習(xí)題課4小船過河與關(guān)聯(lián)速度問題核心素養(yǎng)目標(biāo)科學(xué)思維通過對(duì)小船渡河的實(shí)例分析，理解運(yùn)動(dòng)的獨(dú)

立性、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，掌握運(yùn)動(dòng)的

合成與分解的矢量運(yùn)算法則?？茖W(xué)態(tài)度與責(zé)任通過對(duì)關(guān)聯(lián)速度的求解，感受用物理知識(shí)解

決實(shí)際問題的成就感，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)

度。目錄01.核心要點(diǎn)·快突破02.教學(xué)效果·勤檢測03.課時(shí)訓(xùn)練·提素能核心要點(diǎn)·快突破互動(dòng)探究深化認(rèn)知

01

要點(diǎn)一小船渡河問題【探究】如圖所示，小船（小船視為質(zhì)點(diǎn)）在有一定流速的水中渡河時(shí)，參

與兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，即隨水流的運(yùn)動(dòng)（水流的速度v水）和小船相對(duì)

水的運(yùn)動(dòng)（即船在靜水中的速度v船），小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)（v

合）。（假設(shè)河的寬度為d，v船＞v水）思考以下問題：（1）若使小船垂直于河岸過河（過河位移最短），應(yīng)將船頭偏向上

游，如圖所示，此時(shí)過河時(shí)間怎樣計(jì)算？

（2）若使小船過河的時(shí)間最短，小船應(yīng)怎樣行駛？最短時(shí)間是多

少？小船最終到達(dá)對(duì)岸什么位置？

【歸納】1.

模型構(gòu)建（1）將船實(shí)際的運(yùn)動(dòng)看成船在靜水中的運(yùn)動(dòng)和船隨水流的運(yùn)動(dòng)的

合運(yùn)動(dòng)。（2）小船渡河問題涉及的三個(gè)速度①分速度v水：水流的速度；②分速度v船：船在靜水中的速度；③合速度v：表示船的實(shí)際航行的速度。2.

小船渡河的兩類常見問題渡河時(shí)間最短

渡河

位移

最短

如果v船＞v水，當(dāng)船頭方向與上游夾角θ滿足

v船cos

θ＝v水時(shí)，合速度垂直于河岸，渡河

位移最短，等于河寬d

【典例1】

（多選）已知船在靜水中的最大速度為8

m/s，船以該速

度渡過某條河，河的兩岸是平行線，船頭與岸的夾角為30°時(shí)船恰好

垂直于岸航行，河水流速恒定，船經(jīng)過20

s到達(dá)對(duì)岸，則下列說法正

確的是（

）A.

河寬為80

mC.

船的實(shí)際速度大小為12

m/sD.

若船以最短時(shí)間渡河，航線與岸的夾角為60°

1.

端午節(jié)賽龍舟是中華民族的傳統(tǒng)，龍舟競渡是銅梁獨(dú)具韻味的傳統(tǒng)

風(fēng)情之一。若某龍舟在比賽前劃向比賽點(diǎn)的途中要渡過寬72

m且兩

岸平直的河，龍舟在靜水中劃行的速率為4

m/s，河水的流速為3

m/s，下列說法正確的是（

）A.

該龍舟以最短時(shí)間渡河通過的位移為96

mB.

該龍舟渡河的最大速率約為8

m/sC.

該龍舟渡河的最短時(shí)間為18

sD.

該龍舟不可能沿垂直河岸的航線抵達(dá)對(duì)岸

2.

小船橫渡一條平直的河，河水流速平行于河岸。為盡快到達(dá)對(duì)岸，

船頭方向始終與河岸垂直，為避免船撞擊河岸，小船先做加速運(yùn)動(dòng)

后做減速運(yùn)動(dòng)，使小船到達(dá)河對(duì)岸時(shí)恰好不與河岸相撞。小船在靜

水中的行駛速度v1如圖甲所示，水的流速v2如圖乙所示，則下列關(guān)

于小船渡河的說法正確的是（

）A.

小船的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線B.

河寬是150

mC.

小船到達(dá)對(duì)岸時(shí)，沿水流方向運(yùn)動(dòng)了60

mD.

小船渡河的最大速度是13

m/s

要點(diǎn)二“關(guān)聯(lián)”速度問題1.

解決關(guān)聯(lián)速度問題的一般步驟第一步：先確定合運(yùn)動(dòng)，即物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)。第二步：確定合運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)實(shí)際作用效果，一是沿繩（或桿）方向

的平動(dòng)效果，改變速度的大?。欢茄卮怪庇诶K（或桿）方向的轉(zhuǎn)

動(dòng)效果，改變速度的方向。即將實(shí)際速度正交分解為垂直于繩（或

桿）和平行于繩（或桿）方向的兩個(gè)分量并作出運(yùn)動(dòng)矢量圖。第三步：根據(jù)沿繩（或桿）方向的速度相等列方程求解。2.

常見模型題型一

繩的關(guān)聯(lián)速度【典例2】

（多選）如圖所示，人在岸上用跨過定滑輪的輕繩拉

船，已知船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為f。當(dāng)輕繩與水面的夾角為θ

時(shí)，船的速度為v，人的拉力大小為F，則此時(shí)（

）A.

人拉繩行走的速度大小為vcos

θ

題型二

桿的關(guān)聯(lián)速度【典例3】

（多選）如圖所示，一根長直輕桿兩端分別固定小球A和

B，豎直放置，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿的長度為L。

由于微小的擾動(dòng)，A球沿豎直光滑的滑槽向下運(yùn)動(dòng)，B球沿水平光滑的

滑槽向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時(shí)（圖中未標(biāo)出），下列

說法正確的是（

）A.

A球下滑過程中的加速度一直大于gB.

B球運(yùn)動(dòng)過程中的速度先變大后變小C.

vA＝vBtan

θD.

vA＝vBsin

θ思路點(diǎn)撥

由于滑槽限制，桿接近水平時(shí)，桿在水平方向的速度趨于

零，據(jù)此分析兩球的運(yùn)動(dòng)情況。解析：先分析B球的運(yùn)動(dòng)情況，B球以初速度等于零開始向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

A球落到最下方時(shí)B球的速度再次為零，所以B球在水平方向先加速后

減速，即B球運(yùn)動(dòng)過程中的速度先變大后變小，根據(jù)受力分析可知，A

球剛開始下滑時(shí)，桿對(duì)B球產(chǎn)生的是偏向右下方的力，所以桿對(duì)A球產(chǎn)

生的是偏向左上方的力，此時(shí)A球的加速度小于重力加速度g，選項(xiàng)A

錯(cuò)誤，B正確；由于A球和B球沿桿方向的分速度大小相等，則當(dāng)桿與

豎直方向的夾角為θ時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解可知vAcos

θ＝vBsin

θ，即vA＝

vBtan

θ，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。

1.

質(zhì)量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細(xì)繩跨過光

滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細(xì)繩平行于斜面，小

車以速率v水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)。如圖所示，當(dāng)小車與滑輪間

的細(xì)繩和水平方向成夾角θ2時(shí)，下列判斷正確的是（

）A.

P的速率為vB.

P的速率為vcos

θ2C.

繩的拉力等于mgsin

θ1D.

繩的拉力小于mgsin

θ1解析：

將小車的速度v進(jìn)行分解如圖所示，有vP

＝vcos

θ2，故A錯(cuò)誤，B正確；小車向右運(yùn)動(dòng)，

θ2減

小，v不變，則vP逐漸增大，說明物體P沿斜面向上

做加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，有T－mgsin

θ1＝

ma，可知繩對(duì)P的拉力T＞mgsin

θ1，故C、D錯(cuò)誤。2.

一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B（A、B可視為

質(zhì)點(diǎn)），將其放在一個(gè)光滑球形容器中使其從位置1開始下滑，如

圖所示，當(dāng)輕桿到達(dá)位置2時(shí)，A球與球形容器球心O等高，A球的

速度大小為v1，已知此時(shí)輕桿與水平方向成θ＝30°角，B球的速度

大小為v2，則（

）B.

v2＝2v1C.

v2＝v1

教學(xué)效果·勤檢測強(qiáng)化技能查缺補(bǔ)漏

02

1.

如圖所示，河水以相同的速度向右流動(dòng)，落水者甲隨水漂流，至b

點(diǎn)時(shí)，救生員乙從O點(diǎn)出發(fā)對(duì)甲實(shí)施救助，則救生員乙相對(duì)水的運(yùn)

動(dòng)方向應(yīng)為圖中的（

）A.

Oa方向B.

Ob方向C.

Oc方向D.

Od方向解析：

人在水中相對(duì)于水游動(dòng)的同時(shí)還要隨著水一起相對(duì)地面

向下游漂流，以水為參考系，落水者甲靜止不動(dòng)，救生員做勻速直

線運(yùn)動(dòng)，則救生員直接沿著Ob方向即可對(duì)甲實(shí)施救助，故選B。2.

（多選）如圖所示，小船速度大小為v1，方向與上游河岸成θ角，

從A處過河，正好到達(dá)正對(duì)岸的B處?，F(xiàn)水流速度變大少許，要使

小船過河也正好到達(dá)正對(duì)岸的B處，下列方法中可行的有（

）A.

保持v1不變，同時(shí)增大θ角B.

保持v1不變，同時(shí)減小θ角C.

保持θ角不變，增大v1大小D.

保持θ角不變，減小v1大小解析：

由題意可知，當(dāng)水流速度稍有增大時(shí)，為保證能到達(dá)

正對(duì)岸的B處，由圖甲可知，當(dāng)保持v1大小不變時(shí)，減小θ角，則可

實(shí)現(xiàn)垂直到達(dá)正對(duì)岸的B處，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由圖乙可知，當(dāng)

保持θ角不變時(shí)，增大v1大小可實(shí)現(xiàn)垂直到達(dá)正對(duì)岸的B處，選項(xiàng)C

正確，D錯(cuò)誤。3.

（多選）（2024·山東東營期中）釣魚是一項(xiàng)越來越受歡迎的活

動(dòng)，釣到大魚時(shí)一般會(huì)先將魚遛至沒有力氣再收線，如圖所示，在

收尾階段，魚已經(jīng)浮在水面不再掙扎，釣魚者以恒定速率v收魚線

（釣魚者和魚竿視為不動(dòng)），魚線與水平面的夾角為θ，以下說法

正確的是（

）A.

魚在靠近釣魚者過程中速率增大B.

當(dāng)θ＝60°時(shí)，魚的速率為2vC.

當(dāng)θ＝37°時(shí)，魚的速率為0.8vD.

魚受到的合外力恒定解析：

如圖，將魚的速度分解為沿魚線方向的

速度和垂直于魚線方向的速度，則v

＝

v魚cos

θ，當(dāng)

釣魚者以恒定速率v收魚線過程中θ增大，則v魚增

大，魚做變加速運(yùn)動(dòng)，合外力不是恒定值，故A正

確，D錯(cuò)誤；根據(jù)v＝v魚cos

θ，可知當(dāng)θ＝60°時(shí)v魚

＝2v，當(dāng)θ＝37°時(shí)，v魚＝1.25v，故B正確，C錯(cuò)

誤。4.

（2024·山東聊城期末）如圖所示，圖甲是救援船水上渡河演練的

場景，假設(shè)船頭始終垂直河岸，船的速度v船大小恒定，圖乙中虛

線ABC是救援船渡河的軌跡示意圖，其中A點(diǎn)是出發(fā)點(diǎn)，D點(diǎn)位于A

點(diǎn)的正對(duì)岸，AB段是直線，BC段是曲線，下列說法正確的是

（

）A.

船以該種方式渡河位移最短B.

船以該種方式渡河時(shí)間最長C.

AB段中水流速度不斷增大D.

BC段中水流速度不斷減小解析：

若船頭垂直于河岸方向渡河，則渡河時(shí)間最短，渡河位

移不是最短，故A、B錯(cuò)誤；若保持船頭垂直于河岸，則在垂直于

河岸方向上的速度不變，根據(jù)等時(shí)性可知水平分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟豎直

分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，AB段中相等的時(shí)間水平方向運(yùn)動(dòng)的位移相

同，因此水流速度不變，BC段中相等的時(shí)間水平方向運(yùn)動(dòng)的位移

變短，因此水流速度不斷減小，故C錯(cuò)誤，D正確。5.

如圖甲所示，小球A與小球B用跨搭在一半球形容器壁上邊緣的輕

繩相連接，半球形容器壁的上邊緣是光滑的，小球A位于半球形容

器的內(nèi)壁靠近上邊緣處，小球B位于半球形容器外，將小球A由靜

止釋放牽引小球B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)至半球形容器底部時(shí)（如圖

乙所示），小球B的速度是v，則此時(shí)A的速度為（

）A.

vB.2v

03課時(shí)訓(xùn)練·提素能分層達(dá)標(biāo)素養(yǎng)提升

1234567891011121.

已知河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2＞v1，圖中

用小箭頭表示小船及船頭的指向，則能正確反映小船在最短時(shí)間內(nèi)

過河、最短位移過河的情景圖依次是（

）A.

①②B.

①⑤C.

④⑤D.

②③解析：

小船過河類問題，若要小船在最短時(shí)間內(nèi)過河，則船頭

垂直河岸，且位移偏向下游，④對(duì)；已知v2＞v1，小船速度與水流

速度的合速度垂直河岸時(shí)，小船以最短位移過河，此時(shí)船頭指向上

游，⑤對(duì)，故C正確。1234567891011122.

（多選）野外求生時(shí)必須具備一些基本常識(shí)，才能在享受野外探險(xiǎn)

刺激的同時(shí)，保證最基本的安全。一野外求生人員進(jìn)入河中央小島

的情景如圖所示。已知河寬80

m，水流速度為3

m/s，人在靜水中

游泳的速度為5

m/s，P為河正中央的小島，O為河邊一位置，OP垂

直河岸，人要從河邊某處游到小島P處，則該人員運(yùn)動(dòng)的（

）A.

最短位移為40

mB.

最短位移為50

mC.

最短時(shí)間為10

s，應(yīng)從O點(diǎn)左側(cè)30

m處開始游

動(dòng)D.

最短時(shí)間為8

s，應(yīng)從O點(diǎn)左側(cè)24

m處開始游動(dòng)123456789101112

1234567891011123.

小船過一條河，船頭方向始終與河岸垂直，小船相對(duì)靜水的速度大

小不變。小船由A到B的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則該過程中河水的流

速（

）A.

一直減小B.

一直增大C.

先增大后減小D.

先減小后增大解析：

從軌跡曲線的彎曲形狀上可以知道，加速度的方向與水

流方向相反，水速一直減小，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。1234567891011124.

用跨過定滑輪的繩把湖中小船向右拉到岸邊的過程中，如圖所示，

如果保持繩子上P點(diǎn)的速度v不變，則小船的速度（

）A.

不變B.

逐漸增大C.

逐漸減小D.

先增大后減小123456789101112

1234567891011125.

如圖所示，在水平力F作用下，物體B沿粗糙水平地面向右運(yùn)動(dòng)，

物體A恰勻速上升，那么以下說法正確的是（

）A.

物體B正向右做勻減速運(yùn)動(dòng)C.

地面對(duì)物體B的摩擦力減小D.

物體B正向右做加速運(yùn)動(dòng)123456789101112

1234567891011126.

如圖所示，A、B兩球分別套在兩光滑的水平直桿上，兩球通過一

繞過定滑輪的輕繩相連，現(xiàn)在A球以速度v向左勻速移動(dòng)，某時(shí)刻

連接兩球的輕繩與水平方向的夾角分別為α、β，下列說法正確的是

（

）C.

在β增大到90°的過程中，B球做勻速運(yùn)動(dòng)D.

在β增大到90°的過程中，B球做減速運(yùn)動(dòng)123456789101112

123456789101112

7.

（多選）一條小船要過50

m寬的河，已知船在靜水中的速度為4

m/s，水流速度為3

m/s，則以下說法中正確的是（

）A.

小船過河的位移一定大于50

mB.

小船過河的速度一定小于等于5

m/sC.

小船過河的最短時(shí)間為12.5

sD.

若船頭指向不變，則小船過河時(shí)將做勻速直線運(yùn)動(dòng)123456789101112

1234567891011128.

如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，軌道上有兩個(gè)

物體A和B，它們通過一根繞過定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，

物體A以速度vA＝20

m/s勻速向右運(yùn)動(dòng)，在繩子與軌道成α＝30°角

時(shí)，物體B的速度大小vB為（

）C.40

m/sD.10

m/s

1234567891011129.

如圖所示，在一棵大樹下有張石凳子，上面水平擺放著一排香蕉。

小猴子為了一次拿到更多的香蕉，它緊抓住軟藤擺下，同時(shí)樹上的

老猴子向上拉動(dòng)軟藤的另一端，使得小猴子到達(dá)石凳子時(shí)保持身體

水平向右方向運(yùn)動(dòng)。已知老猴子以恒定大小的速率v拉動(dòng)軟藤，當(dāng)

軟藤與豎直方向成θ角時(shí)，小猴子的水平運(yùn)動(dòng)速度大小為（

）A.

vcos

θB.

vsin

θ123456789101112

12345678910111210.

（多選）如圖所示，有一個(gè)沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的半徑為

R的半圓柱體，半圓柱面上擱著一個(gè)只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)的豎直

桿AB，在豎直桿未達(dá)到半圓柱體的最高點(diǎn)之前（

）A.

半圓柱體向右做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直桿向上做勻減

速直線運(yùn)動(dòng)B.

半圓柱體向右做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直桿向上做減速

直線運(yùn)動(dòng)C.

半圓柱體以速度為v向右做勻速運(yùn)動(dòng)，桿同半圓柱

體接觸點(diǎn)和半圓柱體中心的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，豎直桿向上的運(yùn)動(dòng)速度為vtan

θD.

半圓柱體以速度為v向右做勻速運(yùn)動(dòng)，桿同半圓柱體接觸點(diǎn)和半圓柱體中心的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，豎直桿向上的運(yùn)動(dòng)速度為vsin

θ123456789101112解析：

豎直桿與半圓柱體接觸點(diǎn)的實(shí)際

速度是接觸點(diǎn)沿切線方向的速度與半圓柱速度

的合速度，如圖所示，根據(jù)速度的合成，運(yùn)用

平行四邊形定則，得v桿＝vtan