2025年國(guó)家開(kāi)放大學(xué)《線性代數(shù)與解析幾何》期末考試備考題庫(kù)及答案解析所屬院校：________姓名：________考場(chǎng)號(hào)：________考生號(hào)：________一、選擇題1.在二維空間中，向量（1，2）和向量（2，4）的關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.不平行也不垂直D.無(wú)法確定答案：A解析：兩個(gè)向量平行的條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例。對(duì)于向量（1，2）和向量（2，4），有2/1=4/2=2，因此它們是平行的。2.矩陣A=（1，2；3，4）的轉(zhuǎn)置矩陣A^T是（）A.（1，3；2，4）B.（2，4；1，3）C.（1，2；3，4）D.（4，2；3，1）答案：A解析：矩陣的轉(zhuǎn)置是將矩陣的行變成列，列變成行。所以矩陣A=（1，2；3，4）的轉(zhuǎn)置矩陣A^T是（1，3；2，4）。3.一個(gè)四階行列式的值是6，那么它的伴隨矩陣的行列式值是（）A.6B.36C.1/6D.24答案：D解析：伴隨矩陣的行列式等于原行列式方陣的行列式的平方除以原行列式。所以伴隨矩陣的行列式值是6^2/6=24。4.在三維空間中，向量（1，0，0）的方向余弦是（）A.（1，0，0）B.（0，1，0）C.（0，0，1）D.（1，1，1）答案：A解析：方向余弦是向量與坐標(biāo)軸的夾角的余弦值。向量（1，0，0）與x軸的夾角為0度，余弦值為1，與y軸和z軸的夾角為90度，余弦值為0。5.一個(gè)三階矩陣A的秩為2，那么矩陣A的行向量組是（）A.線性相關(guān)B.線性無(wú)關(guān)C.可能相關(guān)可能無(wú)關(guān)D.無(wú)法確定答案：A解析：矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。如果秩為2，說(shuō)明行向量組中只有兩個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的，其余向量都可以由這兩個(gè)向量線性表示，因此行向量組是線性相關(guān)的。6.方程x^2+y^2=1表示的圖形是（）A.拋物線B.橢圓C.直線D.圓答案：D解析：方程x^2+y^2=1表示的是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓。7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1，2，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是（）A.（1，-2，-3）B.（-1，2，-3）C.（-1，-2，3）D.（-1，-2，-3）答案：D解析：點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，其y坐標(biāo)不變，x和z坐標(biāo)取相反數(shù)。所以點(diǎn)（1，2，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是（-1，2，-3）。8.一個(gè)平面方程Ax+By+Cz+D=0中，如果D=0，那么這個(gè)平面一定經(jīng)過(guò)（）A.原點(diǎn)B.x軸C.y軸D.z軸答案：A解析：如果D=0，那么將原點(diǎn)（0，0，0）代入平面方程，得到A*0+B*0+C*0+D=0，即D=0。所以原點(diǎn)在平面上。9.一個(gè)球面方程x^2+y^2+z^2+2x-4y+2z=0的球心是（）A.（-1，2，-1）B.（1，-2，1）C.（-1，-2，1）D.（1，2，-1）答案：A解析：球面方程的一般形式是（x-a）^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2。將給定的球面方程配方可得（x+1）^2+(y-2)^2+(z-1)^2=2^2，所以球心是（-1，2，-1）。10.空間曲線L：x=t，y=t^2，z=t^3在點(diǎn)（1，1，1）處的切線方向向量是（）A.（1，1，1）B.（1，2，3）C.（0，1，2）D.（1，0，0）答案：B解析：空間曲線L的參數(shù)方程為x=t，y=t^2，z=t^3。在點(diǎn)（1，1，1）處，t=1。曲線的切線方向向量是參數(shù)方程對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，即（dx/dt，dy/dt，dz/dt）=（1，2t，3t^2）=（1，2，3）。11.設(shè)向量a=(1，2，-1)，向量b=(2，-3，1)，則向量a與向量b的向量積是（）A.(5，-1，-7)B.(-5，1，7)C.(1，-5，7)D.(7，-1，-5)答案：B解析：向量積的計(jì)算公式為a×b=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)。代入a=(1，2，-1)，b=(2，-3，1)得a×b=(2*1-(-1)*(-3),(-1)*2-1*1,1*(-3)-2*2)=(2-3,-2-1,-3-4)=(-1,-3,-7)。因此向量積是(-5，1，7)。12.矩陣A=（1，0，0；0，2，0；0，0，3）是一個(gè)對(duì)角矩陣，它的特征值是（）A.1，2，3B.1，0，0C.0，2，3D.3，2，1答案：A解析：對(duì)角矩陣的特征值等于其對(duì)角線上的元素。所以矩陣A=（1，0，0；0，2，0；0，0，3）的特征值是1，2，3。13.一個(gè)n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=I，那么矩陣A是（）A.可逆矩陣B.不可逆矩陣C.對(duì)角矩陣D.單位矩陣答案：A解析：根據(jù)可逆矩陣的定義，如果存在一個(gè)矩陣B使得AB=BA=I（I是單位矩陣），則矩陣A是可逆的。14.在線性空間R^3中，向量（1，1，1）和向量（1，0，0）的線性組合可以表示（）A.R^3中的任何向量B.平面x=y上的任何向量C.過(guò)原點(diǎn)的直線上的任何向量D.x軸上的任何向量答案：C解析：向量（1，1，1）和向量（1，0，0）的線性組合為t（1，1，1）+s（1，0，0）=（t+s，t，t）。要使線性組合能表示R^3中的任何向量（x，y，z），必須滿足t+s=x，t=y，t=z。解得t=y=z，s=x-y。這意味著t和s可以取任意值，只要滿足s=x-y。這表示所有滿足x=y的向量（x，y，z）都可以由這兩個(gè)向量的線性組合表示，即過(guò)原點(diǎn)的直線x=y上的任何向量。15.方程z=x^2+y^2表示的圖形是（）A.拋物面B.橢球面C.圓柱面D.球面答案：A解析：方程z=x^2+y^2表示的是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的拋物面，開(kāi)口向上。16.過(guò)點(diǎn)（1，2，3）且平行于向量（1，-1，2）的直線方程是（）A.x=1，y=2，z=3B.x=1+t，y=2-t，z=3+2tC.x=1-t，y=2+t，z=3-2tD.x=1，y=2+t，z=3+2t答案：B解析：過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0，z0)且平行于向量v=(a，b，c)的直線方程為x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct。將點(diǎn)（1，2，3）和向量（1，-1，2）代入得x=1+t，y=2-t，z=3+2t。17.平面x+y+z=1在z軸上的截距是（）A.1B.-1C.0D.3答案：A解析：平面在z軸上的截距是指平面與z軸的交點(diǎn)的z坐標(biāo)。將x=0，y=0代入平面方程x+y+z=1得z=1。所以平面x+y+z=1在z軸上的截距是1。18.球面x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z=0的球心是（）A.(1，-2，3)B.(1，2，-3)C.(-1，-2，3)D.(1，-2，-3)答案：D解析：球面方程的一般形式是（x-a）^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2。將給定的球面方程配方可得（x-1）^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16，所以球心是（1，-2，-3）。19.拋物線y=x^2在點(diǎn)（1，1）處的法線方程是（）A.y=1B.x=1C.y=-x+2D.y=x答案：C解析：拋物線y=x^2在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率是dy/dx|x=1=2x|x=1=2。所以法線的斜率是切線斜率的負(fù)倒數(shù)，即-1/2。法線方程為y-y1=(-1/2)(x-x1)，代入點(diǎn)（1，1）得y-1=(-1/2)(x-1)，即y=-x/2+1/2+1，整理得y=-x/2+3/2，即y=-x+2。20.雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的漸近線方程是（）A.y=±(b/a)xB.y=±(a/b)xC.x=±(a/b)yD.x=±(b/a)y答案：A解析：雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的漸近線方程是y=±(b/a)x。二、多選題1.下列向量中，與向量（1，1，1）線性相關(guān)的有（）A.（1，2，3）B.（2，3，4）C.（-1，-1，-1）D.（1，0，0）答案：ABC解析：向量a與向量b線性相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)k1，k2，使得k1a+k2b=0。對(duì)于向量（1，1，1），有k1（1，1，1）+k2（1，0，0）=（k1+k2，k1，k1）=（0，0，0）。解得k1+k2=0且k1=0，所以k1=0，k2=0，這意味著向量（1，0，0）與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)。對(duì)于向量（1，2，3），有k1（1，1，1）+k2（1，2，3）=（k1+k2，k1+2k2，k1+3k2）=（0，0，0）。解得k1+k2=0，k1+2k2=0，k1+3k2=0。從前兩個(gè)方程解得k1=k2=0，所以向量（1，2，3）與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)。對(duì)于向量（2，3，4），有k1（1，1，1）+k2（2，3，4）=（k1+2k2，k1+3k2，k1+4k2）=（0，0，0）。解得k1+2k2=0，k1+3k2=0，k1+4k2=0。從前兩個(gè)方程解得k1=k2=0，所以向量（2，3，4）與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)。對(duì)于向量（-1，-1，-1），有k1（1，1，1）+k2（-1，-1，-1）=（k1-k2，k1-k2，k1-k2）=（0，0，0）。解得k1=k2，取k1=1，k2=1，不全為零，所以向量（-1，-1，-1）與向量（1，1，1）線性相關(guān)。因此，與向量（1，1，1）線性相關(guān)的有向量（-1，-1，-1）。2.下列方程中，表示旋轉(zhuǎn)拋物面的有（）A.x^2+y^2-z=0B.x^2-y^2+z=0C.z=x^2+y^2D.x^2-y^2=x^2+y^2答案：AC解析：旋轉(zhuǎn)拋物面是指一個(gè)拋物面圍繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面。方程z=x^2+y^2表示的是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn)拋物面，開(kāi)口向上。方程x^2+y^2-z=0可以寫(xiě)成z=x^2+y^2，這也是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn)拋物面，開(kāi)口向上。方程x^2-y^2+z=0表示的是一個(gè)雙曲拋物面。方程x^2-y^2=x^2+y^2可以化簡(jiǎn)為y^2=0，即y=0，表示一個(gè)平面。因此，表示旋轉(zhuǎn)拋物面的方程有z=x^2+y^2和x^2+y^2-z=0。3.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.階梯矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)形B.非零向量一定線性無(wú)關(guān)C.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)D.齊次線性方程組一定有零解答案：CD解析：階梯矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換可以化為行最簡(jiǎn)形，不一定能化為標(biāo)準(zhǔn)形，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)形要求所有非零行的首非零元所在的列都為1，并且首非零元所在的列的其他元素都為0，這通常需要初等列變換。非零向量不一定是線性無(wú)關(guān)的，例如二維空間中的向量（1，0）和（2，0）都是非零向量，但它們是線性相關(guān)的，因?yàn)?（1，0）=（2，0）。矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)，這是矩陣秩的定義。齊次線性方程組是指常數(shù)項(xiàng)都為0的線性方程組，根據(jù)齊次線性方程組的解的性質(zhì)，它至少有一個(gè)零解，即所有未知數(shù)都為0的解。因此，正確的說(shuō)法有矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)和齊次線性方程組一定有零解。4.下列向量中，與向量（1，1，0）和向量（0，1，1）都正交的有（）A.（1，-1，0）B.（1，1，1）C.（0，1，-1）D.（-1，1，1）答案：ACD解析：向量a與向量b正交，當(dāng)且僅當(dāng)它們的數(shù)量積為0，即a·b=0。對(duì)于向量（1，1，0）和向量（0，1，1），有（1，1，0）·（0，1，1）=1*0+1*1+0*1=1≠0，所以它們不正交。因此，不存在與向量（1，1，0）和向量（0，1，1）都正交的向量。選項(xiàng)A、C、D、B中，只有選項(xiàng)B的向量（1，1，1）與向量（1，1，0）和向量（0，1，1）的數(shù)量積都不為0，所以它們不正交。因此，正確答案為空集。5.下列矩陣中，可逆矩陣的有（）A.（1，2；3，4）B.（1，0；0，0）C.（2，3；3，4）D.（-1，0；0，1）答案：AD解析：一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為0。計(jì)算行列式得：|（1，2；3，4）|=1*4-2*3=-2≠0，所以矩陣（1，2；3，4）可逆；|（1，0；0，0）|=1*0-0*0=0，所以矩陣（1，0；0，0）不可逆；|（2，3；3，4）|=2*4-3*3=-1≠0，所以矩陣（2，3；3，4）可逆；|（-1，0；0，1）|=(-1)*1-0*0=-1≠0，所以矩陣（-1，0；0，1）可逆。因此，可逆矩陣有矩陣（1，2；3，4）和矩陣（-1，0；0，1）。6.下列方程中，表示橢球面的有（）A.x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1B.x^2+y^2+z^2=1C.x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1D.x^2-y^2+z^2=1答案：AB解析：橢球面是指一個(gè)橢球圍繞其中心旋轉(zhuǎn)形成的曲面。方程x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1表示的是一個(gè)橢球面，其中a、b、c是橢球的三個(gè)半軸長(zhǎng)。方程x^2+y^2+z^2=1表示的是一個(gè)以原點(diǎn)為中心，半徑為1的球面，也可以看作是橢球面在a=b=c=1時(shí)的特殊情況。方程x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1表示的是一個(gè)單葉雙曲面。方程x^2-y^2+z^2=1表示的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。因此，表示橢球面的方程有x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1和x^2+y^2+z^2=1。7.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.向量組的秩等于其最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)B.如果向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，那么其中任意一個(gè)向量都可以由其他向量線性表示C.齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間D.非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩答案：ACD解析：向量組的秩是指向量組中最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)，這是向量組秩的定義，所以說(shuō)法A正確。如果向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，那么其中任意一個(gè)向量都不能由其他向量線性表示，因?yàn)槿绻嬖谝粋€(gè)向量可以由其他向量線性表示，那么這個(gè)向量組就是線性相關(guān)的，與線性無(wú)關(guān)矛盾，所以說(shuō)法B錯(cuò)誤。齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間，這是因?yàn)辇R次線性方程組的解集對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，所以說(shuō)法C正確。非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，這是線性方程組有解的判別定理，所以說(shuō)法D正確。因此，正確的說(shuō)法有向量組的秩等于其最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)、齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間和非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。8.下列曲面中，是旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.橢圓柱面B.雙曲柱面C.橢球面D.拋物柱面答案：C解析：旋轉(zhuǎn)曲面是指一個(gè)平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。橢圓柱面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸或短軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。雙曲柱面是由一條雙曲線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。橢球面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸、短軸或其上任一條直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。拋物柱面是由一條拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。因此，是旋轉(zhuǎn)曲面的有橢圓柱面、雙曲柱面、橢球面和拋物柱面。但由于題目要求選擇所有正確的選項(xiàng)，而選項(xiàng)C是橢球面，它是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸、短軸或其上任一條直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，所以選項(xiàng)C是正確的。其他選項(xiàng)也是旋轉(zhuǎn)曲面，但題目只要求選擇一個(gè)選項(xiàng)，所以選擇C。9.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.矩陣的秩是矩陣行向量組的秩B.如果向量組a1，a2，…，an線性相關(guān)，那么其中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表示C.非齊次線性方程組Ax=b的解集不構(gòu)成向量空間D.齊次線性方程組Ax=0的解集只包含零向量答案：ABC解析：矩陣的秩是矩陣行向量組的秩，也是矩陣列向量組的秩，這是矩陣秩的定義，所以說(shuō)法A正確。如果向量組a1，a2，…，an線性相關(guān)，那么存在不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0。如果k1≠0，那么a1可以由其他向量線性表示，即a1=-(k2/k1)a2-…-(kn/k1)an。如果k1=0，那么存在一個(gè)kj≠0，使得kjaj+…+kinkn=0，那么aj可以由其他向量線性表示，即aj=-(k1/kj)a1-…-(kn/kj)an。因此，說(shuō)法B正確。非齊次線性方程組Ax=b的解集不構(gòu)成向量空間，因?yàn)榉驱R次線性方程組的解集對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉。例如，如果x1和x2是非齊次線性方程組Ax=b的解，那么Ax1=b，Ax2=b，但A(x1+x2)=Ax1+Ax2=b+b=2b≠b，所以x1+x2不是Ax=b的解。因此，說(shuō)法C正確。齊次線性方程組Ax=0的解集只包含零向量，當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組只有零解。如果齊次線性方程組有非零解，那么其解集包含非零向量，所以說(shuō)法D錯(cuò)誤。因此，正確的說(shuō)法有矩陣的秩是矩陣行向量組的秩、如果向量組a1，a2，…，an線性相關(guān)，那么其中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表示和非齊次線性方程組Ax=b的解集不構(gòu)成向量空間。10.下列方程中，表示拋物柱面的有（）A.z=x^2B.y=x^2C.x=2y^2D.z=3y^2答案：ABCD解析：拋物柱面是指一個(gè)拋物線繞其對(duì)稱軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。方程z=x^2表示的是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向上。方程y=x^2表示的是一個(gè)以y軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向上。方程x=2y^2表示的是一個(gè)以x軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向右。方程z=3y^2表示的是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向上。因此，表示拋物柱面的方程有z=x^2、y=x^2、x=2y^2和z=3y^2。11.下列向量中，與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)的有（）A.（1，2，3）B.（2，3，4）C.（-1，-1，-1）D.（1，0，0）答案：ABD解析：向量a與向量b線性無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)不存在不全為零的常數(shù)k1，k2，使得k1a+k2b=0。對(duì)于向量（1，1，1），有k1（1，1，1）+k2（1，0，0）=（k1+k2，k1，k1）=（0，0，0）。解得k1+k2=0且k1=0，所以k1=0，k2=0，這意味著向量（1，0，0）與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)。對(duì)于向量（1，2，3），有k1（1，1，1）+k2（1，2，3）=（k1+k2，k1+2k2，k1+3k2）=（0，0，0）。解得k1+k2=0，k1+2k2=0，k1+3k2=0。從前兩個(gè)方程解得k1=k2=0，所以向量（1，2，3）與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)。對(duì)于向量（2，3，4），有k1（1，1，1）+k2（2，3，4）=（k1+2k2，k1+3k2，k1+4k2）=（0，0，0）。解得k1+2k2=0，k1+3k2=0，k1+4k2=0。從前兩個(gè)方程解得k1=k2=0，所以向量（2，3，4）與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)。對(duì)于向量（-1，-1，-1），有k1（1，1，1）+k2（-1，-1，-1）=（k1-k2，k1-k2，k1-k2）=（0，0，0）。解得k1=k2，取k1=1，k2=1，不全為零，所以向量（-1，-1，-1）與向量（1，1，1）線性相關(guān)。因此，與向量（1，1，1）線性無(wú)關(guān)的有向量（1，2，3）、向量（2，3，4）和向量（1，0，0）。12.下列曲面中，是旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.橢圓柱面B.雙曲柱面C.橢球面D.拋物柱面答案：CD解析：旋轉(zhuǎn)曲面是指一個(gè)平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。橢圓柱面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸或短軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，不是旋轉(zhuǎn)曲面。雙曲柱面是由一條雙曲線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，不是旋轉(zhuǎn)曲面。橢球面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸、短軸或其上任一條直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，是旋轉(zhuǎn)曲面。拋物柱面是由一條拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，是旋轉(zhuǎn)曲面。因此，是旋轉(zhuǎn)曲面的有橢球面和拋物柱面。13.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.向量組的秩等于其最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)B.如果向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，那么其中任意一個(gè)向量都可以由其他向量線性表示C.齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間D.非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩答案：ACD解析：向量組的秩是指向量組中最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)，這是向量組秩的定義，所以說(shuō)法A正確。如果向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，那么其中任意一個(gè)向量都不能由其他向量線性表示，因?yàn)槿绻嬖谝粋€(gè)向量可以由其他向量線性表示，那么這個(gè)向量組就是線性相關(guān)的，與線性無(wú)關(guān)矛盾，所以說(shuō)法B錯(cuò)誤。齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間，這是因?yàn)辇R次線性方程組的解集對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，所以說(shuō)法C正確。非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，這是線性方程組有解的判別定理，所以說(shuō)法D正確。因此，正確的說(shuō)法有向量組的秩等于其最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)、齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間和非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。14.下列方程中，表示橢球面的有（）A.x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1B.x^2+y^2+z^2=1C.x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1D.x^2-y^2+z^2=1答案：AB解析：橢球面是指一個(gè)橢球圍繞其中心旋轉(zhuǎn)形成的曲面。方程x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1表示的是一個(gè)橢球面，其中a、b、c是橢球的三個(gè)半軸長(zhǎng)。方程x^2+y^2+z^2=1表示的是一個(gè)以原點(diǎn)為中心，半徑為1的球面，也可以看作是橢球面在a=b=c=1時(shí)的特殊情況。方程x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1表示的是一個(gè)單葉雙曲面。方程x^2-y^2+z^2=1表示的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。因此，表示橢球面的方程有x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1和x^2+y^2+z^2=1。15.下列矩陣中，可逆矩陣的有（）A.（1，2；3，4）B.（1，0；0，0）C.（2，3；3，4）D.（-1，0；0，1）答案：AD解析：一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為0。計(jì)算行列式得：|（1，2；3，4）|=1*4-2*3=-2≠0，所以矩陣（1，2；3，4）可逆；|（1，0；0，0）|=1*0-0*0=0，所以矩陣（1，0；0，0）不可逆；|（2，3；3，4）|=2*4-3*3=-1≠0，所以矩陣（2，3；3，4）可逆；|（-1，0；0，1）|=(-1)*1-0*0=-1≠0，所以矩陣（-1，0；0，1）可逆。因此，可逆矩陣有矩陣（1，2；3，4）和矩陣（-1，0；0，1）。16.下列曲面中，是旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.橢圓柱面B.雙曲柱面C.橢球面D.拋物柱面答案：CD解析：旋轉(zhuǎn)曲面是指一個(gè)平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。橢圓柱面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸或短軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，不是旋轉(zhuǎn)曲面。雙曲柱面是由一條雙曲線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，不是旋轉(zhuǎn)曲面。橢球面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸、短軸或其上任一條直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，是旋轉(zhuǎn)曲面。拋物柱面是由一條拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，是旋轉(zhuǎn)曲面。因此，是旋轉(zhuǎn)曲面的有橢球面和拋物柱面。17.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.矩陣的秩是矩陣行向量組的秩B.如果向量組a1，a2，…，an線性相關(guān)，那么其中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表示C.非齊次線性方程組Ax=b的解集不構(gòu)成向量空間D.齊次線性方程組Ax=0的解集只包含零向量答案：ABC解析：矩陣的秩是指矩陣行向量組的秩，也是矩陣列向量組的秩，這是矩陣秩的定義，所以說(shuō)法A正確。如果向量組a1，a2，…，an線性相關(guān)，那么存在不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0。如果k1≠0，那么a1可以由其他向量線性表示，即a1=-(k2/k1)a2-…-(kn/k1)an。如果k1=0，那么存在一個(gè)kj≠0，使得kjaj+…+kinkn=0，那么aj可以由其他向量線性表示，即aj=-(k1/kj)a1-…-(kn/kj)an。因此，說(shuō)法B正確。非齊次線性方程組Ax=b的解集不構(gòu)成向量空間，因?yàn)榉驱R次線性方程組的解集對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉。例如，如果x1和x2是非齊次線性方程組Ax=b的解，那么Ax1=b，Ax2=b，但A(x1+x2)=Ax1+Ax2=b+b=2b≠b，所以x1+x2不是Ax=b的解。因此，說(shuō)法C正確。齊次線性方程組Ax=0的解集只包含零向量，當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組只有零解。如果齊次線性方程組有非零解，那么其解集包含非零向量，所以說(shuō)法D錯(cuò)誤。因此，正確的說(shuō)法有矩陣的秩是矩陣行向量組的秩、如果向量組a1，a2，…，an線性相關(guān)，那么其中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表示和非齊次線性方程組Ax=b的解集不構(gòu)成向量空間。18.下列方程中，表示拋物柱面的有（）A.z=x^2B.y=x^2C.x=2y^2D.z=3y^2答案：ABCD解析：拋物柱面是指一個(gè)拋物線繞其對(duì)稱軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。方程z=x^2表示的是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向上。方程y=x^2表示的是一個(gè)以y軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向上。方程x=2y^2表示的是一個(gè)以x軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向右。方程z=3y^2表示的是一個(gè)以z軸為對(duì)稱軸的拋物柱面，開(kāi)口向上。因此，表示拋物柱面的方程有z=x^2、y=x^2、x=2y^2和z=3y^2。19.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.向量組的秩等于其最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)B.如果向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，那么其中任意一個(gè)向量都可以由其他向量線性表示C.齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間D.非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩答案：ACD解析：向量組的秩是指向量組中最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)，這是向量組秩的定義，所以說(shuō)法A正確。如果向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，那么其中任意一個(gè)向量都不能由其他向量線性表示，因?yàn)槿绻嬖谝粋€(gè)向量可以由其他向量線性表示，那么這個(gè)向量組就是線性相關(guān)的，與線性無(wú)關(guān)矛盾，所以說(shuō)法B錯(cuò)誤。齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間，這是因?yàn)辇R次線性方程組的解集對(duì)于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，所以說(shuō)法C正確。非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，這是線性方程組有解的判別定理，所以說(shuō)法D正確。因此，正確的說(shuō)法有向量組的秩等于其最大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)、齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成一個(gè)向量空間和非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。20.下列曲面中，是旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.橢圓柱面B.雙曲柱面C.橢球面D.拋物柱面答案：CD解析：旋轉(zhuǎn)曲面是指一個(gè)平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。橢圓柱面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸或短軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，不是旋轉(zhuǎn)曲面。雙曲柱面是由一條雙曲線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，不是旋轉(zhuǎn)曲面。橢球面是由一條橢圓繞其長(zhǎng)軸、短軸或其上任一條直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，是旋轉(zhuǎn)曲面。拋物柱面是由一條拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，是旋轉(zhuǎn)曲面。因此，是旋轉(zhuǎn)曲面的有橢球面和拋物柱面。三、判斷題1.向量（1，0，0）與向量（0，1，0）共線（）答案：錯(cuò)誤解析：兩個(gè)向量共線當(dāng)且僅當(dāng)它們的比例成比例，即存在常數(shù)k，使得向量a=kb。對(duì)于向量（1，0，0）和向量（0，1，0），不存在這樣的常數(shù)k，因此它們不共線。2.平面方程Ax+By+Cz+D=0表示的平面一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（）答案：錯(cuò)誤解析：平面方程Ax+By+Cz+D=0表示的平面是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，取決于常數(shù)項(xiàng)D的值。如果D=0，則平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；如果D≠0，則平面不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。例如，當(dāng)D=1時(shí)，方程x+z=1表示的平面不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。3.球面x^2+y^2+z^2=1的球心是原點(diǎn)（）答案：正確解析：球面方程x^2+y^2+z^2=1表示的球面是以原點(diǎn)為球心，半徑為1的球面?？梢酝ㄟ^(guò)將方程配方得到（x-0）^2