AOB=120°（O為底面圓心）.（1）求圓錐的體積；（2）求點S到直線AB的距離；（3）求異面直線SA與OB所成角的余弦值.22.（本小題滿分12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E,F分別在棱A?D?,C?D?上，且A?E=C?F=λ（0<λ<2）.（1）當(dāng)λ=1時，求三棱錐B?-EFD的體積；（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面B?EF？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項選擇題B2.D3.C4.A5.A6.C7.A8.A9.B10.A11.C12.B二、填空題-314.60°15.5π16.8三、解答題17.（1）AB=(-1,2,0)，AC=(-1,0,3)，cosθ=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)=1/(√5·√10)=√2/10.（2）設(shè)法向量n=(x,y,z)，由n·AB=0且n·AC=0，得-x+2y=0，-x+3z=0，取x=6，則n=(6,3,2).18.（1）取PC中點F，連接EF,BF，可證四邊形ABFE為平行四邊形，得AE//BF，進而證AE//平面PBC.（2）以A為原點建立坐標(biāo)系，PC=(4,2,-2)，平面AEC的法向量n=(1,-2,-2)，sinθ=|PC·n|/(|PC|·|n|)=√6/9.設(shè)正四棱柱底面邊長為a，高為h，則2a2+4ah=24，體積V=a2h.由a2+2ah=12得h=(12-a2)/(2a)，代入V=a(12-a2)/2=6a-a3/2.求導(dǎo)得V'=6-3a2/2，令V'=0得a=2，此時h=2，Vmax=8.20.（1）以A為原點建立坐標(biāo)系，CM=(1,-2,2)，A?B=(2,0,-2)，A?C=(0,2,-2)，可證CM·A?B=0且CM·A?C=0.（2）平面A?BC的法向量n?=(1,1,1)，平面MBC的法向量n?=(2,2,1)，cosθ=(n?·n?)/(|n?|·|n?|)=5√3/9.21.（1）圓錐高h=√(42-22)=2√3，體積V=(1/3)πr2h=(8√3/3)π.（2）AB=2√3，點O到AB距離為1，點S到AB距離為√(h2+12)=√13.（3）以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系，SA=(1,√3,-2√3)，OB=(-1,√3,0)，cosθ=|SA·OB|/(|SA|·|OB|)=1/4.22.（1）λ=1時，E(1,0,2)，F(xiàn)(0,1,2)，D(0,2,0)，DE=(1,-2,2)，DF=(0,-1,2)，體積V=(1/6)|DE·(DF×DB?)|=2/3.（2）平面BEF的法向量