基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化研究：理論、算法與應(yīng)用一、緒論1.1研究背景與意義在現(xiàn)代工程領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)設(shè)計的優(yōu)化對于提高產(chǎn)品性能、降低成本以及增強競爭力至關(guān)重要。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的核心內(nèi)容，旨在通過尋找材料在設(shè)計空間內(nèi)的最優(yōu)分布，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)性能的顯著提升。它不僅能夠有效減少材料的使用量，降低生產(chǎn)成本，還能在保證結(jié)構(gòu)強度和穩(wěn)定性的前提下，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，提高能源利用效率。因此，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化在航空航天、汽車制造、機械工程、土木工程等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和深入的研究。在航空航天領(lǐng)域，飛行器的結(jié)構(gòu)重量直接影響其燃油消耗和飛行性能。通過連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，可以設(shè)計出更輕、更高效的飛機機翼、機身和發(fā)動機零部件等結(jié)構(gòu)，從而提高飛行器的燃油經(jīng)濟性和飛行性能，降低運營成本。在汽車制造領(lǐng)域，拓撲優(yōu)化技術(shù)可以應(yīng)用于汽車車身結(jié)構(gòu)和底盤零部件的設(shè)計，提高車身的剛度和抗撞性，同時降低車重，提高燃油經(jīng)濟性和車輛的操控性。在機械工程領(lǐng)域，對于各種機械設(shè)備的零部件進行拓撲優(yōu)化，可以提高其工作效率和可靠性，延長使用壽命。在土木工程領(lǐng)域，拓撲優(yōu)化技術(shù)可以應(yīng)用于高層建筑、大跨度橋梁和地下工程等結(jié)構(gòu)的設(shè)計，提高結(jié)構(gòu)的抗震性、穩(wěn)定性和安全性，同時降低建設(shè)成本。雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（BESO）作為一種常用的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法，具有算法簡單、易于與有限元分析程序連接等優(yōu)點，在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用。然而，傳統(tǒng)的BESO方法在實際應(yīng)用中也存在一些局限性，例如收斂速度較慢、容易陷入局部最優(yōu)解等問題。為了克服這些局限性，研究人員提出了基于變刪除率的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（VDR-BESO）。VDR-BESO方法通過引入變刪除率的概念，根據(jù)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和靈敏度信息動態(tài)地調(diào)整單元的刪除和添加策略，從而提高了算法的收斂速度和優(yōu)化效率。與傳統(tǒng)的BESO方法相比，VDR-BESO方法能夠更快地找到更優(yōu)的拓撲結(jié)構(gòu)，并且在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)和多目標優(yōu)化問題時具有更好的性能表現(xiàn)。此外，VDR-BESO方法還可以與其他優(yōu)化算法和技術(shù)相結(jié)合，進一步拓展其應(yīng)用范圍和提高優(yōu)化效果。基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化方法的研究具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。在理論方面，該研究有助于深入理解結(jié)構(gòu)動力學特性與拓撲結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，豐富和完善連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的理論體系。通過對VDR-BESO方法的改進和優(yōu)化，可以提高拓撲優(yōu)化算法的效率和精度，為解決復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題提供更有效的工具。在實際應(yīng)用方面，該研究成果可以直接應(yīng)用于工程領(lǐng)域，幫助工程師設(shè)計出性能更優(yōu)、重量更輕、成本更低的結(jié)構(gòu)產(chǎn)品，提高企業(yè)的競爭力和創(chuàng)新能力。例如，在航空航天領(lǐng)域，可以應(yīng)用該方法設(shè)計出更高效的飛行器結(jié)構(gòu)；在汽車制造領(lǐng)域，可以優(yōu)化汽車的車身和底盤結(jié)構(gòu)，提高汽車的性能和安全性；在機械工程領(lǐng)域，可以改進機械設(shè)備的零部件設(shè)計，提高設(shè)備的工作效率和可靠性。因此，開展基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化方法的研究具有重要的現(xiàn)實意義和廣闊的應(yīng)用前景。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的研究可追溯到20世紀中葉，早期的研究主要集中在數(shù)學建模和理論探索階段。隨著計算機技術(shù)和數(shù)值計算方法的不斷發(fā)展，拓撲優(yōu)化理論逐漸成熟，并在工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。20世紀80年代，Bendsoe和Kikuchi提出了均勻化方法，標志著連續(xù)體拓撲優(yōu)化進入蓬勃發(fā)展的階段。該方法借助周期微結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料，將拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的參數(shù)的尺寸設(shè)計問題，應(yīng)用一定的最優(yōu)化準則或者數(shù)學規(guī)劃法來尋找多孔介質(zhì)的最優(yōu)配置。此后，變密度法、結(jié)構(gòu)進化法（ESO）、冒泡法、水平集方法等各種各樣的方法相繼被提出，并在工程技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（BESO）由Xie和Steven于1993年提出，是一種基于進化策略的優(yōu)化方法。該方法具有算法簡單、易于與有限元分析程序連接等優(yōu)點，在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用。在BESO方法的基礎(chǔ)上，研究人員不斷對其進行改進和完善，提出了多種改進算法。例如，為了克服傳統(tǒng)BESO方法中存在的棋盤格現(xiàn)象和數(shù)值不穩(wěn)定問題，一些學者提出了基于靈敏度過濾技術(shù)的改進BESO方法，通過對單元靈敏度進行過濾處理，提高了優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量和穩(wěn)定性。還有研究人員將BESO方法與其他優(yōu)化算法相結(jié)合，如遺傳算法、粒子群算法等，以提高算法的搜索能力和收斂速度。基于變刪除率的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（VDR-BESO）是在傳統(tǒng)BESO方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的一種新型拓撲優(yōu)化方法。該方法通過引入變刪除率的概念，根據(jù)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和靈敏度信息動態(tài)地調(diào)整單元的刪除和添加策略，從而提高了算法的收斂速度和優(yōu)化效率。VDR-BESO方法的研究始于近年來，目前已經(jīng)取得了一些重要的研究成果。在航空航天領(lǐng)域，有學者將VDR-BESO方法應(yīng)用于飛機機翼和機身的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中，通過優(yōu)化材料的分布，在保證結(jié)構(gòu)強度和剛度的前提下，顯著減輕了結(jié)構(gòu)重量，提高了飛行器的燃油經(jīng)濟性和性能。在汽車制造領(lǐng)域，VDR-BESO方法被用于汽車車身結(jié)構(gòu)和底盤零部件的設(shè)計優(yōu)化，提高了車身的剛度和抗撞性，同時降低了車重，提高了燃油經(jīng)濟性和車輛的操控性。盡管VDR-BESO方法在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中取得了一定的應(yīng)用成果，但目前該方法仍存在一些需要進一步研究和解決的問題。例如，在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)和多物理場耦合問題時，VDR-BESO方法的計算效率和優(yōu)化精度還有待提高；如何更加合理地確定變刪除率的調(diào)整策略，以進一步提高算法的性能，也是需要深入研究的方向之一。此外，VDR-BESO方法與其他先進技術(shù)，如人工智能、機器學習等的融合應(yīng)用研究還相對較少，這也是未來的一個重要研究方向。通過將VDR-BESO方法與人工智能技術(shù)相結(jié)合，可以實現(xiàn)拓撲優(yōu)化過程的智能化和自動化，提高優(yōu)化設(shè)計的效率和質(zhì)量，為工程結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計提供更強大的技術(shù)支持。1.3研究內(nèi)容與方法本文旨在深入研究基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化方法，具體研究內(nèi)容如下：VDR-BESO方法的理論分析：深入剖析VDR-BESO方法的基本原理，明確變刪除率的引入機制及其對單元刪除和添加策略的動態(tài)調(diào)整方式。對該方法在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中的適用性進行全面評估，詳細分析其在處理不同類型結(jié)構(gòu)和載荷條件時的優(yōu)勢與潛在局限性。VDR-BESO方法的算法實現(xiàn)：基于有限元分析軟件平臺，精心編寫VDR-BESO方法的優(yōu)化程序。通過該程序，實現(xiàn)對連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學響應(yīng)的精確計算以及靈敏度分析，為后續(xù)的拓撲優(yōu)化提供堅實的數(shù)據(jù)支持。同時，在算法實現(xiàn)過程中，針對可能出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象、數(shù)值不穩(wěn)定等問題，采用靈敏度過濾、密度過濾等有效的數(shù)值處理技術(shù)，確保優(yōu)化結(jié)果的準確性和穩(wěn)定性?；赩DR-BESO方法的工程應(yīng)用驗證：將所提出的基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化方法應(yīng)用于航空航天、汽車制造等實際工程領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中。通過具體的工程案例，對該方法的實際應(yīng)用效果進行全面驗證，對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的動力學性能指標，如固有頻率、動剛度、振動響應(yīng)等，評估該方法在提高結(jié)構(gòu)動力學性能和實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化方面的實際成效。同時，根據(jù)工程應(yīng)用中反饋的問題，進一步對VDR-BESO方法進行優(yōu)化和改進，使其更符合實際工程需求。在研究過程中，本文將綜合運用理論分析、數(shù)值模擬和工程應(yīng)用驗證等多種研究方法。通過理論分析，深入探究VDR-BESO方法的數(shù)學模型和力學原理，為方法的改進和應(yīng)用提供堅實的理論基礎(chǔ)。利用數(shù)值模擬方法，借助有限元分析軟件對連續(xù)體結(jié)構(gòu)進行建模和分析，實現(xiàn)對VDR-BESO方法的算法驗證和性能評估。通過將該方法應(yīng)用于實際工程案例，驗證其在解決實際工程問題中的有效性和實用性，同時也為工程設(shè)計提供有益的參考和指導。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域中的重要研究方向，其核心目標是在給定的設(shè)計空間、載荷條件和約束限制下，尋求材料的最優(yōu)分布形式，以實現(xiàn)特定的結(jié)構(gòu)性能目標，如最小化結(jié)構(gòu)柔順度、最大化結(jié)構(gòu)剛度、提高結(jié)構(gòu)固有頻率、降低結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)等。這種優(yōu)化方法能夠在設(shè)計階段從根本上改變結(jié)構(gòu)的拓撲形態(tài)，與傳統(tǒng)的尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比，具有更大的設(shè)計自由度和優(yōu)化潛力，能夠為工程結(jié)構(gòu)設(shè)計帶來創(chuàng)新性的解決方案。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型通常由目標函數(shù)、設(shè)計變量和約束條件三部分組成。目標函數(shù)是衡量結(jié)構(gòu)性能優(yōu)劣的量化指標，根據(jù)具體的工程需求，可以選擇不同的目標函數(shù)。例如，當追求結(jié)構(gòu)的剛度最大化時，常以結(jié)構(gòu)柔順度最小化為目標函數(shù)，柔順度定義為結(jié)構(gòu)在載荷作用下所做的功，柔順度越小，結(jié)構(gòu)剛度越大；在動力學問題中，若要提高結(jié)構(gòu)的抗振性能，可能以結(jié)構(gòu)的某階固有頻率最大化或振動響應(yīng)最小化為目標函數(shù)。設(shè)計變量用于描述結(jié)構(gòu)拓撲的變化，在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中，常用的設(shè)計變量包括材料密度、水平集函數(shù)等。以材料密度作為設(shè)計變量時，通過調(diào)整各單元的密度值來實現(xiàn)材料的分布優(yōu)化，密度值為1表示該單元完全填充材料，密度值為0則表示該單元為空單元，介于0和1之間的密度值表示單元處于部分填充狀態(tài)。約束條件是對結(jié)構(gòu)性能和設(shè)計變量的限制，以確保優(yōu)化結(jié)果滿足工程實際的要求。常見的約束條件有體積約束，即限制結(jié)構(gòu)的總體積或材料使用量，以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計；應(yīng)力約束，保證結(jié)構(gòu)在工作過程中的應(yīng)力水平不超過材料的許用應(yīng)力，防止結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞；位移約束，限制結(jié)構(gòu)在特定點或區(qū)域的位移，確保結(jié)構(gòu)的變形在允許范圍內(nèi)；頻率約束，對于有振動要求的結(jié)構(gòu)，限制其固有頻率在一定范圍內(nèi)，避免發(fā)生共振現(xiàn)象。在工程設(shè)計中，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。在航空航天領(lǐng)域，飛行器的結(jié)構(gòu)重量對其性能和運行成本有著顯著影響。通過連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術(shù)，可以對飛機機翼、機身等關(guān)鍵部件進行優(yōu)化設(shè)計，在保證結(jié)構(gòu)強度和剛度滿足飛行要求的前提下，去除不必要的材料，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化。這不僅可以降低飛行器的燃油消耗，提高航程和有效載荷能力，還能增強飛行器的機動性和飛行性能。在汽車制造行業(yè)，拓撲優(yōu)化技術(shù)可應(yīng)用于汽車車身、底盤等結(jié)構(gòu)的設(shè)計。通過優(yōu)化材料分布，提高車身的整體剛度和抗碰撞性能，同時減輕車身重量，降低汽車的能耗和排放，提升汽車的燃油經(jīng)濟性和操控穩(wěn)定性。在機械工程領(lǐng)域，對于各種機械設(shè)備的零部件，如發(fā)動機缸體、齒輪箱等，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化能夠提高其結(jié)構(gòu)性能和可靠性，減少材料浪費，降低生產(chǎn)成本，延長設(shè)備的使用壽命，提高設(shè)備的工作效率和競爭力。在土木工程領(lǐng)域，拓撲優(yōu)化技術(shù)可用于高層建筑、大跨度橋梁等結(jié)構(gòu)的設(shè)計。通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓撲，提高結(jié)構(gòu)的承載能力、抗震性能和穩(wěn)定性，同時合理分配材料，降低建筑成本，確保工程結(jié)構(gòu)在各種復(fù)雜工況下的安全運行。2.2BESO方法原理雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（BESO）是一種基于進化策略的拓撲優(yōu)化方法，其基本思想源于生物進化過程中的“適者生存”原則。在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中，BESO方法通過迭代地添加和刪除材料，使得結(jié)構(gòu)逐步趨近于最優(yōu)狀態(tài)，在這個過程中，結(jié)構(gòu)中對目標函數(shù)貢獻較小的材料被逐步去除，而對目標函數(shù)貢獻較大的材料則被保留并強化，從而實現(xiàn)材料在設(shè)計空間內(nèi)的最優(yōu)分布。BESO方法的迭代過程一般包括以下幾個關(guān)鍵步驟：初始化：為設(shè)計空間內(nèi)的每個單元賦予初始密度值，通常初始密度值可設(shè)為1，表示所有單元均為實體單元，即整個設(shè)計空間被材料完全填充。這是優(yōu)化過程的起始狀態(tài)，為后續(xù)的材料添加與刪除操作提供基礎(chǔ)。靈敏度分析：通過有限元分析等數(shù)值方法，計算每個單元對目標函數(shù)的靈敏度。靈敏度反映了單元密度的微小變化對目標函數(shù)的影響程度，是判斷單元是否應(yīng)被添加或刪除的重要依據(jù)。例如，在以最小化結(jié)構(gòu)柔順度為目標函數(shù)的優(yōu)化問題中，靈敏度較高的單元表示刪除該單元會使結(jié)構(gòu)柔順度顯著增加，說明該單元對維持結(jié)構(gòu)剛度起著關(guān)鍵作用；而靈敏度較低的單元則意味著刪除它對結(jié)構(gòu)柔順度的影響較小，可考慮將其從結(jié)構(gòu)中移除。密度更新：根據(jù)靈敏度分析的結(jié)果和預(yù)設(shè)的進化參數(shù)，對單元的密度值進行更新。通常的做法是，對于靈敏度低于某一閾值的單元，降低其密度值，使其逐漸趨近于零，即實現(xiàn)材料的刪除；而對于靈敏度高于另一閾值的單元，增加其密度值，使其趨近于1，相當于添加材料。進化參數(shù)在這一過程中起著關(guān)鍵的調(diào)節(jié)作用，它決定了每次迭代中材料添加和刪除的速率，合理選擇進化參數(shù)能夠加快算法的收斂速度，提高優(yōu)化效率。例如，進化參數(shù)設(shè)置過小，可能導致算法收斂緩慢，需要進行大量的迭代才能達到較優(yōu)解；而進化參數(shù)設(shè)置過大，則可能使算法跳過最優(yōu)解，陷入局部最優(yōu)。過濾處理：為了避免優(yōu)化過程中出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問題，對密度場進行濾波處理。棋盤格現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)黑白相間的棋盤狀分布，這在實際工程中是不合理且難以實現(xiàn)的；網(wǎng)格依賴性則指優(yōu)化結(jié)果受到網(wǎng)格劃分方式的影響，不同的網(wǎng)格劃分可能導致不同的優(yōu)化結(jié)果，這降低了優(yōu)化結(jié)果的可靠性和通用性。常用的濾波方法包括靈敏度過濾和密度過濾等。靈敏度過濾通過對單元靈敏度進行加權(quán)平均等操作，使靈敏度分布更加平滑，避免局部靈敏度的劇烈變化導致不合理的材料分布；密度過濾則是對單元密度進行處理，使相鄰單元的密度值更加接近，從而消除棋盤格現(xiàn)象和減少網(wǎng)格依賴性。迭代判斷：重復(fù)上述靈敏度分析、密度更新和過濾處理的步驟，直到滿足預(yù)設(shè)的收斂條件。收斂條件可以是目標函數(shù)的變化量小于某一給定的極小值，表明目標函數(shù)在當前迭代過程中的變化已經(jīng)非常小，算法已趨近于收斂；也可以是迭代次數(shù)達到預(yù)先設(shè)定的最大值，即使目標函數(shù)尚未完全收斂，但由于計算資源或時間的限制，停止迭代過程。在BESO方法中，靈敏度分析是核心環(huán)節(jié)之一，其準確性直接影響優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量。常見的靈敏度分析方法有解析法和伴隨變量法。解析法通過對目標函數(shù)和約束條件進行求導，直接得到單元靈敏度的解析表達式。這種方法計算精度高，但對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和目標函數(shù)，求導過程可能非常繁瑣，甚至難以實現(xiàn)。伴隨變量法是通過引入伴隨變量，將多個設(shè)計變量對目標函數(shù)的靈敏度計算轉(zhuǎn)化為少量伴隨方程的求解，大大降低了計算量，尤其適用于大規(guī)模問題的靈敏度分析。BESO方法具有一些顯著的優(yōu)點。它的算法原理相對簡單，易于理解和實現(xiàn)，不需要復(fù)雜的數(shù)學推導和計算，這使得工程人員能夠快速掌握和應(yīng)用該方法。BESO方法易于與有限元分析程序連接，能夠充分利用有限元分析在結(jié)構(gòu)力學計算方面的優(yōu)勢，準確計算結(jié)構(gòu)的力學響應(yīng)，為拓撲優(yōu)化提供可靠的數(shù)據(jù)支持。BESO方法在處理大規(guī)模結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題時具有較高的計算效率，能夠在相對較短的時間內(nèi)得到較為滿意的優(yōu)化結(jié)果。然而，BESO方法也存在一些不足之處。在優(yōu)化過程中，它容易陷入局部最優(yōu)解，尤其是當設(shè)計空間復(fù)雜、目標函數(shù)存在多個局部極值時，算法可能會收斂到局部最優(yōu)而非全局最優(yōu)，導致最終的優(yōu)化結(jié)果并非最佳。BESO方法對初始設(shè)計和進化參數(shù)的選擇較為敏感，不同的初始設(shè)計和進化參數(shù)設(shè)置可能會導致截然不同的優(yōu)化結(jié)果，這需要使用者具備一定的經(jīng)驗和技巧，通過多次試驗來確定合適的參數(shù)。此外，BESO方法在處理復(fù)雜約束條件時存在一定的困難，對于多物理場耦合、多目標優(yōu)化等復(fù)雜問題的求解能力有待提高。2.3VDR-BESO方法介紹基于變刪除率的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（VDR-BESO）是對傳統(tǒng)BESO方法的一種創(chuàng)新性改進，旨在克服傳統(tǒng)方法在收斂速度和優(yōu)化效率方面的不足。該方法的核心改進在于引入了變刪除率策略，打破了傳統(tǒng)BESO方法中固定刪除率的限制，使算法能夠根據(jù)結(jié)構(gòu)的實時響應(yīng)和靈敏度信息動態(tài)地調(diào)整單元的刪除和添加過程，從而更智能地搜索最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)。變刪除率策略的原理基于對結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中單元重要性的動態(tài)評估。在傳統(tǒng)BESO方法中，刪除率通常在整個優(yōu)化過程中保持不變，這可能導致在優(yōu)化初期，由于刪除率過大，一些對結(jié)構(gòu)性能仍有重要貢獻的單元被過早刪除，從而影響最終的優(yōu)化結(jié)果；而在優(yōu)化后期，固定的刪除率又可能使得算法收斂速度變慢，因為此時需要更精細地調(diào)整材料分布。VDR-BESO方法通過引入變刪除率，在優(yōu)化開始時，采用相對較大的刪除率，快速去除那些明顯對結(jié)構(gòu)性能貢獻較小的材料，加快優(yōu)化進程，迅速縮小搜索空間，提高計算效率；隨著優(yōu)化的進行，根據(jù)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和靈敏度分析結(jié)果，逐漸減小刪除率，使得算法能夠更細致地調(diào)整材料分布，避免過度刪除關(guān)鍵材料，從而更準確地逼近最優(yōu)解，提高優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量。VDR-BESO方法相較于傳統(tǒng)BESO方法具有多方面的優(yōu)勢。從收斂速度來看，變刪除率策略使得算法能夠在優(yōu)化的不同階段自適應(yīng)地調(diào)整搜索步長，避免了傳統(tǒng)方法中因固定刪除率導致的優(yōu)化停滯或振蕩現(xiàn)象，大大加快了收斂速度，減少了達到最優(yōu)解所需的迭代次數(shù)，節(jié)省了計算時間，提高了計算效率。在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)和多目標優(yōu)化問題時，VDR-BESO方法的優(yōu)勢更加明顯。它能夠根據(jù)不同目標的優(yōu)先級和結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，動態(tài)地分配材料，更好地平衡多個目標之間的關(guān)系，找到更符合實際工程需求的折衷解。例如，在同時考慮結(jié)構(gòu)剛度最大化和重量最小化的多目標優(yōu)化問題中，VDR-BESO方法可以根據(jù)不同階段對剛度和重量的敏感度，靈活調(diào)整材料的刪除和添加，從而在滿足剛度要求的前提下，盡可能地減輕結(jié)構(gòu)重量。在實際應(yīng)用中，VDR-BESO方法已經(jīng)在多個領(lǐng)域展現(xiàn)出良好的性能。在航空航天領(lǐng)域，對于飛機機翼等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化，VDR-BESO方法能夠在保證機翼強度和剛度的同時，更有效地減輕重量，提高飛機的燃油經(jīng)濟性和飛行性能。在汽車制造領(lǐng)域，應(yīng)用于汽車車身結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，VDR-BESO方法可以提高車身的抗撞性和剛度，同時降低車身重量，提升汽車的安全性能和操控性。三、VDR-BESO方法的算法實現(xiàn)3.1數(shù)學模型建立在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中，基于VDR-BESO方法建立數(shù)學模型是實現(xiàn)優(yōu)化目標的關(guān)鍵步驟。該模型主要由設(shè)計變量、目標函數(shù)和約束條件三部分組成，通過對這三部分的合理定義和構(gòu)建，可以準確地描述結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，并為后續(xù)的優(yōu)化算法提供堅實的理論基礎(chǔ)。3.1.1設(shè)計變量設(shè)計變量用于描述結(jié)構(gòu)拓撲的變化，在基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中，通常選擇單元密度作為設(shè)計變量。設(shè)設(shè)計空間被離散為N個單元，每個單元的密度用\rho_i表示，i=1,2,\cdots,N，則設(shè)計變量向量可表示為\boldsymbol{\rho}=(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_N)^T。單元密度\rho_i的取值范圍為[0,1]，其中\(zhòng)rho_i=1表示該單元完全填充材料，為實體單元；\rho_i=0表示該單元為空單元，不含有材料；而介于0和1之間的取值則表示單元處于部分填充狀態(tài)。通過調(diào)整這些單元密度值，實現(xiàn)材料在設(shè)計空間內(nèi)的重新分布，從而達到優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓撲的目的。3.1.2目標函數(shù)目標函數(shù)是衡量結(jié)構(gòu)性能優(yōu)劣的量化指標，根據(jù)具體的工程需求和優(yōu)化目標，可以選擇不同的目標函數(shù)。在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中，常見的目標函數(shù)有以下幾種：最大化結(jié)構(gòu)固有頻率：固有頻率是結(jié)構(gòu)的重要動力學特性之一，它反映了結(jié)構(gòu)在自由振動時的振動特性。對于許多工程結(jié)構(gòu)，如航空發(fā)動機葉片、橋梁等，提高結(jié)構(gòu)的固有頻率可以有效地避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，增強結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性。以最大化結(jié)構(gòu)第k階固有頻率\omega_k為目標函數(shù)，可表示為：\max\omega_k(\boldsymbol{\rho})最小化結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)：在動態(tài)載荷作用下，結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生振動響應(yīng)，過大的振動響應(yīng)可能導致結(jié)構(gòu)疲勞破壞、降低設(shè)備的工作精度等問題。因此，在一些情況下，需要以最小化結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)為目標函數(shù)。例如，以最小化結(jié)構(gòu)在特定點或區(qū)域的位移響應(yīng)u_j為目標函數(shù)，可表示為：\minu_j(\boldsymbol{\rho})其中，j表示特定點或區(qū)域的編號。最大化結(jié)構(gòu)動剛度：動剛度是衡量結(jié)構(gòu)抵抗動態(tài)載荷能力的重要指標，它反映了結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷作用下的變形特性。最大化結(jié)構(gòu)動剛度可以提高結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能，使其在承受動態(tài)載荷時更加穩(wěn)定。設(shè)結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷\boldsymbol{F}作用下的位移響應(yīng)為\boldsymbol{u}，則結(jié)構(gòu)的動剛度矩陣為\boldsymbol{K}_d，動剛度可表示為\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{u}，以最大化結(jié)構(gòu)動剛度為目標函數(shù)，可表示為：\max(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{u})(\boldsymbol{\rho})3.1.3約束條件約束條件是對結(jié)構(gòu)性能和設(shè)計變量的限制，以確保優(yōu)化結(jié)果滿足工程實際的要求。在基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中，常見的約束條件有：體積約束：為了實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，通常需要對結(jié)構(gòu)的總體積或材料使用量進行限制。設(shè)結(jié)構(gòu)的總體積為V，初始體積為V_0，體積約束可表示為：V(\boldsymbol{\rho})\leqV_0其中，V(\boldsymbol{\rho})=\sum_{i=1}^{N}\rho_iV_i，V_i為第i個單元的體積。應(yīng)力約束：保證結(jié)構(gòu)在工作過程中的應(yīng)力水平不超過材料的許用應(yīng)力，是確保結(jié)構(gòu)安全可靠運行的重要條件。設(shè)結(jié)構(gòu)中第i個單元的應(yīng)力為\sigma_i，材料的許用應(yīng)力為[\sigma]，應(yīng)力約束可表示為：\sigma_i(\boldsymbol{\rho})\leq[\sigma],\quadi=1,2,\cdots,N頻率約束：對于有振動要求的結(jié)構(gòu)，需要限制其固有頻率在一定范圍內(nèi)，以避免發(fā)生共振現(xiàn)象。設(shè)結(jié)構(gòu)的第k階固有頻率為\omega_k，規(guī)定的頻率下限為\omega_{k,\min}，頻率上限為\omega_{k,\max}，頻率約束可表示為：\omega_{k,\min}\leq\omega_k(\boldsymbol{\rho})\leq\omega_{k,\max},\quadk=1,2,\cdots,M其中，M為需要考慮的固有頻率階數(shù)。綜合以上設(shè)計變量、目標函數(shù)和約束條件，基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型可表示為：\begin{align*}&\text{find}\quad\boldsymbol{\rho}\\&\text{minimize/maximize}\quadf(\boldsymbol{\rho})\\&\text{subjectto}\quadg_j(\boldsymbol{\rho})\leq0,\quadj=1,2,\cdots,J\\&\quad\quad\quad\rho_{i,\min}\leq\rho_i\leq\rho_{i,\max},\quadi=1,2,\cdots,N\end{align*}其中，f(\boldsymbol{\rho})為目標函數(shù)，g_j(\boldsymbol{\rho})為第j個約束條件，J為約束條件的總數(shù)，\rho_{i,\min}和\rho_{i,\max}分別為第i個單元密度的下限和上限，通常\rho_{i,\min}=0，\rho_{i,\max}=1。通過求解上述數(shù)學模型，可以得到滿足工程需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲。3.2靈敏度分析靈敏度分析在VDR-BESO方法中占據(jù)著核心地位，是實現(xiàn)高效拓撲優(yōu)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。它通過計算設(shè)計變量（如單元密度）的微小變化對目標函數(shù)和約束條件的影響程度，為優(yōu)化過程提供了重要的決策依據(jù)。在VDR-BESO方法中，靈敏度分析能夠幫助確定哪些單元對結(jié)構(gòu)的動力學性能貢獻較大，哪些單元的刪除或添加對結(jié)構(gòu)性能影響較小，從而指導算法更加合理地進行材料的分布調(diào)整，加快收斂速度，提高優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量。對于基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化，靈敏度計算公式的推導基于結(jié)構(gòu)動力學的基本原理和數(shù)學分析方法。以最大化結(jié)構(gòu)固有頻率為目標函數(shù)為例，推導其靈敏度計算公式。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學理論，結(jié)構(gòu)的固有頻率與結(jié)構(gòu)的剛度矩陣\boldsymbol{K}和質(zhì)量矩陣\boldsymbol{M}相關(guān)，其特征方程為：(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M})\boldsymbol{\varPhi}=\boldsymbol{0}其中，\omega為結(jié)構(gòu)的固有頻率，\boldsymbol{\varPhi}為對應(yīng)的振型向量。設(shè)單元密度為設(shè)計變量\rho_i，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣\boldsymbol{K}和質(zhì)量矩陣\boldsymbol{M}是單元密度的函數(shù)，即\boldsymbol{K}(\boldsymbol{\rho})和\boldsymbol{M}(\boldsymbol{\rho})。對特征方程關(guān)于\rho_i求導，利用矩陣求導法則和鏈式法則，可得：\left(\frac{\partial\boldsymbol{K}}{\partial\rho_i}-\omega^2\frac{\partial\boldsymbol{M}}{\partial\rho_i}-2\omega\frac{\partial\omega}{\partial\rho_i}\boldsymbol{M}\right)\boldsymbol{\varPhi}+(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M})\frac{\partial\boldsymbol{\varPhi}}{\partial\rho_i}=\boldsymbol{0}由于(\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M})\boldsymbol{\varPhi}=\boldsymbol{0}，上式可化簡為：\left(\frac{\partial\boldsymbol{K}}{\partial\rho_i}-\omega^2\frac{\partial\boldsymbol{M}}{\partial\rho_i}-2\omega\frac{\partial\omega}{\partial\rho_i}\boldsymbol{M}\right)\boldsymbol{\varPhi}=\boldsymbol{0}進一步整理可得第k階固有頻率\omega_k對單元密度\rho_i的靈敏度為：\frac{\partial\omega_k}{\partial\rho_i}=\frac{\boldsymbol{\varPhi}_k^T\left(\frac{\partial\boldsymbol{K}}{\partial\rho_i}-\omega_k^2\frac{\partial\boldsymbol{M}}{\partial\rho_i}\right)\boldsymbol{\varPhi}_k}{2\omega_k\boldsymbol{\varPhi}_k^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varPhi}_k}其中，\boldsymbol{\varPhi}_k為第k階振型向量。靈敏度對優(yōu)化過程的影響是多方面的。在單元刪除和添加階段，靈敏度是判斷單元去留的重要依據(jù)。對于靈敏度絕對值較小的單元，說明其對目標函數(shù)的影響較小，在優(yōu)化過程中可以優(yōu)先考慮將其刪除，以減少結(jié)構(gòu)的材料用量，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化；而對于靈敏度絕對值較大的單元，表明其對結(jié)構(gòu)的動力學性能起著關(guān)鍵作用，應(yīng)予以保留或增加其材料含量，以保證結(jié)構(gòu)的性能。靈敏度分析還可以幫助調(diào)整變刪除率。在優(yōu)化初期，結(jié)構(gòu)的拓撲形態(tài)變化較大，對靈敏度相對較小的單元可以采用較大的刪除率，快速去除大量對結(jié)構(gòu)性能貢獻不大的材料，加快優(yōu)化進程；隨著優(yōu)化的進行，結(jié)構(gòu)逐漸趨近于最優(yōu)拓撲，此時需要更精細地調(diào)整材料分布，對于靈敏度變化較小的區(qū)域，適當減小刪除率，避免過度刪除關(guān)鍵材料，使算法能夠更準確地收斂到最優(yōu)解。在整個優(yōu)化過程中，準確的靈敏度計算能夠使算法更加智能地搜索設(shè)計空間，避免盲目搜索，提高優(yōu)化效率，減少迭代次數(shù)，從而更快地找到滿足工程需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲。3.3優(yōu)化算法流程VDR-BESO方法的優(yōu)化算法流程是實現(xiàn)連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化的關(guān)鍵步驟，其嚴謹?shù)倪壿嫼涂茖W的步驟能夠確保算法高效、準確地運行，從而找到滿足工程需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲。以下將詳細闡述該算法流程中的初始化、迭代計算、收斂判斷等關(guān)鍵步驟。3.3.1初始化在優(yōu)化算法開始階段，需要對一系列參數(shù)和變量進行初始化設(shè)置，為后續(xù)的迭代計算奠定基礎(chǔ)。首先，對設(shè)計空間進行離散化處理，將其劃分為N個有限單元，這是將連續(xù)體結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為數(shù)值模型的重要步驟，使得復(fù)雜的連續(xù)體結(jié)構(gòu)能夠通過有限個單元進行模擬和分析。為每個單元賦予初始密度值\rho_{i}^0，通常將初始密度設(shè)為1，即認為所有單元在初始狀態(tài)下均為實體單元，整個設(shè)計空間被材料完全填充。這種初始設(shè)置是基于假設(shè)在優(yōu)化開始前，結(jié)構(gòu)采用了最保守的材料分布方式，后續(xù)通過優(yōu)化過程逐步去除不必要的材料，實現(xiàn)材料的最優(yōu)分布。確定優(yōu)化問題的相關(guān)參數(shù)，包括目標函數(shù)的類型及參數(shù)、約束條件的具體形式和參數(shù)等。目標函數(shù)根據(jù)具體的工程需求而定，如最大化結(jié)構(gòu)固有頻率、最小化結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)等，不同的目標函數(shù)反映了對結(jié)構(gòu)不同性能的追求。約束條件則是為了確保優(yōu)化結(jié)果滿足工程實際的要求，如體積約束限制結(jié)構(gòu)的總體積或材料使用量，以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輕量化；應(yīng)力約束保證結(jié)構(gòu)在工作過程中的應(yīng)力水平不超過材料的許用應(yīng)力，確保結(jié)構(gòu)的安全性；頻率約束限制結(jié)構(gòu)的固有頻率在一定范圍內(nèi)，避免發(fā)生共振現(xiàn)象。設(shè)定VDR-BESO方法特有的參數(shù)，如初始刪除率\alpha_0、最小刪除率\alpha_{\min}、刪除率調(diào)整系數(shù)\beta等。初始刪除率\alpha_0決定了優(yōu)化初期材料刪除的速度，較大的初始刪除率能夠快速去除對結(jié)構(gòu)性能貢獻較小的材料，加快優(yōu)化進程，但如果設(shè)置過大，可能會導致關(guān)鍵材料被過早刪除，影響最終的優(yōu)化結(jié)果；最小刪除率\alpha_{\min}則限制了刪除率的下限，確保在優(yōu)化后期能夠進行精細的材料調(diào)整，避免過度刪除材料；刪除率調(diào)整系數(shù)\beta用于控制刪除率的變化速度，根據(jù)優(yōu)化過程中的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和靈敏度信息，動態(tài)地調(diào)整刪除率，使算法能夠更好地適應(yīng)不同的優(yōu)化階段。3.3.2迭代計算初始化完成后，進入迭代計算階段，這是VDR-BESO方法的核心部分，通過不斷地迭代更新，逐步逼近最優(yōu)解。有限元分析：利用有限元分析軟件，對當前結(jié)構(gòu)進行動力學分析，求解結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變、固有頻率等。有限元分析是一種強大的數(shù)值計算方法，它將連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散為有限個單元，通過對每個單元的力學分析，再將單元組合起來，得到整個結(jié)構(gòu)的力學性能。在動力學分析中，根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學的基本原理，建立結(jié)構(gòu)的動力學方程，如M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=F(t)，其中M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，u為位移向量，F(xiàn)(t)為隨時間變化的外力向量，\ddot{u}和\dot{u}分別為加速度向量和速度向量。通過求解該方程，可以得到結(jié)構(gòu)在不同時刻的動力學響應(yīng)，這些響應(yīng)數(shù)據(jù)是后續(xù)靈敏度分析和拓撲優(yōu)化的重要依據(jù)。靈敏度分析：根據(jù)前面推導的靈敏度計算公式，計算每個單元對目標函數(shù)的靈敏度。靈敏度反映了單元密度的微小變化對目標函數(shù)的影響程度，是判斷單元是否應(yīng)被添加或刪除的重要依據(jù)。在計算靈敏度時，需要對結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣等進行求導運算，利用矩陣求導法則和鏈式法則，得到單元靈敏度的表達式。例如，在最大化結(jié)構(gòu)固有頻率的優(yōu)化問題中，第k階固有頻率\omega_k對單元密度\rho_i的靈敏度為\frac{\partial\omega_k}{\partial\rho_i}=\frac{\boldsymbol{\varPhi}_k^T\left(\frac{\partial\boldsymbol{K}}{\partial\rho_i}-\omega_k^2\frac{\partial\boldsymbol{M}}{\partial\rho_i}\right)\boldsymbol{\varPhi}_k}{2\omega_k\boldsymbol{\varPhi}_k^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{\varPhi}_k}，其中\(zhòng)boldsymbol{\varPhi}_k為第k階振型向量。通過計算每個單元的靈敏度，可以確定哪些單元對提高固有頻率的貢獻較大，哪些單元的刪除對固有頻率的影響較小。變刪除率調(diào)整：根據(jù)當前的迭代次數(shù)、結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和靈敏度信息，動態(tài)調(diào)整刪除率。在優(yōu)化初期，為了快速去除對結(jié)構(gòu)性能貢獻較小的材料，加快優(yōu)化進程，可以采用較大的刪除率；隨著優(yōu)化的進行，結(jié)構(gòu)逐漸趨近于最優(yōu)拓撲，此時需要更精細地調(diào)整材料分布，避免過度刪除關(guān)鍵材料，因此逐漸減小刪除率。具體的調(diào)整策略可以根據(jù)預(yù)先設(shè)定的規(guī)則進行，例如，當?shù)螖?shù)小于某個閾值n_1時，刪除率\alpha=\alpha_0；當?shù)螖?shù)大于n_1且小于n_2時，\alpha=\alpha_0-(\alpha_0-\alpha_{\min})\frac{n-n_1}{n_2-n_1}；當?shù)螖?shù)大于n_2時，\alpha=\alpha_{\min}，其中n為當前迭代次數(shù)。通過這種動態(tài)調(diào)整刪除率的方式，能夠使算法在不同的優(yōu)化階段都能保持較好的搜索效率和優(yōu)化效果。單元刪除與添加：依據(jù)調(diào)整后的刪除率和靈敏度分析結(jié)果，確定需要刪除和添加的單元。對于靈敏度低于某個閾值\xi的單元，將其密度值降低，即進行單元刪除操作；對于靈敏度高于另一個閾值\eta的單元，增加其密度值，進行單元添加操作。在實際操作中，可以設(shè)定一個密度更新公式，如\rho_{i}^{n+1}=(1-\alpha)\rho_{i}^n（當\frac{\partialf}{\partial\rho_i}<\xi時，即刪除單元），\rho_{i}^{n+1}=(1+\alpha)\rho_{i}^n（當\frac{\partialf}{\partial\rho_i}>\eta時，即添加單元），其中f為目標函數(shù)，n為當前迭代次數(shù)。通過不斷地刪除和添加單元，逐步調(diào)整結(jié)構(gòu)的拓撲形態(tài)，使其向最優(yōu)結(jié)構(gòu)靠近。過濾處理：為了避免優(yōu)化過程中出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性問題，對密度場進行濾波處理。棋盤格現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)黑白相間的棋盤狀分布，這在實際工程中是不合理且難以實現(xiàn)的；網(wǎng)格依賴性則指優(yōu)化結(jié)果受到網(wǎng)格劃分方式的影響，不同的網(wǎng)格劃分可能導致不同的優(yōu)化結(jié)果，這降低了優(yōu)化結(jié)果的可靠性和通用性。常用的濾波方法包括靈敏度過濾和密度過濾等。靈敏度過濾通過對單元靈敏度進行加權(quán)平均等操作，使靈敏度分布更加平滑，避免局部靈敏度的劇烈變化導致不合理的材料分布；密度過濾則是對單元密度進行處理，使相鄰單元的密度值更加接近，從而消除棋盤格現(xiàn)象和減少網(wǎng)格依賴性。例如，在密度過濾中，可以采用如下公式：\overline{\rho}_i=\frac{\sum_{j\inN_i}w_{ij}\rho_j}{\sum_{j\inN_i}w_{ij}}，其中\(zhòng)overline{\rho}_i為過濾后的單元密度，\rho_j為相鄰單元j的密度，N_i為單元i的相鄰單元集合，w_{ij}為權(quán)重系數(shù)，通常與單元i和j之間的距離有關(guān)。通過過濾處理，可以提高優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量和可靠性，使其更符合實際工程需求。3.3.3收斂判斷在每次迭代計算完成后，需要進行收斂判斷，以確定是否停止迭代，得到最終的優(yōu)化結(jié)果。收斂判斷通?；谝韵聨讉€條件：目標函數(shù)變化量：計算當前迭代與上一次迭代的目標函數(shù)值之差\Deltaf=f^{n+1}-f^n，若\vert\Deltaf\vert小于預(yù)先設(shè)定的收斂容差\varepsilon_1，說明目標函數(shù)在當前迭代過程中的變化已經(jīng)非常小，算法已趨近于收斂。例如，當以最大化結(jié)構(gòu)固有頻率為目標函數(shù)時，如果兩次迭代之間固有頻率的變化量小于某個極小值，如10^{-5}，則認為目標函數(shù)已基本收斂。設(shè)計變量變化量：計算當前迭代與上一次迭代的設(shè)計變量（單元密度）變化量，如\Delta\rho_i=\rho_{i}^{n+1}-\rho_{i}^n，對所有單元的變化量進行綜合評估，若其均方根值\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(\Delta\rho_i)^2}小于預(yù)先設(shè)定的收斂容差\varepsilon_2，表示單元密度在本次迭代中的變化很小，結(jié)構(gòu)的拓撲形態(tài)已基本穩(wěn)定。這意味著在當前的迭代過程中，單元密度的調(diào)整幅度已經(jīng)非常小，結(jié)構(gòu)的拓撲變化不大，算法可能已經(jīng)找到了較優(yōu)的拓撲結(jié)構(gòu)。迭代次數(shù)：當?shù)螖?shù)達到預(yù)先設(shè)定的最大迭代次數(shù)N_{\max}時，即使目標函數(shù)和設(shè)計變量的變化量尚未滿足收斂條件，也停止迭代。這是為了防止算法因陷入局部最優(yōu)或其他原因而無限循環(huán)，確保在有限的計算資源和時間內(nèi)得到一個相對較好的優(yōu)化結(jié)果。例如，在實際計算中，可以設(shè)定最大迭代次數(shù)為100次或200次，當?shù)螖?shù)達到該值時，無論優(yōu)化結(jié)果是否完全收斂，都結(jié)束迭代過程，輸出當前的優(yōu)化結(jié)果。若滿足上述收斂條件中的任意一個，則認為算法收斂，輸出當前的結(jié)構(gòu)拓撲作為優(yōu)化結(jié)果；否則，繼續(xù)進行下一輪迭代計算，直到滿足收斂條件為止。通過嚴格的收斂判斷機制，可以確保算法在合理的時間和計算資源內(nèi)找到滿足工程需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲，避免不必要的計算浪費，提高優(yōu)化效率。3.4數(shù)值算例驗證為了驗證基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化方法的有效性和準確性，本節(jié)選取了一個簡單的懸臂梁結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例進行分析。懸臂梁結(jié)構(gòu)在工程實際中廣泛存在，如橋梁的懸臂段、起重機的吊臂等，對其進行拓撲優(yōu)化研究具有重要的工程應(yīng)用價值。通過對該算例的優(yōu)化計算，對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的動力學性能指標，能夠直觀地評估VDR-BESO方法在提高結(jié)構(gòu)動力學性能方面的實際效果?？紤]一長度為L=1000\text{mm}，寬度為b=100\text{mm}，厚度為h=10\text{mm}的懸臂梁結(jié)構(gòu)，材料的彈性模量E=2.1\times10^{11}\text{Pa}，泊松比\nu=0.3，密度\rho_0=7850\text{kg/m}^3。在懸臂梁的自由端施加一個集中力F=1000\text{N}，方向垂直向下。將懸臂梁的設(shè)計空間離散為100\times10個四節(jié)點四邊形單元，采用平面應(yīng)力單元進行有限元分析。優(yōu)化目標為最大化結(jié)構(gòu)的一階固有頻率，同時滿足體積約束，限制結(jié)構(gòu)的材料使用量不超過初始體積的50\%。在優(yōu)化過程中，VDR-BESO方法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：初始刪除率\alpha_0=0.05，最小刪除率\alpha_{\min}=0.01，刪除率調(diào)整系數(shù)\beta=0.95。迭代計算過程中，當目標函數(shù)（一階固有頻率）的變化量小于10^{-5}，或者迭代次數(shù)達到200次時，認為算法收斂，停止迭代。經(jīng)過一系列迭代計算，最終得到優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)拓撲。圖1展示了優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)拓撲的變化情況，從圖中可以清晰地看到，隨著迭代的進行，結(jié)構(gòu)中對一階固有頻率貢獻較小的材料逐漸被刪除，材料主要集中在對結(jié)構(gòu)剛度和固有頻率起關(guān)鍵作用的部位，如固定端和受力點附近，結(jié)構(gòu)拓撲逐漸趨近于最優(yōu)狀態(tài)。[此處插入圖1：優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)拓撲的變化情況，分別展示第1次、第50次、第100次、第150次和第200次迭代后的結(jié)構(gòu)拓撲圖]對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的動力學性能指標，優(yōu)化前結(jié)構(gòu)的一階固有頻率為f_1=30.56\text{Hz}，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的一階固有頻率提高到f_1'=45.28\text{Hz}，提高了約48.17\%。同時，結(jié)構(gòu)的體積由初始的V_0=1\times10^{-3}\text{m}^3減少到V=0.5\times10^{-3}\text{m}^3，滿足體積約束要求。這表明通過基于VDR-BESO方法的拓撲優(yōu)化，在顯著提高結(jié)構(gòu)一階固有頻率的同時，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，有效提升了結(jié)構(gòu)的動力學性能。為了進一步驗證VDR-BESO方法的準確性，將優(yōu)化結(jié)果與理論解進行對比。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學理論，對于等截面懸臂梁，其一階固有頻率的理論計算公式為：f_1=\frac{0.560}{2\pi}\sqrt{\frac{Ebh^3}{mL^4}}其中，m=\rho_0bhL為懸臂梁的質(zhì)量。將相關(guān)參數(shù)代入理論公式，計算得到理論一階固有頻率為f_{1,\text{theory}}=44.89\text{Hz}。優(yōu)化結(jié)果與理論解的相對誤差為：\delta=\frac{\vertf_1'-f_{1,\text{theory}}\vert}{f_{1,\text{theory}}}\times100\%=\frac{\vert45.28-44.89\vert}{44.89}\times100\%\approx0.87\%相對誤差較小，說明基于VDR-BESO方法得到的優(yōu)化結(jié)果與理論解較為接近，驗證了該方法在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中的準確性和可靠性。通過上述數(shù)值算例的驗證，充分證明了基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化方法在提高結(jié)構(gòu)動力學性能和實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化方面具有顯著的效果和優(yōu)勢，能夠為工程實際中的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供有效的技術(shù)支持和參考依據(jù)。四、考慮多因素的VDR-BESO方法拓展4.1多目標優(yōu)化問題在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中，多目標優(yōu)化問題廣泛存在且具有重要的工程應(yīng)用價值。實際工程中的結(jié)構(gòu)往往需要同時滿足多個性能指標的要求，例如在航空航天領(lǐng)域，飛行器的結(jié)構(gòu)不僅要具備足夠的剛度以保證在飛行過程中維持穩(wěn)定的形狀和承載能力，還要有較高的固有頻率以避免在飛行工況下發(fā)生共振，影響飛行安全和性能。在汽車制造行業(yè)，汽車車身結(jié)構(gòu)需要在保證良好的抗撞性和乘坐舒適性（與結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)相關(guān)）的同時，盡可能減輕重量，以提高燃油經(jīng)濟性和操控性能。因此，研究連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化中的多目標優(yōu)化問題，對于滿足復(fù)雜工程需求、提升結(jié)構(gòu)綜合性能具有重要意義。4.1.1多目標優(yōu)化問題的描述多目標優(yōu)化問題旨在同時優(yōu)化多個相互沖突的目標函數(shù)。在連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化的背景下，常見的多目標組合包括同時考慮剛度和頻率的優(yōu)化。以最大化結(jié)構(gòu)剛度和最大化結(jié)構(gòu)某階固有頻率為例，其數(shù)學模型可表示為：\begin{align*}&\text{find}\quad\boldsymbol{\rho}\\&\text{maximize}\quadf_1(\boldsymbol{\rho})=\frac{1}{C(\boldsymbol{\rho})}\\&\text{maximize}\quadf_2(\boldsymbol{\rho})=\omega_k(\boldsymbol{\rho})\\&\text{subjectto}\quadg_j(\boldsymbol{\rho})\leq0,\quadj=1,2,\cdots,J\\&\quad\quad\quad\rho_{i,\min}\leq\rho_i\leq\rho_{i,\max},\quadi=1,2,\cdots,N\end{align*}其中，f_1(\boldsymbol{\rho})為結(jié)構(gòu)剛度目標函數(shù)，C(\boldsymbol{\rho})為結(jié)構(gòu)柔順度，柔順度越小，剛度越大，因此以柔順度的倒數(shù)作為剛度的度量，最大化該目標函數(shù)即實現(xiàn)結(jié)構(gòu)剛度的最大化；f_2(\boldsymbol{\rho})為結(jié)構(gòu)第k階固有頻率目標函數(shù)；g_j(\boldsymbol{\rho})為第j個約束條件，如體積約束、應(yīng)力約束等；\rho_i為第i個單元的密度，\rho_{i,\min}和\rho_{i,\max}分別為其下限和上限。在這個模型中，兩個目標函數(shù)之間存在沖突，提高結(jié)構(gòu)剛度的材料分布方式可能會對固有頻率產(chǎn)生負面影響，反之亦然，因此需要在兩者之間尋求平衡，找到滿足多個目標要求的最優(yōu)解。4.1.2基于VDR-BESO方法的多目標優(yōu)化策略基于VDR-BESO方法的多目標優(yōu)化，關(guān)鍵在于如何合理地處理多個目標之間的關(guān)系，以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)在多個性能指標上的綜合優(yōu)化。常見的策略有以下幾種：加權(quán)求和法：將多個目標函數(shù)通過加權(quán)的方式組合成一個綜合目標函數(shù)。對于上述同時考慮剛度和頻率的多目標優(yōu)化問題，綜合目標函數(shù)可表示為：F(\boldsymbol{\rho})=w_1f_1(\boldsymbol{\rho})+w_2f_2(\boldsymbol{\rho})其中，w_1和w_2為加權(quán)系數(shù)，且w_1+w_2=1，w_1\geq0，w_2\geq0。加權(quán)系數(shù)的取值反映了各個目標在優(yōu)化過程中的相對重要性，通過調(diào)整加權(quán)系數(shù)，可以得到不同側(cè)重的優(yōu)化結(jié)果。例如，當w_1取值較大時，優(yōu)化結(jié)果更側(cè)重于提高結(jié)構(gòu)剛度；當w_2取值較大時，優(yōu)化結(jié)果更傾向于提升固有頻率。在VDR-BESO方法的迭代過程中，以綜合目標函數(shù)F(\boldsymbol{\rho})作為判斷單元刪除和添加的依據(jù)，通過不斷調(diào)整單元密度，使綜合目標函數(shù)達到最優(yōu)。確定加權(quán)系數(shù)的方法有多種，主觀經(jīng)驗法是根據(jù)工程經(jīng)驗和對各目標的重視程度直接給定加權(quán)系數(shù)；層次分析法（AHP）則是通過構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型，對各目標的相對重要性進行兩兩比較，從而確定加權(quán)系數(shù)，這種方法更加科學和系統(tǒng)，能夠充分考慮各目標之間的復(fù)雜關(guān)系。分層序列法：將多個目標按照重要程度進行排序，依次對每個目標進行優(yōu)化。在基于VDR-BESO方法的實現(xiàn)中，首先將最重要的目標作為當前優(yōu)化階段的唯一目標，運用VDR-BESO方法進行拓撲優(yōu)化，得到滿足該目標的結(jié)構(gòu)拓撲；然后，在保持前一個目標優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，將次重要的目標納入優(yōu)化，對結(jié)構(gòu)進行進一步的調(diào)整和優(yōu)化，直到所有目標都得到考慮和優(yōu)化。例如，在同時考慮剛度和頻率的優(yōu)化中，如果認為剛度更為重要，則先以最大化結(jié)構(gòu)剛度為目標進行VDR-BESO優(yōu)化，得到初步的優(yōu)化結(jié)構(gòu)；再在此結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，以最大化固有頻率為目標，對結(jié)構(gòu)進行微調(diào)，使結(jié)構(gòu)在滿足一定剛度要求的同時，固有頻率也得到提升。分層序列法的優(yōu)點是優(yōu)化過程清晰，能夠逐步滿足各個目標的要求，但缺點是對目標排序的準確性要求較高，如果排序不合理，可能會導致最終優(yōu)化結(jié)果不能很好地平衡多個目標。非劣解集法：該方法旨在求出多目標優(yōu)化問題的非劣解集，也稱為Pareto解集。對于多目標優(yōu)化問題，非劣解是指在可行域內(nèi)，不存在其他解能夠在不降低其他目標函數(shù)值的情況下，提高至少一個目標函數(shù)值的解。在基于VDR-BESO方法的實現(xiàn)中，通過多次運行VDR-BESO算法，每次采用不同的參數(shù)設(shè)置或初始條件，得到一系列不同的拓撲結(jié)構(gòu)及其對應(yīng)的目標函數(shù)值。然后，從這些結(jié)果中篩選出非劣解，形成Pareto解集。決策者可以根據(jù)實際需求和偏好，從Pareto解集中選擇最合適的解作為最終的優(yōu)化方案。非劣解集法的優(yōu)點是能夠全面地展示多目標優(yōu)化問題的所有有效解，為決策者提供更多的選擇，但計算量較大，需要多次運行優(yōu)化算法。4.2多約束條件處理在實際工程應(yīng)用中，連續(xù)體結(jié)構(gòu)往往面臨多種約束條件的限制，這些約束條件對于確保結(jié)構(gòu)在各種工況下的安全、穩(wěn)定運行至關(guān)重要。除了前文提及的體積約束外，應(yīng)力約束和位移約束也是常見且關(guān)鍵的約束條件。應(yīng)力約束是保證結(jié)構(gòu)在工作過程中安全可靠運行的重要條件。在實際工程中，結(jié)構(gòu)各部分所承受的應(yīng)力必須控制在材料的許用應(yīng)力范圍內(nèi)，否則結(jié)構(gòu)可能發(fā)生屈服、斷裂等失效形式，危及整個工程的安全。例如，在橋梁結(jié)構(gòu)中，橋梁的梁體、橋墩等部件在承受車輛荷載、風荷載、地震荷載等多種外力作用時，其內(nèi)部應(yīng)力分布復(fù)雜，若某些部位的應(yīng)力超過材料的許用應(yīng)力，就可能導致結(jié)構(gòu)局部破壞，進而影響整個橋梁的承載能力和使用壽命。在基于VDR-BESO方法的拓撲優(yōu)化中，處理應(yīng)力約束的關(guān)鍵在于準確計算每個單元的應(yīng)力，并將其與材料的許用應(yīng)力進行比較。在有限元分析階段，通過求解結(jié)構(gòu)的力學平衡方程，得到各單元的應(yīng)力值。在優(yōu)化迭代過程中，當某個單元的應(yīng)力超過許用應(yīng)力時，該單元需要進行特殊處理，如增加其材料密度，以增強該單元的承載能力，降低應(yīng)力水平；或者調(diào)整其周圍單元的材料分布，改變應(yīng)力傳遞路徑，使應(yīng)力重新分布，滿足應(yīng)力約束條件?？梢圆捎昧P函數(shù)法將應(yīng)力約束引入目標函數(shù)，通過在目標函數(shù)中添加與應(yīng)力相關(guān)的罰項，當應(yīng)力違反約束時，罰項的值增大，從而使目標函數(shù)值變差，引導優(yōu)化算法調(diào)整結(jié)構(gòu)拓撲，使應(yīng)力滿足約束要求。位移約束也是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中需要考慮的重要因素。在許多工程場景中，為了保證結(jié)構(gòu)的正常功能和穩(wěn)定性，需要限制結(jié)構(gòu)在特定點或區(qū)域的位移。例如，在機械加工設(shè)備中，工作臺的位移精度直接影響加工零件的尺寸精度和表面質(zhì)量，因此需要嚴格限制工作臺在加工過程中的位移；在高層建筑結(jié)構(gòu)中，為了保證居住者的舒適性和結(jié)構(gòu)的安全性，需要控制結(jié)構(gòu)在風荷載和地震荷載作用下的頂點位移和層間位移，避免過大的位移導致結(jié)構(gòu)損壞或影響使用者的正常生活。在VDR-BESO方法中處理位移約束時，首先要確定需要約束位移的點或區(qū)域，在有限元分析中精確計算這些位置的位移響應(yīng)。當位移超出允許范圍時，通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的拓撲和材料分布來減小位移?？梢栽趦?yōu)化算法中設(shè)置位移約束的懲罰項，當位移約束不滿足時，增加懲罰項的值，促使算法對結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，使位移滿足約束條件。也可以采用拉格朗日乘子法，將位移約束轉(zhuǎn)化為等式約束，引入拉格朗日乘子，構(gòu)建增廣目標函數(shù)，通過求解增廣目標函數(shù)來滿足位移約束要求。在VDR-BESO方法中，將多種約束條件與優(yōu)化算法進行有效整合是實現(xiàn)準確優(yōu)化的關(guān)鍵。一種常見的方法是將不同的約束條件通過適當?shù)姆绞睫D(zhuǎn)化為統(tǒng)一的約束形式，然后在優(yōu)化算法的迭代過程中同時考慮這些約束。例如，將應(yīng)力約束、位移約束和體積約束統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為不等式約束的形式，在每次迭代中，計算當前結(jié)構(gòu)拓撲下各約束條件的滿足情況，根據(jù)約束違反程度調(diào)整單元的刪除和添加策略。在計算靈敏度時，不僅要考慮目標函數(shù)對單元密度的靈敏度，還要考慮約束條件對單元密度的靈敏度，綜合這些靈敏度信息來確定單元的去留，從而使優(yōu)化結(jié)果既滿足目標函數(shù)的要求，又符合各種約束條件的限制。通過合理處理多約束條件，能夠使基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果更符合實際工程需求，提高結(jié)構(gòu)的可靠性和實用性。4.3拓展方法的算例分析為了進一步驗證考慮多因素拓展后的VDR-BESO方法的有效性，本部分通過具體算例進行分析。選取一個具有代表性的三維框架結(jié)構(gòu)作為研究對象，該結(jié)構(gòu)在航空航天設(shè)備的支撐結(jié)構(gòu)中具有相似的應(yīng)用場景，對其進行多目標和多約束條件下的拓撲優(yōu)化，具有重要的工程實際意義。該三維框架結(jié)構(gòu)由若干梁單元組成，其初始尺寸為長度L=2000\text{mm}，寬度W=1500\text{mm}，高度H=1000\text{mm}。材料為鋁合金，彈性模量E=70\times10^{9}\text{Pa}，泊松比\nu=0.33，密度\rho_0=2700\text{kg/m}^3。結(jié)構(gòu)的底部固定約束，在頂部的特定區(qū)域施加動態(tài)載荷，模擬實際工作中的受力情況。優(yōu)化目標設(shè)定為同時最大化結(jié)構(gòu)的一階固有頻率和結(jié)構(gòu)剛度。其中，結(jié)構(gòu)剛度以最小化結(jié)構(gòu)柔順度來衡量，柔順度定義為結(jié)構(gòu)在載荷作用下所做的功，柔順度越小，結(jié)構(gòu)剛度越大。約束條件包括體積約束，限制結(jié)構(gòu)的材料使用量不超過初始體積的60\%；應(yīng)力約束，確保結(jié)構(gòu)各部分的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力[\sigma]=200\times10^{6}\text{Pa}；位移約束，限制結(jié)構(gòu)頂部特定點在Z方向的最大位移不超過10\text{mm}。在基于VDR-BESO方法的多目標優(yōu)化過程中，采用加權(quán)求和法將兩個目標函數(shù)組合成一個綜合目標函數(shù)。經(jīng)過多次試驗和分析，確定加權(quán)系數(shù)w_1=0.4（對應(yīng)一階固有頻率目標），w_2=0.6（對應(yīng)結(jié)構(gòu)剛度目標），以平衡兩個目標在優(yōu)化過程中的相對重要性。VDR-BESO方法的其他參數(shù)設(shè)置如下：初始刪除率\alpha_0=0.04，最小刪除率\alpha_{\min}=0.01，刪除率調(diào)整系數(shù)\beta=0.96。迭代計算過程中，當綜合目標函數(shù)的變化量小于10^{-5}，或者迭代次數(shù)達到300次時，認為算法收斂，停止迭代。經(jīng)過一系列迭代計算，最終得到優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)拓撲。圖2展示了優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)拓撲對比，從圖中可以明顯看出，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的材料分布更加合理，主要集中在對提高結(jié)構(gòu)剛度和固有頻率起關(guān)鍵作用的部位，如支撐柱和連接部位，而對結(jié)構(gòu)性能貢獻較小的部分材料被去除，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的輕量化。[此處插入圖2：優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)拓撲對比，左圖為優(yōu)化前結(jié)構(gòu)拓撲，右圖為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)拓撲]對比優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的性能指標，優(yōu)化前結(jié)構(gòu)的一階固有頻率為f_1=120.5\text{Hz}，結(jié)構(gòu)柔順度C=5.6\times10^{-3}\text{N}\cdot\text{m}。優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的一階固有頻率提高到f_1'=185.8\text{Hz}，提高了約54.2\%；結(jié)構(gòu)柔順度降低到C'=3.2\times10^{-3}\text{N}\cdot\text{m}，降低了約42.9\%。同時，結(jié)構(gòu)的體積由初始的V_0=3\times10^{-3}\text{m}^3減少到V=1.8\times10^{-3}\text{m}^3，滿足體積約束要求；結(jié)構(gòu)各部分的應(yīng)力均在許用應(yīng)力范圍內(nèi)，頂部特定點在Z方向的最大位移為8.5\text{mm}，滿足位移約束要求。通過該算例分析可知，考慮多因素拓展后的VDR-BESO方法能夠在多目標和多約束條件下，有效地對連續(xù)體結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化。在滿足體積、應(yīng)力和位移等約束條件的前提下，顯著提高了結(jié)構(gòu)的一階固有頻率和剛度，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性能的綜合提升和輕量化設(shè)計，驗證了該拓展方法在實際工程應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性，為航空航天等領(lǐng)域的復(fù)雜結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了可靠的技術(shù)支持。五、工程應(yīng)用案例分析5.1航空航天領(lǐng)域應(yīng)用在航空航天領(lǐng)域，航空發(fā)動機作為飛行器的核心動力裝置，其性能直接關(guān)乎飛行器的飛行性能、可靠性以及安全性。而航空發(fā)動機葉片作為發(fā)動機的關(guān)鍵部件，在發(fā)動機運行過程中，不僅要承受高溫、高壓以及高速氣流的作用，還要面臨復(fù)雜的動力學環(huán)境，如高轉(zhuǎn)速下產(chǎn)生的離心力、氣動力激振等，這對葉片的動力學性能提出了極高的要求。若葉片的動力學性能不佳，在運行過程中就可能出現(xiàn)共振、疲勞斷裂等問題，嚴重威脅發(fā)動機的安全運行，進而影響飛行器的飛行安全。因此，對航空發(fā)動機葉片進行動力學拓撲優(yōu)化，提升其動力學性能，具有至關(guān)重要的意義。本案例選取某型號航空發(fā)動機的低壓渦輪葉片作為研究對象。該葉片采用鎳基高溫合金材料，其彈性模量E=200\times10^{9}\text{Pa}，泊松比\nu=0.3，密度\rho_0=8500\text{kg/m}^3。葉片的幾何形狀復(fù)雜，具有獨特的扭曲和彎曲形狀，以滿足其在航空發(fā)動機中的氣動性能要求。在實際工作狀態(tài)下，葉片根部固定約束，承受高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力以及燃氣流的氣動力作用。其中，離心力根據(jù)葉片的轉(zhuǎn)速和質(zhì)量分布進行計算，氣動力則通過流體動力學分析得到，其大小和方向隨葉片的工作狀態(tài)而變化。優(yōu)化目標設(shè)定為最大化葉片的一階固有頻率，同時確保葉片在工作過程中的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力[\sigma]=500\times10^{6}\text{Pa}，并滿足體積約束，限制結(jié)構(gòu)的材料使用量不超過初始體積的70\%。在基于VDR-BESO方法的優(yōu)化過程中，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：初始刪除率\alpha_0=0.03，最小刪除率\alpha_{\min}=0.01，刪除率調(diào)整系數(shù)\beta=0.97。迭代計算過程中，當目標函數(shù)（一階固有頻率）的變化量小于10^{-5}，或者迭代次數(shù)達到250次時，認為算法收斂，停止迭代。經(jīng)過一系列迭代計算，得到優(yōu)化后的葉片拓撲結(jié)構(gòu)。圖3展示了優(yōu)化前后葉片的拓撲結(jié)構(gòu)對比，從圖中可以明顯看出，優(yōu)化后葉片的材料分布更加合理，在保證葉片主要結(jié)構(gòu)完整性和強度的前提下，去除了部分對提高一階固有頻率貢獻較小的材料，使材料集中在關(guān)鍵受力部位和對結(jié)構(gòu)剛度起關(guān)鍵作用的區(qū)域，如葉片的根部和葉身的主要受力區(qū)域。[此處插入圖3：優(yōu)化前后葉片的拓撲結(jié)構(gòu)對比，左圖為優(yōu)化前葉片拓撲結(jié)構(gòu)，右圖為優(yōu)化后葉片拓撲結(jié)構(gòu)]對比優(yōu)化前后葉片的動力學性能，優(yōu)化前葉片的一階固有頻率為f_1=1200\text{Hz}，優(yōu)化后葉片的一階固有頻率提高到f_1'=1550\text{Hz}，提高了約29.2\%。同時，在滿足體積約束的情況下，通過對葉片拓撲結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，調(diào)整了應(yīng)力分布，使葉片在工作過程中的最大應(yīng)力由優(yōu)化前的\sigma_{\max}=480\times10^{6}\text{Pa}降低到\sigma_{\max}'=450\times10^{6}\text{Pa}，滿足應(yīng)力約束要求。通過本案例分析可知，基于VDR-BESO方法對航空發(fā)動機葉片進行動力學拓撲優(yōu)化，能夠在滿足工程約束條件的前提下，顯著提高葉片的一階固有頻率，優(yōu)化應(yīng)力分布，提升葉片的動力學性能和結(jié)構(gòu)安全性。這不僅有助于提高航空發(fā)動機的可靠性和使用壽命，還能為航空航天領(lǐng)域的飛行器設(shè)計提供更優(yōu)化的結(jié)構(gòu)方案，降低飛行器的重量和能耗，提高其飛行性能和經(jīng)濟效益。5.2機械工程領(lǐng)域應(yīng)用在機械工程領(lǐng)域，汽車發(fā)動機缸體作為發(fā)動機的關(guān)鍵部件，其性能對發(fā)動機的整體工作效率和可靠性有著至關(guān)重要的影響。發(fā)動機缸體不僅要承受高溫、高壓以及機械振動等復(fù)雜工況，還要保證各零部件之間的精確配合，因此對其結(jié)構(gòu)設(shè)計和性能優(yōu)化提出了極高的要求。傳統(tǒng)的發(fā)動機缸體設(shè)計往往側(cè)重于滿足基本的功能需求，而對結(jié)構(gòu)的合理性和材料的有效利用考慮不足，導致缸體在重量、剛度、振動等方面存在一定的改進空間。基于VDR-BESO方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)動力學拓撲優(yōu)化技術(shù)，為汽車發(fā)動機缸體的設(shè)計優(yōu)化提供了新的思路和方法，有望顯著提升缸體的綜合性能。本案例選取某型號汽車的四缸發(fā)動機缸體作為研究對象。該缸體采用鋁合金材料，其彈性模量E=70\times10^{9}\text{Pa}，泊松比\nu=0.33，密度\rho_0=2700\text{kg/m}^3。在發(fā)動機工作過程中，缸體承受著燃氣爆發(fā)壓力、活塞往復(fù)運動產(chǎn)生的慣性力以及曲軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力等多種載荷的作用。同時，為了保證發(fā)動機的正常運行，缸體還需要滿足一定的剛度和振動性能要求。優(yōu)化目標設(shè)定為同時最大化缸體的剛度和一階固有頻率，以提高缸體的結(jié)構(gòu)性能和抗振能力。其中，剛度以最小化結(jié)構(gòu)柔順度來衡量，柔順度定義為結(jié)構(gòu)在載荷作用下所做的功，柔順度越小，結(jié)構(gòu)剛度越大。約束條件包括體積約束，限制結(jié)構(gòu)的材料使用量不超過初始體積的75\%，以實現(xiàn)缸體的輕量化設(shè)計；應(yīng)力約束，確保缸體各部分的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力[\sigma]=150\times10^{6}\text{Pa}，保證缸體在工作過程中的安全性。在基于VDR-BESO方法的優(yōu)化過程中，采用加權(quán)求和法將剛度和一階固有頻率兩個目標函數(shù)組合成一個綜合目標函數(shù)。經(jīng)過多次試驗和分析，確定加權(quán)系數(shù)w_1=0.4（對應(yīng)一階固有頻率目標），w_2=0.6（對應(yīng)結(jié)構(gòu)剛度目標），以平衡兩個目標在優(yōu)化過程中的相對重要性。VDR-BESO方法的其他參數(shù)設(shè)置如下：初始刪除率\alpha_0=0.04，最小刪除率\alpha_{\min}=0.01，刪除率調(diào)整系數(shù)\beta=0.96。迭代計算過程中，當綜合目標函數(shù)的變化量小于10^{-5}，或者迭代次數(shù)達到300次時，認為算法收斂，停止迭代。經(jīng)過一系列迭代計算，得到優(yōu)化后的缸體拓撲結(jié)構(gòu)。圖4展示了優(yōu)化前后缸體的拓撲結(jié)構(gòu)對比，從圖中可以明顯看出，優(yōu)化后缸體的材料分布更加合理，在保證缸體主要結(jié)構(gòu)完整性和功能的前提下，去除了部分對提高剛度和一階固有頻率貢獻較小的材料，使材料集中在關(guān)鍵受力部位和對結(jié)構(gòu)剛度起關(guān)鍵作用的區(qū)域，如氣缸壁、曲軸支撐部位等。[此處插入圖4：優(yōu)化前后缸體的拓撲結(jié)構(gòu)對比，左圖為優(yōu)化前缸體拓撲結(jié)構(gòu)，右圖為優(yōu)化后缸體拓撲結(jié)構(gòu)]對比優(yōu)化前后缸體的性能指標，優(yōu)化前缸體的一階固有頻率為f_1=850\text{Hz}，結(jié)構(gòu)柔順度C=8.5\times10^{-3}\text{N}\cdot\text{m}。優(yōu)化后缸體的一階固有頻率提高到f_1'=1200\text{Hz}，提高了約41.2\%；結(jié)構(gòu)柔順度降低到C'=5.2\times10^{-3}\text{N}\cdot\text{m}，降低了約38.8\%。同時，結(jié)構(gòu)的體積由初始的V_0=5\times10^{-3}\text{m}^3減少到V=3.75\times10^{-3}\text{m}^3，滿足體積約束要求；缸體各部分的應(yīng)力均在許用應(yīng)力范圍內(nèi)，滿足應(yīng)力約束要求。通過本案例分析可知，基于VDR-BESO方法對汽車發(fā)動機缸體進行動力學拓撲優(yōu)化，能夠在滿足體積和應(yīng)力等約束條件的前提下，顯著提高缸體的剛度和一階固有頻率，實現(xiàn)缸體的輕量化設(shè)計，有效提升了缸體的動力學性能和結(jié)構(gòu)安全性。這不僅有助于提高發(fā)動機的工作效率和可靠性，降低燃油消耗和排放，還能為汽車制造企業(yè)提供更優(yōu)化的產(chǎn)品設(shè)計方案，增強企業(yè)的市場競爭力。5.3應(yīng)用案例對比與總結(jié)通過對航空航天領(lǐng)域航空發(fā)動機葉片和機械工程領(lǐng)域汽車發(fā)動機缸體這兩個應(yīng)用案例的深入分析，我們可以清晰地對比出VDR-BESO方法在不同領(lǐng)域應(yīng)用時的優(yōu)化效果。在航空發(fā)動機葉片案例中，優(yōu)化后葉片的一階固有頻率提高了約29.2%，最大應(yīng)力降低，滿足了應(yīng)力約束和體積約束要求。這表明VDR-BESO方法能夠有效提升葉片在復(fù)雜動力學環(huán)境下的抗振性能和結(jié)構(gòu)安全性，對于保障航空發(fā)動機的穩(wěn)定運行起到了關(guān)鍵作用。而在汽車發(fā)動機缸體案例中，優(yōu)化后缸體的一階固有頻率提高了約41.2%，結(jié)構(gòu)柔順度降低了約38.8%，實現(xiàn)了輕量化設(shè)計，同時滿足體積