統(tǒng)計(jì)與決策在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用，2025年大學(xué)期末考試試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共30分）1.下列關(guān)于總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計(jì)量的描述，正確的是（）。A.總體參數(shù)是隨機(jī)變量，樣本統(tǒng)計(jì)量是確定的數(shù)值B.總體參數(shù)是確定的數(shù)值，樣本統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量C.總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計(jì)量都是隨機(jī)變量D.總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計(jì)量都是確定的數(shù)值2.設(shè)事件A和B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.5，則P(A∪B)=（）。A.0.15B.0.8C.0.3D.0.23.樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤反映了（）。A.總體均值的大小B.樣本均值的離散程度C.總體方差的估計(jì)精度D.樣本方差的離散程度4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，第一類錯(cuò)誤是指（）。A.統(tǒng)計(jì)量計(jì)算錯(cuò)誤B.接受原假設(shè)，但原假設(shè)為假C.拒絕原假設(shè)，但原假設(shè)為真D.原假設(shè)為真，但接受備擇假設(shè)5.對(duì)于正態(tài)分布總體，當(dāng)總體方差未知時(shí)，檢驗(yàn)總體均值應(yīng)使用的統(tǒng)計(jì)量是（）。A.Z統(tǒng)計(jì)量B.t統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量6.在方差分析中，F(xiàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)是（）。A.各組均值相等B.各組均值不等C.組內(nèi)方差相等D.組間方差相等7.一元線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，ε代表（）。A.自變量xB.因變量yC.模型的誤差項(xiàng)D.回歸系數(shù)β?8.最小二乘法估計(jì)回歸系數(shù)的基本思想是使（）。A.觀察值與回歸值的絕對(duì)離差之和最小B.觀察值與回歸值的平方離差之和最小C.回歸值與均值之差之和最小D.觀察值與均值之差之和最小9.已知一組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r=-0.8，則說明這兩個(gè)變量之間（）。A.線性關(guān)系很強(qiáng)，且正相關(guān)B.線性關(guān)系很強(qiáng)，且負(fù)相關(guān)C.線性關(guān)系很弱，且正相關(guān)D.線性關(guān)系很弱，且負(fù)相關(guān)10.決策樹方法在數(shù)據(jù)挖掘中屬于（）。A.聚類方法B.分類方法C.關(guān)聯(lián)規(guī)則方法D.主成分分析11.貝葉斯決策理論中，用于衡量一個(gè)決策方案好壞的指標(biāo)是（）。A.概率分布B.先驗(yàn)概率C.損失函數(shù)D.后驗(yàn)概率12.在風(fēng)險(xiǎn)型決策中，期望值法選擇最優(yōu)方案的標(biāo)準(zhǔn)是（）。A.期望收益最大或期望損失最小B.風(fēng)險(xiǎn)最小C.確定性等價(jià)值最大D.變異系數(shù)最小13.抽樣調(diào)查中，造成抽樣誤差的主要原因是（）。A.樣本量過小B.調(diào)查人員工作失誤C.抽樣方法不當(dāng)D.總體變異14.若一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布不受總體分布形態(tài)的影響，則稱該統(tǒng)計(jì)量服從（）。A.正態(tài)分布B.t分布C.χ2分布D.漸進(jìn)分布（如中心極限定理下的分布）15.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（減去均值再除以標(biāo)準(zhǔn)差），其主要目的是（）。A.壓縮數(shù)據(jù)范圍B.增大數(shù)據(jù)均值C.消除量綱影響D.提高數(shù)據(jù)相關(guān)性二、填空題（每空2分，共10分）1.若事件A發(fā)生的概率P(A)=0.6，事件B發(fā)生的概率P(B)=0.7，且A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率P(A∪B)=0.85，則事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率P(A∩B)=_______。2.在95%的置信水平下構(gòu)造總體均值μ的置信區(qū)間，意味著如果反復(fù)抽樣，大約有95%的置信區(qū)間會(huì)包含真值μ。這里的置信水平α=_______。3.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平α表示犯第一類錯(cuò)誤的概率，即當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率，α通常取值如_______。4.在一元線性回歸分析中，判定系數(shù)R2表示因變量的變異中能被回歸方程解釋的比率，其取值范圍是_______。5.在貝葉斯決策中，給定觀察到的樣本信息后，條件概率P(θ|D)稱為_______概率。三、簡(jiǎn)答題（每題8分，共24分）1.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。2.解釋什么是回歸模型的異方差性？它會(huì)對(duì)回歸分析的推斷帶來什么影響？3.簡(jiǎn)述決策樹模型在分類問題中的基本思想。四、計(jì)算題（每題12分，共24分）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，隨機(jī)抽取50個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得樣本平均壽命為1000小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為150小時(shí)。假設(shè)零件壽命服從正態(tài)分布，試以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均壽命的置信區(qū)間。2.某研究者想探究廣告投入（萬元）與產(chǎn)品銷售額（萬元）之間的關(guān)系，收集了10對(duì)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：Σx=60,Σy=800,Σx2=460,Σy2=68000,Σxy=5000。假設(shè)數(shù)據(jù)符合一元線性回歸模型，求：(1)回歸方程y^=b?+b?x；(2)當(dāng)廣告投入為8萬元時(shí)，預(yù)測(cè)產(chǎn)品銷售額的點(diǎn)估計(jì)值。五、綜合應(yīng)用題（共22分）某公司想評(píng)估兩種營(yíng)銷策略（策略A和策略B）的效果。收集了最近三個(gè)月的數(shù)據(jù)，記錄了采用不同策略時(shí)的銷售額（萬元）和營(yíng)銷成本（萬元），數(shù)據(jù)如下表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)省略，請(qǐng)自行補(bǔ)充完整以構(gòu)成有效計(jì)算，例如補(bǔ)充策略A銷售額為80,成本為30；策略B銷售額為90,成本為40等，確保能完成計(jì)算）：|策略|月份數(shù)|平均銷售額(萬元)|平均成本(萬元)||---|---|---|---||策略A|3||||策略B|3|||已知總銷售額Σy_A=240,Σy_B=270,總成本Σx_A=120,Σx_B=150，策略A的樣本方差s2_A=400,策略B的樣本方差s2_B=500，樣本量n_A=n_B=3。(1)請(qǐng)問該公司應(yīng)使用什么統(tǒng)計(jì)方法來比較兩種策略的平均銷售額是否存在顯著差異？為什么？（6分）(2)假設(shè)選擇了合適的方法，請(qǐng)完成必要的計(jì)算（需明確寫出所使用的公式和計(jì)算過程），并判斷在顯著性水平α=0.05下，兩種策略的平均銷售額是否存在顯著差異。（16分）試卷答案一、選擇題1.B解析：總體參數(shù)是描述總體特征的固定數(shù)值，而樣本統(tǒng)計(jì)量是基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得出的，會(huì)隨樣本不同而變化。2.B解析：由于A和B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8。3.B解析：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤衡量的是樣本均值作為總體均值估計(jì)量的抽樣波動(dòng)性或離散程度。4.C解析：第一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H?為真，但根據(jù)樣本信息拒絕了H?。5.B解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，應(yīng)使用t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行均值檢驗(yàn)。6.A解析：方差分析中的F檢驗(yàn)是為了檢驗(yàn)不同組別均值是否相等（即檢驗(yàn)組間差異是否顯著大于組內(nèi)隨機(jī)誤差）。7.C解析：ε代表模型中無法被自變量x解釋的隨機(jī)誤差項(xiàng)。8.B解析：最小二乘法通過最小化觀測(cè)值y與回歸值y^之間的平方離差之和來確定回歸系數(shù)。9.B解析：相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，表示線性關(guān)系越強(qiáng)；r為負(fù)值表示負(fù)相關(guān)。10.B解析：決策樹是一種常用的分類算法，通過樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行決策。11.C解析：損失函數(shù)定義了不同決策結(jié)果帶來的損失大小，是貝葉斯決策中評(píng)估方案優(yōu)劣的關(guān)鍵。12.A解析：期望值法通過計(jì)算各個(gè)方案在不同狀態(tài)下的期望收益或期望損失來選擇最優(yōu)方案。13.D解析：抽樣誤差是由于抽樣導(dǎo)致樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異，根本原因是總體本身存在變異。14.D解析：根據(jù)中心極限定理，無論總體分布如何，樣本均值的分布會(huì)漸近于正態(tài)分布，這是許多統(tǒng)計(jì)推斷方法的基礎(chǔ)。15.C解析：標(biāo)準(zhǔn)化處理可以消除不同變量量綱和數(shù)量級(jí)的影響，使數(shù)據(jù)具有可比性，便于后續(xù)分析。二、填空題1.0.25解析：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.85=0.45。2.0.05解析：置信水平為95%，則α=1-0.95=0.05。3.0.05解析：α是犯第一類錯(cuò)誤的概率，常用值有0.05、0.01等。4.[0,1]解析：R2衡量回歸解釋的變異比例，最小為0（完全無解釋力），最大為1（完全解釋）。5.后驗(yàn)三、簡(jiǎn)答題1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：(1)提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；(2)選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在H?成立下的分布；(3)根據(jù)顯著性水平α確定拒絕域（臨界值或P值臨界值）；(4)計(jì)算樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值或P值；(5)做出決策：若統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域或P值≤α，則拒絕H?；否則不拒絕H?。2.回歸模型的異方差性是指回歸模型的誤差項(xiàng)ε的方差不是常數(shù)，而是隨著自變量的取值變化。異方差性會(huì)帶來以下影響：(1)OLS估計(jì)量（最小二乘估計(jì)）不再具有最小方差性（即不再是BLUE，BestLinearUnbiasedEstimator），即存在更有效的無偏估計(jì)；(2)原假設(shè)（如H?:β?=0）的t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)的方差估計(jì)有偏，導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果不準(zhǔn)確，可能犯第二類錯(cuò)誤（接受錯(cuò)誤的H?）；(3)回歸預(yù)測(cè)的精度可能受到影響，尤其是在自變量取值遠(yuǎn)離樣本均值時(shí)。3.決策樹模型在分類問題中的基本思想是利用樹狀圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行決策。它從根節(jié)點(diǎn)開始，通過一系列基于特征（屬性）的判斷（分裂）將數(shù)據(jù)劃分成越來越小的子集（葉節(jié)點(diǎn)）。每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)特征上的判斷，每個(gè)分支代表該特征的一個(gè)取值，每個(gè)葉節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)最終的分類結(jié)果（類別標(biāo)簽）。決策過程是從根節(jié)點(diǎn)開始，根據(jù)實(shí)例的特征值沿著分支向下遍歷樹，直到到達(dá)一個(gè)葉節(jié)點(diǎn)，該葉節(jié)點(diǎn)的類別標(biāo)簽即為模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。常用的決策樹算法有ID3、C4.5、CART等。四、計(jì)算題1.計(jì)算總體均值μ的95%置信區(qū)間：(1)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：SE=s/sqrt(n)=150/sqrt(50)≈21.21(2)查t分布表，df=n-1=49，α/2=0.025，t_(0.025,49)≈2.0096(3)計(jì)算置信區(qū)間半寬：ME=t_(0.025,49)*SE≈2.0096*21.21≈42.58(4)置信區(qū)間為：x?±ME=1000±42.58=(957.42,1042.58)答：以95%的置信水平估計(jì)該批零件平均壽命的置信區(qū)間為(957.42小時(shí),1042.58小時(shí))。2.計(jì)算一元線性回歸方程：(1)計(jì)算回歸系數(shù)b?：b?=nΣxy-ΣxΣy/(nΣx2-(Σx)2)b?=10*5000-60*800/(10*460-602)b?=50000-48000/(4600-3600)b?=2000/1000=2(2)計(jì)算回歸系數(shù)b?：b?=y?-b?x?（其中x?=Σx/n=60/10=6,y?=Σy/n=800/10=80）b?=80-2*6=80-12=68(3)回歸方程為：y^=68+2x(4)預(yù)測(cè)x=8時(shí)的銷售額：y^=68+2*8=68+16=84答：回歸方程為y^=68+2x；當(dāng)廣告投入為8萬元時(shí)，預(yù)測(cè)產(chǎn)品銷售額的點(diǎn)估計(jì)值為84萬元。五、綜合應(yīng)用題(1)方法選擇及理由：應(yīng)使用兩組獨(dú)立樣本的均值比較的t檢驗(yàn)（如雙樣本t檢驗(yàn)）。理由是：比較兩種策略（策略A和策略B）的平均銷售額（屬于連續(xù)性數(shù)據(jù)），數(shù)據(jù)來自兩個(gè)獨(dú)立的組（采用不同策略的樣本），目的是檢驗(yàn)兩組樣本所代表的總體均值是否存在顯著差異。（注：如果題目中數(shù)據(jù)是配對(duì)設(shè)計(jì)，則應(yīng)使用配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。此處按獨(dú)立樣本處理。）(2)計(jì)算過程與判斷：(1)計(jì)算兩組樣本的均值和方差（假設(shè)補(bǔ)充數(shù)據(jù)為：策略A平均銷售額=80,成本=30；策略B平均銷售額=90,成本=40）：x?_A=80,s2_A=400=>s_A=20x?_B=90,s2_B=500=>s_B=√500≈22.36n_A=3,n_B=3(2)計(jì)算合并方差估計(jì)（使用Welch近似方差，或假設(shè)方差相等使用pooledvariance，此處采用Welch方法更穩(wěn)?。簊_p2=[(n_A-1)s2_A+(n_B-1)s2_B]/(n_A-1+n_B-1)s_p2=[(3-1)400+(3-1)500]/(3-1+3-1)=[800+1000]/4=1800/4=450s_p=√450≈21.21(3)計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量（使用Welch公式）：t=(x?_A-x?_B)/sqrt[s_p2*(1/n_A+1/n_B)]t=(80-90)/sqrt[450*(1/3+1/3)]t=-10/sqrt[450*(2/3)]t=-10/sqrt[300]t=-10/17.32≈-0.577(4)計(jì)算自由度（使用Welch近似df）：df≈[s_p2_A/n_A+s_p2_B/n_B]2/[(s_p2_A/n_A)2/(n_A-1)+(s_p2_B/n_B)2/(n_B-1)]df≈[400/3+500/3]2/[(400/3)2/2+(500/3)2/2]