高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省六中，二中，省實，廣雅，執(zhí)信六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故即，所以.故選：B.3.已知向量，，，若與共線，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】由題意向量，，，則，由于與共線，則，故選：D.4.已知雙曲線，給定的四點，，，中恰有三個點在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得，兩點一定在雙曲線上，若在雙曲線上，則，方程組無解，故不在雙曲線上，則在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線漸近線為.故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，解得，所以.故選：A.6.已知圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則母線與底面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，設(shè)母線與底面所成的角為，因為圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則，可得，，，則，因此，母線與底面所成的角為.故選：B.7.函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，A選項錯誤；B選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，B選項錯誤；C選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，C選項正確；D選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，D選項錯誤；故選：C.8.已知成等差數(shù)列，過點作直線的垂線，垂足為，則點到點的距離的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為成等差數(shù)列，所以，所以直線恒過定點，點的軌跡是以為直徑的圓，的中點坐標為，，所以點的軌跡方程為，所以點到點的最大值為.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選得0分．9.有一組數(shù)據(jù)依次構(gòu)成首項為正數(shù)，公比大于的等比數(shù)列，則（

）A.是一個遞增數(shù)列B.去掉數(shù)據(jù)，中位數(shù)不變C.中位數(shù)小于平均數(shù)D.若變?yōu)樵瓉淼谋?，公比不變，則極差變?yōu)樵瓉淼谋丁敬鸢浮緼CD【解析】對于選項A：因為依次構(gòu)成首項為正數(shù)，公比大于的等比數(shù)列，可得，即是一個遞增數(shù)列，故A正確；對于選項B：因為中位數(shù)為，若去掉數(shù)據(jù)，可知的中位數(shù)為，由等比中項定義知，所以，B選項錯誤；對于選項C：因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且，同理，，可得，故C正確；對于選項D：設(shè)公比為，由選項A可知：極差為，若變?yōu)樵瓉淼谋叮炔蛔?，新?shù)據(jù)中首項為，第項為，極差為，即極差變?yōu)樵瓉淼谋叮蔇正確；故選：ACD.10.已知的焦點為，斜率為且經(jīng)過點的直線與拋物線C交于點兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則（）A. B.F為線段的中點C. D.【答案】ABC【解析】易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，故正確;∴，故錯誤;過點作垂直準線于點，易知，∴，∴．故正確.∵，∴為線段的中點．故正確;故選：．11.三棱錐的各頂點均在半徑為2的球O表面上，，，則（）A.有且僅有2個點P滿足B.有且僅有2個點P滿足與所成角為C.的最大值為D.的最大值為【答案】AC【解析】不妨設(shè)球心為，則，可得，所以在以圓心垂直于的圓面上，設(shè)在圓內(nèi)的投影為，與圓的交點為的中點在圓內(nèi)的投影為，則為的中點，且∥，設(shè)的中心為，連接，則平面，平面，可得，又因為為正三角形，且為的中點，可得，，平面，所以平面，由平面，可得，由題意可得：，則，，即，取的中點，則，且，可得，所以平面，且平面，，所以∥平面，

對于選項：因為平面，平面，可得，設(shè)直線與圓的交點為，顯然當(dāng)位于時，滿足，當(dāng)不為時，直線與平面相交，不滿足，所以有且僅有兩個點使得，故正確；

對于選項：因為，則，即為等邊三角形，又因為∥，則當(dāng)位于時，與所成的角為，分別取關(guān)于的對稱點，則∥，可知∥，顯然當(dāng)位于時，與所成的角為，所以有四個點使得與所成的角為，故錯誤；

對于選項C：由題意可知：，則，因為，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)為射線與圓的交點時，取得最大值，所以，故C正確；

對于選項：因為，又因為，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)為點時，取得最大值，可得，所以，故不正確；

故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分．12.已知指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_________.【答案】【解析】因為指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以，則，又函數(shù)單調(diào)遞減，所以.故答案為：.13.若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是______.【答案】6【解析】由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時遞減，在時遞增，又，，所以的最小值是6，14.正方形ABCD的邊AB在直線上，C、D兩點在拋物線上，則正方形ABCD的面積為__________．【答案】18或50【解析】如圖：設(shè)，，不妨設(shè)，因為，，所以，化為①.由正方形可得，所以②，①②聯(lián)立化為.解得或或（舍）或（舍）.當(dāng)時，，所以此時正方形的面積為18.當(dāng)時，，所以此時正方形的面積為50.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知三角形，，三角形的面積.（1）求角的值；（2）若，，求值．解：（1）根據(jù)，有，即，又因為，，即，所以，所以，即，因為，所以；（2）由，有，，又因為，，則，所以或，即或；因為，，兩值都符合題意，①當(dāng)時，由正弦定理有，即，，解得；又因由可得，不合題意；②當(dāng)時，由正弦定理有，即，，解得.由可得，不合題意.綜上：的值不存在.16.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，，，.（1）求證：;（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正切值.（1）證明：由多面體的定義知，四點共面，四點共面，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，且平面平面=，所以.（2）證明：取的中點，連接，則，由（1）知，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，得到，且，在中，，又，得，所以，在中，，，，所以，所以，即，又因為四邊形是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.（3）解：連接，與相交于點，則點是的中點，取的中點，連接，，則，，由（1）知，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，由（1）知平面，又平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，故平面，又平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，故是直線與平面所成的角，在中，，所以直線與平面所成角的正切值為.17.已知橢圓．（1）若，求橢圓的離心率；（2）過橢圓上一點作斜率為的直線，若直線與雙曲線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）若，即橢圓，可得，，所以橢圓的離心率.（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，消去y可得，則，可得，與雙曲線方程聯(lián)立可得，消去y可得，假設(shè)，即，由橢圓方程可知，兩者相矛盾，假設(shè)不成立，所以；則，整理可得，則，解得，又因為，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍．18.已知兩個等比數(shù)列滿足：，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，判斷中是否存在三項成等差數(shù)列，并說明理由；（3）若滿足條件的數(shù)列有且只有一個，求實數(shù)的值.解：（1）設(shè)數(shù)列的首項，公比為，依題意得，，，，整理得（*），把代入（*）式得，解得或，當(dāng)時，，，因為是等比數(shù)列，所以公比為，，當(dāng)時，，，因為是等比數(shù)列，所以公比為，，綜上可得或；（2）把代入（*）式得，解得或（舍）假設(shè)中存在三項（其中）成等差數(shù)列，因為，，所以是遞增數(shù)列，從而，，即，等式兩邊同時除以得，因為，所以為偶數(shù)，奇數(shù)，矛盾，所以中不存在三項成等差數(shù)列；（3）因為是等比數(shù)列，所以，對于（*）式：若，即（舍去）或，此時，因此不合題意；若，即或，方程有兩個不同的實數(shù)解，又數(shù)列唯一，因此有如下兩種情形：情形一：方程一個解為，從而，，；情形二：方程兩個解均不為，但其中一解使得，此時代入方程，解得（舍去），或者，此時方程可化簡為：，解得（舍去），或者（滿足題意）；綜上所述：或.19.已知在平面直角坐標系中.（1）若圓與軸，軸及線段都相切，用表示圓的半徑；（2）若，求的最小值；（3）判斷以下兩個命題的真假并說明理由.命題1：若兩個直角三角形的面積比等于周長比的平方，則這兩個直角三角形相似；命題2：若兩個三角形的面積比等于周長比的平方，則這兩個三角形相似.解：（1）圓內(nèi)切于，所以,可得，圓旁切于，設(shè)圓心，直線，所以，左右平方化簡得出，所以，所以；（2）方法一：設(shè)的旁切圓的圓心為，由（1）可知，因為，所以恒過點，點恒在圓外或圓上，所以，即，解得或（舍），所以的最小值為10.方法二：設(shè)，因為，，可設(shè)，，因為，則，，，，，，解得或，由知，，，舍去，因此，即的最小值為10.（3）命題1正確，命題2錯誤.對于命題1涉及三角形面積與內(nèi)切圓半徑聯(lián)系起來，記的面積為，周長為，內(nèi)切圓半徑為，旁切圓半徑為，記的面積為，周長為，內(nèi)切圓半徑為，旁切圓半徑為，，，又，若即，兩圓心均在上，且直線為與的公切線，與相似（此時），設(shè)，則得：，，，代入①得：，，，，，，同時除得，，（舍）或，，，因為，的值由比值確定，但兩個對應(yīng)的三角形是相似的.對于命題2：點在橢圓上，焦點的周長，面積，點在橢圓上，焦點的周長，面積，滿足，由焦半徑公式計算得到，，，，與三邊無論如何都不能成比例，所以與不相似.廣東省六中，二中，省實，廣雅，執(zhí)信六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故即，所以.故選：B.3.已知向量，，，若與共線，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】由題意向量，，，則，由于與共線，則，故選：D.4.已知雙曲線，給定的四點，，，中恰有三個點在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得，兩點一定在雙曲線上，若在雙曲線上，則，方程組無解，故不在雙曲線上，則在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線漸近線為.故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，解得，所以.故選：A.6.已知圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則母線與底面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，設(shè)母線與底面所成的角為，因為圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則，可得，，，則，因此，母線與底面所成的角為.故選：B.7.函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，A選項錯誤；B選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，B選項錯誤；C選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，C選項正確；D選項，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，D選項錯誤；故選：C.8.已知成等差數(shù)列，過點作直線的垂線，垂足為，則點到點的距離的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為成等差數(shù)列，所以，所以直線恒過定點，點的軌跡是以為直徑的圓，的中點坐標為，，所以點的軌跡方程為，所以點到點的最大值為.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選得0分．9.有一組數(shù)據(jù)依次構(gòu)成首項為正數(shù)，公比大于的等比數(shù)列，則（

）A.是一個遞增數(shù)列B.去掉數(shù)據(jù)，中位數(shù)不變C.中位數(shù)小于平均數(shù)D.若變?yōu)樵瓉淼谋?，公比不變，則極差變?yōu)樵瓉淼谋丁敬鸢浮緼CD【解析】對于選項A：因為依次構(gòu)成首項為正數(shù)，公比大于的等比數(shù)列，可得，即是一個遞增數(shù)列，故A正確；對于選項B：因為中位數(shù)為，若去掉數(shù)據(jù)，可知的中位數(shù)為，由等比中項定義知，所以，B選項錯誤；對于選項C：因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且，同理，，可得，故C正確；對于選項D：設(shè)公比為，由選項A可知：極差為，若變?yōu)樵瓉淼谋叮炔蛔?，新?shù)據(jù)中首項為，第項為，極差為，即極差變?yōu)樵瓉淼谋?，故D正確；故選：ACD.10.已知的焦點為，斜率為且經(jīng)過點的直線與拋物線C交于點兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則（）A. B.F為線段的中點C. D.【答案】ABC【解析】易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，故正確;∴，故錯誤;過點作垂直準線于點，易知，∴，∴．故正確.∵，∴為線段的中點．故正確;故選：．11.三棱錐的各頂點均在半徑為2的球O表面上，，，則（）A.有且僅有2個點P滿足B.有且僅有2個點P滿足與所成角為C.的最大值為D.的最大值為【答案】AC【解析】不妨設(shè)球心為，則，可得，所以在以圓心垂直于的圓面上，設(shè)在圓內(nèi)的投影為，與圓的交點為的中點在圓內(nèi)的投影為，則為的中點，且∥，設(shè)的中心為，連接，則平面，平面，可得，又因為為正三角形，且為的中點，可得，，平面，所以平面，由平面，可得，由題意可得：，則，，即，取的中點，則，且，可得，所以平面，且平面，，所以∥平面，

對于選項：因為平面，平面，可得，設(shè)直線與圓的交點為，顯然當(dāng)位于時，滿足，當(dāng)不為時，直線與平面相交，不滿足，所以有且僅有兩個點使得，故正確；

對于選項：因為，則，即為等邊三角形，又因為∥，則當(dāng)位于時，與所成的角為，分別取關(guān)于的對稱點，則∥，可知∥，顯然當(dāng)位于時，與所成的角為，所以有四個點使得與所成的角為，故錯誤；

對于選項C：由題意可知：，則，因為，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)為射線與圓的交點時，取得最大值，所以，故C正確；

對于選項：因為，又因為，由圓的性質(zhì)可知：當(dāng)為點時，取得最大值，可得，所以，故不正確；

故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分．12.已知指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_________.【答案】【解析】因為指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以，則，又函數(shù)單調(diào)遞減，所以.故答案為：.13.若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是______.【答案】6【解析】由已知，，…，，，所以，，又也滿足上式，所以，，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在遞增，因此在時遞減，在時遞增，又，，所以的最小值是6，14.正方形ABCD的邊AB在直線上，C、D兩點在拋物線上，則正方形ABCD的面積為__________．【答案】18或50【解析】如圖：設(shè)，，不妨設(shè)，因為，，所以，化為①.由正方形可得，所以②，①②聯(lián)立化為.解得或或（舍）或（舍）.當(dāng)時，，所以此時正方形的面積為18.當(dāng)時，，所以此時正方形的面積為50.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知三角形，，三角形的面積.（1）求角的值；（2）若，，求值．解：（1）根據(jù)，有，即，又因為，，即，所以，所以，即，因為，所以；（2）由，有，，又因為，，則，所以或，即或；因為，，兩值都符合題意，①當(dāng)時，由正弦定理有，即，，解得；又因由可得，不合題意；②當(dāng)時，由正弦定理有，即，，解得.由可得，不合題意.綜上：的值不存在.16.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，，，.（1）求證：;（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正切值.（1）證明：由多面體的定義知，四點共面，四點共面，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，且平面平面=，所以.（2）證明：取的中點，連接，則，由（1）知，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，得到，且，在中，，又，得，所以，在中，，，，所以，所以，即，又因為四邊形是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.（3）解：連接，與相交于點，則點是的中點，取的中點，連接，，則，，由（1）知，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，由（1）知平面，又平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，故平面，又平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，故是直線與平面所成的角，在中，，所以直線與平面所成角的正切值為.17.已知橢圓．（1）若，求橢圓的離心率；（2）過橢圓上一點作斜率為的直線，若直線與雙曲線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）若，即橢圓，可得，，所以橢圓的離心率.（2）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，消去y可得，則，可得，與雙曲線方程聯(lián)立可得，消去y可得，假設(shè)，即，由橢圓方程可知，兩者相矛盾，假設(shè)不成立，所以；則，整理可得，則，解得，又因為，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍．18.已知兩個等比數(shù)列滿足：，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，判斷中是否存在三項成等差數(shù)列，并說明理由；（3）若滿足條件的數(shù)列有且只有一個，求實數(shù)的值.解：（1）設(shè)數(shù)列的首項，公比為，依題意得，，，，整理得（*），把代入（*）式得，解得或，當(dāng)時，，，因為是等比數(shù)列，所以公比為