五年（2021-2025）高考真題分類(lèi)匯編PAGEPAGE1專(zhuān)題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1導(dǎo)數(shù)的幾何意義（5年4考）考點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的幾何意義2025·北京2023·全國(guó)乙卷2022·全國(guó)甲卷2021·北京2021·全國(guó)乙卷1.含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題或者存在使成立問(wèn)題以及其他問(wèn)題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。2.導(dǎo)數(shù)綜合類(lèi)問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，隱零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)放縮問(wèn)題。未來(lái)也是高考重難點(diǎn)。3.隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題將成為高頻考點(diǎn)知識(shí)2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（5年3考）考點(diǎn)02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2025·上海2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國(guó)乙卷知識(shí)3導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（5年5考）考點(diǎn)03利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2025·全國(guó)一卷2024·全國(guó)甲卷2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國(guó)甲卷2021·天津考點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2025·天津2024·天津2023·天津2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·天津2022·浙江2022·北京2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·全國(guó)乙卷2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2025·全國(guó)二卷2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)甲卷2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·浙江2021·全國(guó)甲卷考點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合2023·上海2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)07導(dǎo)數(shù)與概率的綜合2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷考點(diǎn)08導(dǎo)數(shù)新定義2024·上?？键c(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).〖祥解〗（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問(wèn)題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類(lèi)討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意;令，則，當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．2．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)〖祥解〗（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳析】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.〖祥解〗（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.4．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)和.〖祥解〗(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解的問(wèn)題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【『點(diǎn)石成金』】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，和過(guò)曲線外一點(diǎn)所做曲線的切線問(wèn)題，注意單調(diào)性研究中對(duì)導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要注意除了已經(jīng)求出的切點(diǎn)，還可能有另外的公共點(diǎn)(交點(diǎn)),要通過(guò)聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時(shí)要注意其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根是求出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過(guò)分解因式求另一個(gè)根.三次方程時(shí)高考?jí)狠S題中的常見(jiàn)問(wèn)題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個(gè)根，然后在通過(guò)分解因式的方法求其余的根.5．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：除切點(diǎn)A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與直線垂直，，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【詳析】（1）設(shè)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）因?yàn)?，所以直線的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，而當(dāng)時(shí)，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；（3）解法一：由題意，直線，直線，所以，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由（1）可得當(dāng)時(shí)，，所以，所以.解法二：由可設(shè)，又，所以，即，因?yàn)橹本€的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當(dāng)時(shí)，，所以,所以.考點(diǎn)02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值6．（2025·上海·高考真題）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】(1)(2)且.〖祥解〗（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就分類(lèi)討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）因?yàn)?，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點(diǎn).，若，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，故舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；若，則時(shí)，，無(wú)極值點(diǎn)，舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；綜上，且.7．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.8．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)3個(gè)〖祥解〗（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類(lèi)討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點(diǎn)判斷即可得解.9．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)詳析（2）〖祥解〗（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類(lèi)討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳析】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.10．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).〖祥解〗(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由題意可得，由對(duì)稱(chēng)性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.【『點(diǎn)石成金』】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.考點(diǎn)03利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題11．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）（1）設(shè)函數(shù)，求在的最大值；（2）給定，設(shè)a為實(shí)數(shù)，證明：存在，使得；（3）設(shè)，若存在使得對(duì)恒成立，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角變換得導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時(shí)的范圍，對(duì)于時(shí)，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.【詳析】（1）法1：，因?yàn)?，故，故，?dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時(shí)又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時(shí)無(wú)解，矛盾，故無(wú)解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個(gè)與交集都為空，則對(duì)每個(gè)，必有或之一成立.此即或，但長(zhǎng)度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因?yàn)椋蕿橹芷诤瘮?shù)且周期為,故只需討論的情況.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，則，而，，故，當(dāng)，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號(hào)成立.綜上，.法2：設(shè).①一方面，若存在，使得對(duì)任意恒成立，則對(duì)這樣的，同樣有.所以對(duì)任意恒成立，這直接得到.設(shè)，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過(guò)，再結(jié)合，就得到均不超過(guò).假設(shè)，則，故.但這是不可能的，因?yàn)槿齻€(gè)角和單位圓的交點(diǎn)將單位圓三等分，這三個(gè)點(diǎn)不可能都在直線左側(cè).所以假設(shè)不成立，這意味著.②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，知存在，使得.從而滿足題目要求.綜合上述兩個(gè)方面，可知的最小值是.12．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析〖祥解〗（1）求導(dǎo)，含參分類(lèi)討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，即可.【詳析】（1）定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問(wèn)題得證13．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)〖祥解〗（1）求出后根據(jù)可求的最小值；（2）設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，可證關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱(chēng)性；（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.【詳析】（1）時(shí)，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)?，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時(shí).而當(dāng)時(shí)，而時(shí)，由上述過(guò)程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：一個(gè)函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對(duì)應(yīng)的解，而解的端點(diǎn)為函數(shù)對(duì)一個(gè)方程的根或定義域的端點(diǎn)，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時(shí)，可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.14．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類(lèi)討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)確定如何分類(lèi).15．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)〖祥解〗（1）代入后，再對(duì)求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類(lèi)討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類(lèi)討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.【詳析】（1）因?yàn)椋?，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題方法二第2小問(wèn)討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類(lèi)討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個(gè)區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.16．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)〖祥解〗（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.【詳析】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對(duì)應(yīng)當(dāng).17．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）〖祥解〗（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳析】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.考點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)證明不等式18．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)(1)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)有3個(gè)零點(diǎn)，且.（i）求a的取值范圍；（ii）證明．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析.〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)值得斜率，由點(diǎn)斜式方程可得；（2）（i）令，分離參數(shù)得，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得范圍；（ii）由（2）結(jié)合圖象，可得范圍，整體換元，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合由可得，兩式作差，利用對(duì)數(shù)平均不等式可得，再由得，結(jié)合減元處理，再構(gòu)造函數(shù)求最值，放縮法可證明不等式.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，則，且，則切點(diǎn)，且切線的斜率為，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；（2）（i）令，，得，設(shè)，則，由解得或，其中，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；如圖作出函數(shù)的圖象，要使函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則方程在內(nèi)有個(gè)根，即直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn).結(jié)合圖象可知，.故的取值范圍為；（ii）由圖象可知，，設(shè)，則，滿足，由可得，兩式作差可得，則由對(duì)數(shù)均值不等式可得，則，故要證，即證，只需證，即證，又因?yàn)?，則，所以，故只需證，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；故，即.而由，可知成立，故命題得證.19．（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，求證：．【答案】(1)(2)2(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析〖祥解〗（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）先由題設(shè)條件得到，再證明時(shí)條件滿足；（3）先確定的單調(diào)性，再對(duì)分類(lèi)討論.【詳析】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過(guò)，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，這就說(shuō)明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對(duì)任意，都有.一方面，若對(duì)任意，都有，則對(duì)有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對(duì)任意都有，滿足條件.綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時(shí)，有.對(duì)任意的，設(shè)，則.由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)，時(shí)，由可知.所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí).故在上遞減，在上遞增.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以取.從而當(dāng)時(shí)，由，可得.再根據(jù)在上遞減，即知對(duì)都有；綜合①②可知對(duì)任意，都有，即.根據(jù)和的任意性，取，，就得到.所以.情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.而根據(jù)的單調(diào)性，知或.故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵在于第3小問(wèn)中，需要結(jié)合的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論.20．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；(2)求證：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；（2）問(wèn)題化為時(shí)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對(duì)作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.【詳析】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時(shí)，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時(shí).（3）設(shè)，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞減，故；下證，令且，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，故在上恒成立，則，所以，，…，，累加得：，而，因?yàn)?，所以，則，所以，故；綜上，，即.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：第三問(wèn)，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號(hào)得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.21．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【詳析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.22．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)若曲線和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）求出可求切線方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類(lèi)討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳析】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)處理，而多變量的不等式的成立問(wèn)題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來(lái)證明目標(biāo)不等式.23．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（?。┮?jiàn)解析；（ⅱ）見(jiàn)解析.〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.【詳析】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮?yàn)檫^(guò)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，故，故方程有3個(gè)不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：且，此時(shí)，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：，因?yàn)?，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，而復(fù)雜方程的零點(diǎn)性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.24．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析〖祥解〗（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類(lèi)討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.25．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳析〖祥解〗（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類(lèi)討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳析】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類(lèi)轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類(lèi)討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見(jiàn)常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類(lèi)討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.26．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；（3）令，，即證，由第二問(wèn)結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳析】（1）解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.27．（2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.〖祥解〗(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對(duì)稱(chēng)差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳析】(1)的定義域?yàn)椋傻茫?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，其中利用的對(duì)稱(chēng)差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.考點(diǎn)05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)28．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.〖祥解〗（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：不等式的恒成立問(wèn)題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來(lái)討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.29．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點(diǎn)和零點(diǎn).（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii），證明見(jiàn)解析.〖祥解〗（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點(diǎn)；再結(jié)合和時(shí)的正負(fù)情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)計(jì)算得到，再結(jié)合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【詳析】（1）由題得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點(diǎn)，對(duì)函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因?yàn)?，時(shí)，所以時(shí)，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點(diǎn).（2）（i）由（1）知，則，，，則，，，即在上單調(diào)遞減.（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對(duì)任意，所以.30．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.31．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)的解析〖祥解〗（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握32．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類(lèi)討論,對(duì)分兩部分研究【詳析】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類(lèi)，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.33．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.〖祥解〗(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【『點(diǎn)石成金』】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．34．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；(3)證明見(jiàn)解析.〖祥解〗(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳析】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時(shí)為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時(shí)為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，由得（其中）．且．要證，只需證，即證，只需證．又，所以，即．所以只需證．而，所以，又，所以只需證．所以，原命題得證．[方法三]：若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個(gè)零點(diǎn)且．又，故進(jìn)一步有．由可得且，從而．．因?yàn)?，所以，故只需證．又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時(shí)有，故不等式成立．【整體點(diǎn)評(píng)】本題第二、三問(wèn)均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其中第三問(wèn)難度更大，涉及到三種不同的處理方法，方法一：直接分析零點(diǎn)，將要證明的不等式消元，代換為關(guān)于的函數(shù)，再利用零點(diǎn)反代法，換為關(guān)于的不等式，移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析范圍.方法二：通過(guò)分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險(xiǎn)！方法三：利用兩次零點(diǎn)反代法，將不等式化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.35．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.〖祥解〗（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，即，問(wèn)題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所以當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，屬較難試題，方法一：將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問(wèn)題取對(duì)，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問(wèn)題取對(duì)，分成與兩個(gè)函數(shù)，研究對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線問(wèn)題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.考點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合36．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析〖祥解〗（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類(lèi)討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類(lèi)方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳析】（1）的定義域?yàn)椋?，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類(lèi)根之間的關(guān)系.37．（2023·上?！じ呖颊骖}）令，取點(diǎn)過(guò)其曲線作切線交y軸于，取點(diǎn)過(guò)其作切線交y軸于，若則停止，以此類(lèi)推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)存在，〖祥解〗（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程后證明，（2）構(gòu)造函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)證明不等式，（3）由等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性與方程根的個(gè)數(shù)后求解，【詳析】（1），則在處的切線為，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)正整數(shù)時(shí)，；（2）作差得，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，所以當(dāng)正整數(shù)時(shí)，試比較；（3），令，與單調(diào)性相同，由（2）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故至多有兩解，若成等差數(shù)列，則，故最多項(xiàng)成等差數(shù)列，此時(shí)，．而，，令，，顯然時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，而，，，故有唯一解，存在使得，此時(shí)，故存在最多項(xiàng)成等差數(shù)列，考點(diǎn)07導(dǎo)數(shù)與概率的綜合38．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.〖祥解〗（1）利用公式計(jì)算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.【詳析】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)椋?，若，則，故.，因?yàn)椋?，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.考點(diǎn)08導(dǎo)數(shù)新定義39．（2024·上海·高考真題）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱(chēng)是在的“最近點(diǎn)”．(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，(3)嚴(yán)格單調(diào)遞減〖祥解〗（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對(duì)兩等式化簡(jiǎn)得，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”．（2）由題設(shè)可得，則，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)，而，故在點(diǎn)處的切線方程為.而，故，故直線與在點(diǎn)處的切線垂直．（3）設(shè)，，而，，若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，設(shè)，則既是的最小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，則存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域R上恒正，則恒成立，接下來(lái)證明，因?yàn)榧仁堑淖钚≈迭c(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，則，即，③，④③④得即，因?yàn)閯t，解得，則恒成立，因?yàn)榈娜我庑?，則嚴(yán)格單調(diào)遞減.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是結(jié)合最值點(diǎn)和極小值的定義得到，再利用最值點(diǎn)定義得到即可.專(zhuān)題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1導(dǎo)數(shù)的幾何意義（5年4考）考點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的幾何意義2025·北京2023·全國(guó)乙卷2022·全國(guó)甲卷2021·北京2021·全國(guó)乙卷1.含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題或者存在使成立問(wèn)題以及其他問(wèn)題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。2.導(dǎo)數(shù)綜合類(lèi)問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，隱零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)放縮問(wèn)題。未來(lái)也是高考重難點(diǎn)。3.隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題將成為高頻考點(diǎn)知識(shí)2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（5年3考）考點(diǎn)02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2025·上海2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國(guó)乙卷知識(shí)3導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（5年5考）考點(diǎn)03利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2025·全國(guó)一卷2024·全國(guó)甲卷2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·全國(guó)甲卷2021·天津考點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2025·天津2024·天津2023·天津2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·天津2022·浙江2022·北京2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·全國(guó)乙卷2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2025·全國(guó)二卷2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)甲卷2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·浙江2021·全國(guó)甲卷考點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合2023·上海2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)07導(dǎo)數(shù)與概率的綜合2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷考點(diǎn)08導(dǎo)數(shù)新定義2024·上?？键c(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).〖祥解〗（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問(wèn)題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類(lèi)討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意;令，則，當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．2．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)〖祥解〗（1）先由上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳析】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.〖祥解〗（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.4．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)和.〖祥解〗(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解的問(wèn)題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【『點(diǎn)石成金』】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，和過(guò)曲線外一點(diǎn)所做曲線的切線問(wèn)題，注意單調(diào)性研究中對(duì)導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要注意除了已經(jīng)求出的切點(diǎn)，還可能有另外的公共點(diǎn)(交點(diǎn)),要通過(guò)聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時(shí)要注意其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根是求出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過(guò)分解因式求另一個(gè)根.三次方程時(shí)高考?jí)狠S題中的常見(jiàn)問(wèn)題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個(gè)根，然后在通過(guò)分解因式的方法求其余的根.5．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：除切點(diǎn)A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與直線垂直，，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【詳析】（1）設(shè)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）因?yàn)?，所以直線的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，而當(dāng)時(shí)，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；（3）解法一：由題意，直線，直線，所以，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由（1）可得當(dāng)時(shí)，，所以，所以.解法二：由可設(shè)，又，所以，即，因?yàn)橹本€的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當(dāng)時(shí)，，所以,所以.考點(diǎn)02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值6．（2025·上海·高考真題）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】(1)(2)且.〖祥解〗（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就分類(lèi)討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳析】（1）因?yàn)?，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點(diǎn).，若，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，故舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；若，則時(shí)，，無(wú)極值點(diǎn)，舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；綜上，且.7．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2