2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策案例分析試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某快餐連鎖店為了解其新產(chǎn)品（一種新口味的漢堡）的接受程度，在市中心隨機(jī)抽取了200名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，有120名消費(fèi)者表示喜歡這種新口味的漢堡。管理層希望估計(jì)總體中喜歡該新口味漢堡的消費(fèi)者比例，并希望以95%的置信水平使估計(jì)誤差不超過5%。請(qǐng)回答以下問題：1.基于樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算喜歡該新口味漢堡的消費(fèi)者比例的點(diǎn)估計(jì)值。2.計(jì)算總體中喜歡該新口味漢堡的消費(fèi)者比例的95%置信區(qū)間。3.假設(shè)管理層希望將估計(jì)誤差縮小到3%，在樣本量不變的情況下，這種置信水平下的估計(jì)是否可行？請(qǐng)解釋原因。試題二一家汽車制造公司想知道某種新型電動(dòng)汽車的續(xù)航里程是否符合其宣傳的500公里/次的指標(biāo)。為此，他們隨機(jī)抽取了30輛電動(dòng)汽車進(jìn)行測(cè)試，記錄了它們的實(shí)際續(xù)航里程（單位：公里）。假設(shè)續(xù)航里程數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，樣本平均續(xù)航里程為495公里，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15公里。請(qǐng)根據(jù)這些信息回答：1.提出檢驗(yàn)該新型電動(dòng)汽車?yán)m(xù)航里程是否符合宣傳指標(biāo)的零假設(shè)和備擇假設(shè)。2.選擇恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)檢驗(yàn)方法，并說明理由。3.假設(shè)顯著性水平為0.05，計(jì)算檢驗(yàn)的p值，并據(jù)此做出統(tǒng)計(jì)決策。4.解釋你的統(tǒng)計(jì)決策意味著什么。試題三一家零售公司想要分析其顧客的年齡（歲）與其月均消費(fèi)額（元）之間的關(guān)系。他們收集了100名顧客的數(shù)據(jù)，并考慮使用簡(jiǎn)單線性回歸模型來研究這兩者之間的關(guān)系。初步計(jì)算結(jié)果顯示，月均消費(fèi)額對(duì)年齡的回歸系數(shù)為-50，回歸模型的R2為0.32。請(qǐng)回答以下問題：1.解釋回歸系數(shù)-50的實(shí)際意義。2.解釋R2值為0.32的實(shí)際意義。3.基于以上信息，該公司可以得出關(guān)于顧客年齡和月均消費(fèi)額之間關(guān)系的哪些結(jié)論？4.在進(jìn)行回歸分析時(shí)，需要考慮哪些重要的假設(shè)條件？請(qǐng)列舉至少兩項(xiàng)。試題四一家銀行想知道其信用卡客戶的月消費(fèi)額（X，單位：元）與其月收入（Y，單位：元）之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系。他們隨機(jī)抽取了50名信用卡客戶，獲得了他們的月消費(fèi)額和月收入數(shù)據(jù)。計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r為0.65。請(qǐng)回答以下問題：1.解釋樣本相關(guān)系數(shù)r=0.65的實(shí)際意義。2.你認(rèn)為月收入和月消費(fèi)額之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？請(qǐng)解釋理由。3.如果銀行想利用客戶的月收入來預(yù)測(cè)其月消費(fèi)額，你是否建議使用線性回歸模型？請(qǐng)說明理由。4.除了相關(guān)系數(shù)和回歸分析，還有哪些統(tǒng)計(jì)方法可以用來分析月收入和月消費(fèi)額之間的關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明。試題五一家制藥公司研發(fā)了一種新藥，希望了解該藥物能否有效降低患者的血壓。他們進(jìn)行了一項(xiàng)臨床試驗(yàn)，將參與試驗(yàn)的患者隨機(jī)分為兩組：實(shí)驗(yàn)組（n?=50）服用新藥，對(duì)照組（n?=50）服用安慰劑。試驗(yàn)結(jié)束后，測(cè)量了兩組患者的收縮壓（單位：mmHg），數(shù)據(jù)如下（單位：mmHg）：*實(shí)驗(yàn)組樣本均值：130*實(shí)驗(yàn)組樣本標(biāo)準(zhǔn)差：15*對(duì)照組樣本均值：135*對(duì)照組樣本標(biāo)準(zhǔn)差：20假設(shè)兩組患者的收縮壓數(shù)據(jù)均近似服從正態(tài)分布，且兩組方差相等。請(qǐng)回答以下問題：1.提出檢驗(yàn)新藥能否有效降低患者收縮壓的零假設(shè)和備擇假設(shè)。2.選擇恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)檢驗(yàn)方法，并說明理由。3.假設(shè)顯著性水平為0.01，請(qǐng)計(jì)算檢驗(yàn)的p值（或提供檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值和P值所在的區(qū)間），并據(jù)此做出統(tǒng)計(jì)決策。4.解釋你的統(tǒng)計(jì)決策意味著什么。如果決策是拒絕零假設(shè)，請(qǐng)為新藥的有效性提供合理解釋。試卷答案試題一1.點(diǎn)估計(jì)值為120/200=0.60，即60%。2.由于p?=0.60，n=200，置信水平為95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得z_(α/2)=1.96。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.60(1-0.60)/200]=sqrt[0.24/200]=sqrt(0.0012)≈0.0346。置信區(qū)間=p?±z_(α/2)*SE=0.60±1.96*0.0346≈0.60±0.0681。即(0.5319,0.6681)。3.不可行。根據(jù)公式n=(z_(α/2)*sqrt[p?(1-p?)])2/E2，要使E縮小到3（即0.03），需要n=(1.96*sqrt[0.60*0.40])2/0.032=(1.96*0.48)2/0.0009=0.94082/0.0009≈0.8851/0.0009≈989。所需樣本量遠(yuǎn)大于200，因此原樣本量無法滿足將誤差縮小到3%的要求。試題二1.H?:μ=500(新型電動(dòng)汽車的續(xù)航里程符合宣傳的500公里/次)H?:μ≠500(新型電動(dòng)汽車的續(xù)航里程不符合宣傳的500公里/次)2.選擇獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。理由：樣本來自兩個(gè)獨(dú)立總體（實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組），總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但假設(shè)方差相等，且樣本量n=30屬于小樣本。3.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x??-μ?)/(s_p*sqrt(n?/n?))，其中s_p=sqrt[((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]=sqrt[((30-1)152+(30-1)202)/(30+30-2)]=sqrt[(4350+5700)/58]=sqrt(10050/58)≈sqrt(173.10)≈13.15。s_p≈13.15。t=(495-500)/(13.15*sqrt(30/30))=-5/13.15≈-0.381。查t分布表，自由度df=n?+n?-2=58，顯著性水平α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)，t_(0.025,58)≈2.002。由于|-0.381|<2.002，p值>0.05。決策：不拒絕H?。4.統(tǒng)計(jì)決策意味著沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明新型電動(dòng)汽車的續(xù)航里程不符合宣傳的500公里/次?？梢哉J(rèn)為，基于本次試驗(yàn)數(shù)據(jù)，該新型電動(dòng)汽車的續(xù)航里程符合其宣傳指標(biāo)。試題三1.回歸系數(shù)-50表示，在其他因素保持不變的情況下，顧客年齡每增加1歲，其月均消費(fèi)額預(yù)計(jì)平均減少50元。2.R2值為0.32表示，在月均消費(fèi)額的變動(dòng)中，有32%可以由顧客年齡的變化來解釋?；蛘弑硎绢櫩湍挲g與月均消費(fèi)額之間存在中等程度的線性關(guān)系。3.結(jié)論：顧客年齡與月均消費(fèi)額之間存在顯著的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系（因?yàn)榛貧w系數(shù)為負(fù)）。年齡越大的顧客，其月均消費(fèi)額可能越低。但R2值僅為0.32，說明年齡只能解釋消費(fèi)額變動(dòng)的32%，還有其他因素對(duì)消費(fèi)額影響更大。4.重要假設(shè)條件：線性關(guān)系（數(shù)據(jù)點(diǎn)呈線性趨勢(shì)）、誤差項(xiàng)獨(dú)立（一個(gè)觀測(cè)值的誤差與另一個(gè)觀測(cè)值的誤差不相關(guān)）、誤差項(xiàng)具有零均值（平均而言，誤差項(xiàng)的期望值為0）、誤差項(xiàng)方差齊性（所有觀測(cè)值的誤差方差相同）、誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。試題四1.樣本相關(guān)系數(shù)r=0.65表示，在樣本中，月收入和月消費(fèi)額之間存在中等強(qiáng)度的正線性相關(guān)關(guān)系。即月收入越高，月消費(fèi)額也傾向于越高。2.正相關(guān)。因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=0.65為正值，說明兩個(gè)變量之間的變動(dòng)方向一致。3.建議使用。因?yàn)榇嬖谥械葟?qiáng)度的正相關(guān)關(guān)系，且假設(shè)條件（如線性、誤差項(xiàng)正態(tài)性等）通常也較容易滿足，回歸模型可以用來根據(jù)月收入預(yù)測(cè)月消費(fèi)額。4.其他方法：方差分析（ANOVA）可以用來檢驗(yàn)不同收入組別之間的消費(fèi)額是否存在差異；列聯(lián)表分析（卡方檢驗(yàn)）可以用來檢驗(yàn)收入水平與消費(fèi)額（分類）之間是否存在關(guān)聯(lián)。試題五1.H?:μ?=μ?(兩組患者的收縮壓無差異)H?:μ?<μ?(實(shí)驗(yàn)組患者的收縮壓低于對(duì)照組)2.選擇配對(duì)樣本t檢驗(yàn)（如果數(shù)據(jù)是同一組患者在服用藥物前后測(cè)量的）或獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（如果數(shù)據(jù)是兩組不同患者測(cè)量的，且已知方差相等，根據(jù)題目描述，后者更合適）。理由：樣本來自兩個(gè)獨(dú)立總體（實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組），總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，但假設(shè)方差相等，且樣本量n?=n?=50屬于中等樣本量。3.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/(s_p*sqrt(1/n?+1/n?))，其中s_p=sqrt[((n?-1)s?2+(n?-1)s?2)/(n?+n?-2)]=sqrt[((50-1)152+(50-1)202)/(50+50-2)]=sqrt[(7190+9800)/98]=sqrt(17090/98)≈sqrt(174.69)≈13.22。s_p≈13.22。t=(130-135)/(13.22*sqrt(1/50+1/50))=-5/(13.22*sqrt(2/50))=-5/(13.22*0.1414)