大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：2025年統(tǒng)計(jì)與決策分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.已知總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知。從該總體中抽取樣本，當(dāng)樣本量n增大時(shí)，μ的（）估計(jì)的精度會(huì)提高。A.點(diǎn)B.區(qū)間C.點(diǎn)或區(qū)間D.與n無關(guān)2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤是指（）。A.處理了實(shí)際上不存在的問題B.沒有處理實(shí)際上存在的問題C.處理了實(shí)際上存在的問題D.沒有處理實(shí)際上不存在的問題3.對(duì)于兩個(gè)變量X和Y，如果相關(guān)系數(shù)r=0.8，則說明（）。A.X和Y之間存在很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系B.X和Y之間存在很強(qiáng)的負(fù)相關(guān)關(guān)系C.X和Y之間不存在線性關(guān)系D.X和Y之間存在非線性關(guān)系4.在進(jìn)行單因素方差分析時(shí)，如果零假設(shè)H?（各總體均值相等）被拒絕，則說明（）。A.至少有兩個(gè)總體均值相等B.所有總體均值都不相等C.至少有兩個(gè)總體均值不等D.各總體均值相等的可能性較大5.在決策分析中，若決策者面臨不確定狀態(tài)，但知道各種狀態(tài)發(fā)生的概率，則該決策問題屬于（）。A.確定型決策B.風(fēng)險(xiǎn)型決策C.不確定型決策D.競(jìng)爭(zhēng)型決策二、填空題（每小題2分，共10分）6.設(shè)X?,X?,...,Xn是來自總體X的樣本，則樣本均值的數(shù)學(xué)期望E()=μ。7.在假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若拒絕域?yàn)閧|Z|>zα/2}，則該檢驗(yàn)的顯著性水平α=。8.一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε通常被假設(shè)服從分布。9.若一個(gè)事件的概率為0.6，則其對(duì)立事件的概率為。10.方差分析的核心思想是檢驗(yàn)各個(gè)因素的水平變化對(duì)觀察值總體方差的影響。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.設(shè)總體X服從均勻分布U[0,θ]，其中θ未知。從該總體中抽取容量為n的樣本X?,X?,...,Xn。已知樣本觀測(cè)值為：2,3,1.5,2.5,3.5。求θ的矩估計(jì)量。12.從正態(tài)總體N(μ,42)中抽取容量為16的樣本，樣本均值為15。檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=14vsH?:μ≠14。取顯著性水平α=0.05，完成檢驗(yàn)過程（包括計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、做出結(jié)論）。13.在一項(xiàng)關(guān)于廣告投入X（單位：萬元）與銷售額Y（單位：萬元）的回歸分析中，得到如下信息：樣本容量n=25，回歸方程系數(shù)β?的估計(jì)值為2.5，樣本總平方和SST=1000，回歸平方和SSR=700。求：（1）回歸系數(shù)β?的估計(jì)值；（2）判定系數(shù)R2。四、簡(jiǎn)答題（每小題10分，共20分）14.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)中“第一類錯(cuò)誤”和“第二類錯(cuò)誤”的含義，并說明它們之間通常存在的矛盾關(guān)系。15.在方差分析中，為什么需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)？如果不滿足方差齊性，可能會(huì)產(chǎn)生什么后果？五、綜合應(yīng)用題（共30分）16.某公司經(jīng)理想了解員工的工作經(jīng)驗(yàn)（年數(shù)）X和績(jī)效評(píng)分Y之間的關(guān)系，收集了10名員工的數(shù)據(jù)。通過計(jì)算得到：Σ(Xi-X?)(Yi-?)=120,Σ(Xi-X?)2=90,Σ(Yi-?)2=180,X?=5,?=75。假設(shè)績(jī)效評(píng)分Y服從正態(tài)分布。(1)建立Y關(guān)于X的線性回歸方程；(2)計(jì)算回歸系數(shù)β?的置信水平為95%的置信區(qū)間；(3)當(dāng)某員工有8年工作經(jīng)驗(yàn)時(shí)，預(yù)測(cè)其績(jī)效評(píng)分Y，并給出預(yù)測(cè)值的一個(gè)95%置信區(qū)間。試卷答案一、選擇題1.A解析思路：點(diǎn)估計(jì)的精度通常隨著樣本量的增大而提高，因?yàn)楦蟮臉颖灸芴峁└€(wěn)定、更接近總體參數(shù)的估計(jì)值。2.A解析思路：犯第一類錯(cuò)誤（α）是指在原假設(shè)H?為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了H?，即“虛報(bào)了警報(bào)”或“處理了實(shí)際上不存在的問題”。3.A解析思路：相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，表示線性關(guān)系越強(qiáng)。r=0.8表示正相關(guān)強(qiáng)度較高。4.C解析思路：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鼍芙^H?意味著至少存在一個(gè)總體的均值與其他不同，即至少有兩個(gè)總體均值不等。5.B解析思路：風(fēng)險(xiǎn)型決策是指決策者面臨不確定狀態(tài)，但知道每種狀態(tài)發(fā)生的概率，需要根據(jù)概率和收益/損失進(jìn)行決策。二、填空題6.樣本均值解析思路：根據(jù)大數(shù)定律和樣本均值的性質(zhì)，樣本均值的期望等于總體均值μ。7.α解析思路：拒絕域{|Z|>zα/2}是基于顯著性水平α定義的，zα/2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)α/2分位點(diǎn)。8.N(0,σ2)解析思路：在一元線性回歸模型中，誤差項(xiàng)ε通常被假設(shè)獨(dú)立同分布，服從均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布。9.0.4解析思路：事件A與對(duì)立事件A'的概率之和為1，P(A')=1-P(A)=1-0.6=0.4。10.F解析思路：方差分析（ANOVA）通過比較組內(nèi)方差和組間方差，檢驗(yàn)不同因素水平下樣本方差的差異，即檢驗(yàn)因素變化對(duì)總體方差的影響。三、計(jì)算題11.θ的矩估計(jì)量為(ΣXi)/n=(2+3+1.5+2.5+3.5)/5=2.5。解析思路：均勻分布U[0,θ]的期望為θ/2。用樣本均值作為總體均值的矩估計(jì)，即E(X?)≈θ/2。故θ的矩估計(jì)量為θ?=2X?。代入樣本均值X?=(2+3+1.5+2.5+3.5)/5=2.5，得到θ?=2*2.5=5。12.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(15-14)/(4/√16)=1。拒絕域?yàn)閆>z0.025或Z<-z0.025，即Z>1.96或Z<-1.96。由于|Z|=1不在拒絕域內(nèi)，故不拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有足夠證據(jù)認(rèn)為μ≠14。解析思路：檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=14vsH?:μ≠14，使用Z檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(樣本均值-μ?)/(σ/√n)。代入數(shù)據(jù)得Z=1。根據(jù)α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閆>1.96或Z<-1.96。由于計(jì)算得到的Z值不在拒絕域內(nèi)，因此不能拒絕原假設(shè)H?。13.(1)β?的估計(jì)值為2.5；(2)R2=SSR/SST=700/1000=0.7。解析思路：(1)回歸系數(shù)β?的估計(jì)值直接由題目給出為2.5。(2)判定系數(shù)R2表示回歸平方和占總平方和的比例，衡量回歸模型的擬合優(yōu)度。計(jì)算R2=SSR/SST=700/1000=0.7。四、簡(jiǎn)答題14.第一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H?為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了H?。第二類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H?為假時(shí)，錯(cuò)誤地接受了H?。這兩類錯(cuò)誤通常存在矛盾關(guān)系：減小α（犯第一類錯(cuò)誤的概率）往往會(huì)增加β（犯第二類錯(cuò)誤的概率），反之亦然。這是因?yàn)榫芙^域的變動(dòng)會(huì)影響兩類錯(cuò)誤的概率。15.方差齊性檢驗(yàn)是為了確保方差分析的基本假設(shè)之一——各個(gè)處理組的方差相等——得到滿足。如果不滿足方差齊性，可能會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果的偏誤或錯(cuò)誤（如F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布偏離理論分布），從而使得基于方差分析做出的結(jié)論不可靠。例如，可能導(dǎo)致第一類錯(cuò)誤的概率不準(zhǔn)確。解析思路：方差齊性是ANOVA有效性的前提。檢驗(yàn)是為了保證這一點(diǎn)。若不滿足，會(huì)影響F檢驗(yàn)的功效和準(zhǔn)確性，使得結(jié)論無效。五、綜合應(yīng)用題16.(1)β?=[Σ(Xi-X?)(Yi-?)]/[Σ(Xi-X?)2]=120/90=4/3。截距項(xiàng)β?=?-β?X?=75-(4/3)*5=75-20/3=155/3?；貧w方程為Y?=(155/3)+(4/3)X。(2)SE(β?)=σ?/√[Σ(Xi-X?)2]=sqrt[MSE/Σ(Xi-X?)2]，其中MSE=(SST-SSR)/(n-2)=(180-700/25)/(10-2)=(180-28)/8=152/8=19.E[β?]=β?，故β?的95%置信區(qū)間為β?±t_(α/2,n-2)*SE(β?)。查t分布表，t_(0.025,8)≈2.306。區(qū)間=(4/3)±2.306*sqrt(19/90)=(4/3)±2.306*sqrt(19/90)≈(4/3)±2.306*0.447=(4/3)±1.031。計(jì)算得區(qū)間約為(0.309,2.741)。(3)預(yù)測(cè)值Y?|_(X=8)=(155/3)+(4/3)*8=155/3+32/3=187/3≈62.33。預(yù)測(cè)區(qū)間的公式為Y?±t_(α/2,n-2)*sqrt[MSE*(1/n+(X-X?)2/Σ(Xi-X?)2)]。代入數(shù)據(jù)：MSE=19,n=10,X=8,X?=5,Σ(Xi-X?)2=90。標(biāo)準(zhǔn)誤sqrt[19*(1/10+(8-5)2/90)]=sqrt[19*(1/10+9/90)]=sqrt[19*(1/10+1/10)]=sqrt[19*(2/10)]=sqrt(38/10)=sqrt(3.8)≈1.949。區(qū)間=187/3±2.306*1.949≈62.33±