高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校2024-2025學年高二上學期10月期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的斜率為，則直線的一個方向向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】斜率為的直線的一個方向向量為，因此直線的一個方向向量為，而ABC中向量與不共線，，所以直線的一個方向向量的坐標為.故選：D.2.拋物線C：的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線C：的焦點在軸上，其坐標為.故選：C.3.已知三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中點坐標為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B.4.已知雙曲線以兩個坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過點和，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設雙曲線：，點和在曲線上，∴，兩式相減可得，即.∴漸近線方程為：，故選：B.5.“”是“直線與垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線與垂直，則，解得或，當時，直線無意義，舍去；當時，與垂直；所以“”是“直線與垂直”的充要條件.故選：C.6.已知直線經(jīng)過點，且與圓C：相交于A，B兩點，若，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】圓C：的圓心，半徑，圓心到直線的距離為3，此直線與圓相切，因此直線的斜率存在，設直線的方程為，即，由，得圓心到直線的距離，于是，解得或，所以直線的方程為或.故選：A.7.如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當水面處于位置時，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當水面上漲0.9m后，水面的寬度為（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱頂為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，設拋物線的方程為，依題意可知，拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，所以當時，，解得，所以當水面上漲0.9m后，水面的寬度為.故選：A.8.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線上一點，若P與恰好關于C的一條漸近線對稱，且，則的面積為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】連接交雙曲線的漸近線于點，則（為原點），而分別為的中點，則，，且，由雙曲線的一條漸近線為，得，則，所以的面積為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線表示橢圓B.若曲線表示雙曲線，則C.無論取何值，曲線都不能表示圓D.無論取何值，曲線都不能表示拋物線【答案】BD【解析】A選項，若曲線表示橢圓，則，解得，所以A選項錯誤.B選項，若曲線表示雙曲線，則，解得，所以B選項正確.C選項，由上述分析可知，當時，曲線方程可化為，表示圓，所以C選項錯誤.D選項，依題意可知且，由上述分析可知：無論取何值，曲線C都不能表示拋物線，D選項正確.故選：BD.10.在平面直角坐標系中，方程所表示的曲線記為曲線C，由曲線C構成的封閉圖形記為Ω，則下列說法正確的是（）A.圖形Ω為菱形 B.圖形Ω的面積為2C.若P為曲線C上的點，則 D.曲線C與橢圓有四個公共點【答案】ACD【解析】依題意，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，對于AB，圖形Ω是邊長為的菱形，其面積為，A正確，B錯誤；對于C，觀察圖形知，為菱形的中心，，，C正確；對于D，橢圓的四個頂點分別為，是菱形的四個頂點，且菱形除頂點外，都橢圓內(nèi)，因此曲線C與橢圓有四個公共點，D正確.故選：ACD.11.已知直線經(jīng)過，兩點，P為上的動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為M，N，且Q為圓C上一點，則（）A. B.的值可以為C.的最小值為 D.直線一定過坐標原點【答案】AD【解析】圓C：可化為，其圓心，半徑，直線，即，對于A，，則，因此，A正確；對于B，點到直線的距離，則，若，即，解得，則，，矛盾，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，設點，以線段為直徑的圓，即，與圓的方程相減得直線：，此直線恒過原點，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若雙曲線的焦距為4，則實數(shù)的值為_________．【答案】【解析】由于方程表示雙曲線，所以，雙曲線的焦距為，所以.13.已知，兩點，則以線段為直徑的圓的標準方程為_________．【答案】【解析】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.14.橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．設橢圓C的兩個焦點分別為，．（1）若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C一次反射后到達，且入射光線、反射光線與x軸恰好圍成底邊為，頂角為的等腰三角形，則C的離心率為_________；（2）若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，C在點P處的切線為，在上的射影H在圓上，則C的短軸長為_________．【答案】【解析】（1）令入射光線射到橢圓上的點，依題意，，由橢圓的對稱性知，點為橢圓短軸的端點，則，所以橢圓C的離心率為；（2）由光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，得，即，延長交于點，由光的反射定律知垂直平分線段，連接，則是的中位線，于是，而點H在圓上，則，短軸長.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點A是圓C：與y軸的公共點，點B是圓C上到x軸距離最大的點．（1）求直線方程；（2）求經(jīng)過A，B兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程．解：（1）由，解得，即，顯然軸，，點軸上方，則，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，，線段的中點為，而直線的斜率為1，因此線段的中垂線方程為，即，由，解得，于是所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.16.在平面直角坐標系中，點P到點的距離比點P到直線的距離小2，記動點P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）已知A，B是W上不同的兩點，，若A，B，C三點共線，求的值．解：（1）由點P到點的距離比點P到直線的距離小2，得點P到點的距離等于點P到直線的距離，因此點P的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以點P的軌跡W的方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設其方程為，，由消去得，恒成立，，所以.17.已知直線：．（1）若直線m與平行，且m，之間的距離為，求m的方程；（2）P為上一點，點，，求取得最大值時點P的坐標．解：（1）由直線m與平行，設直線m的方程為，由m，之間的距離為，得，解得或，所以直線m的方程為或.（2）設點關于直線：的對稱點為，則，解得，即，而，當且僅當三點共線時取等號，直線的方程為，即，由，解得，點，所以取得最大值時點P的坐標.18.已知雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求的方程；（2）若上兩點，關于點對稱，求直線的方程；（3）過的右焦點作兩條互相垂直的直線和，且和分別與的右支交于點，和點，，設的斜率為，求四邊形的面積（用表示）解：（1）依題意，雙曲線：的離心率為，且經(jīng)過點，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，上兩點，關于點對稱，由，兩式相減并化簡得，所以直線的方程為.由消去得，，因此直線必與雙曲線有兩個交點，所以直線的方程為.（3）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，雙曲線的右焦點為，設直線，其中，因為均與的右支有兩個交點，所以，所以，將的方程與聯(lián)立，可得.設，則，所以，同理，所以,.19.已知拋物線的焦點與橢圓C：的一個焦點重合，且拋物線的準線被C截得的弦長為1.（1）求C的方程.（2）過點作兩條直線，分別與C交于點A，D和點B，E，其中A在D的上方，B在E的上方.①若直線過點，且傾斜角為鈍角，的面積為，證明：；②若A是的中點，且，求直線的方程.解：（1）拋物線的焦點為，準線方程為，依題意，，由消去得，則，聯(lián)立解得所以橢圓C的方程為.（2）①直線不垂直于軸，設其方程為，，由消去得，，，軸，，的面積，解得，而直線的傾斜角為鈍角，則，由解得，因此點，，則，即，所以.②由及A是的中點，得，又點均在橢圓上，則，整理得，即，設點，由，得點是的中點，則，同理得，因此點，的坐標都滿足方程，所以直線的方程為.河南省南陽市六校2024-2025學年高二上學期10月期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的斜率為，則直線的一個方向向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】斜率為的直線的一個方向向量為，因此直線的一個方向向量為，而ABC中向量與不共線，，所以直線的一個方向向量的坐標為.故選：D.2.拋物線C：的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線C：的焦點在軸上，其坐標為.故選：C.3.已知三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的中點坐標為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B.4.已知雙曲線以兩個坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過點和，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設雙曲線：，點和在曲線上，∴，兩式相減可得，即.∴漸近線方程為：，故選：B.5.“”是“直線與垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若直線與垂直，則，解得或，當時，直線無意義，舍去；當時，與垂直；所以“”是“直線與垂直”的充要條件.故選：C.6.已知直線經(jīng)過點，且與圓C：相交于A，B兩點，若，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】圓C：的圓心，半徑，圓心到直線的距離為3，此直線與圓相切，因此直線的斜率存在，設直線的方程為，即，由，得圓心到直線的距離，于是，解得或，所以直線的方程為或.故選：A.7.如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當水面處于位置時，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當水面上漲0.9m后，水面的寬度為（）A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m【答案】A【解析】以拱頂為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，設拋物線的方程為，依題意可知，拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，所以當時，，解得，所以當水面上漲0.9m后，水面的寬度為.故選：A.8.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線上一點，若P與恰好關于C的一條漸近線對稱，且，則的面積為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】連接交雙曲線的漸近線于點，則（為原點），而分別為的中點，則，，且，由雙曲線的一條漸近線為，得，則，所以的面積為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線表示橢圓B.若曲線表示雙曲線，則C.無論取何值，曲線都不能表示圓D.無論取何值，曲線都不能表示拋物線【答案】BD【解析】A選項，若曲線表示橢圓，則，解得，所以A選項錯誤.B選項，若曲線表示雙曲線，則，解得，所以B選項正確.C選項，由上述分析可知，當時，曲線方程可化為，表示圓，所以C選項錯誤.D選項，依題意可知且，由上述分析可知：無論取何值，曲線C都不能表示拋物線，D選項正確.故選：BD.10.在平面直角坐標系中，方程所表示的曲線記為曲線C，由曲線C構成的封閉圖形記為Ω，則下列說法正確的是（）A.圖形Ω為菱形 B.圖形Ω的面積為2C.若P為曲線C上的點，則 D.曲線C與橢圓有四個公共點【答案】ACD【解析】依題意，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，當時，曲線C表示直線上兩點間的線段，對于AB，圖形Ω是邊長為的菱形，其面積為，A正確，B錯誤；對于C，觀察圖形知，為菱形的中心，，，C正確；對于D，橢圓的四個頂點分別為，是菱形的四個頂點，且菱形除頂點外，都橢圓內(nèi)，因此曲線C與橢圓有四個公共點，D正確.故選：ACD.11.已知直線經(jīng)過，兩點，P為上的動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為M，N，且Q為圓C上一點，則（）A. B.的值可以為C.的最小值為 D.直線一定過坐標原點【答案】AD【解析】圓C：可化為，其圓心，半徑，直線，即，對于A，，則，因此，A正確；對于B，點到直線的距離，則，若，即，解得，則，，矛盾，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，設點，以線段為直徑的圓，即，與圓的方程相減得直線：，此直線恒過原點，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若雙曲線的焦距為4，則實數(shù)的值為_________．【答案】【解析】由于方程表示雙曲線，所以，雙曲線的焦距為，所以.13.已知，兩點，則以線段為直徑的圓的標準方程為_________．【答案】【解析】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.14.橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．設橢圓C的兩個焦點分別為，．（1）若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C一次反射后到達，且入射光線、反射光線與x軸恰好圍成底邊為，頂角為的等腰三角形，則C的離心率為_________；（2）若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，C在點P處的切線為，在上的射影H在圓上，則C的短軸長為_________．【答案】【解析】（1）令入射光線射到橢圓上的點，依題意，，由橢圓的對稱性知，點為橢圓短軸的端點，則，所以橢圓C的離心率為；（2）由光線由發(fā)出經(jīng)橢圓C兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，得，即，延長交于點，由光的反射定律知垂直平分線段，連接，則是的中位線，于是，而點H在圓上，則，短軸長.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點A是圓C：與y軸的公共點，點B是圓C上到x軸距離最大的點．（1）求直線方程；（2）求經(jīng)過A，B兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程．解：（1）由，解得，即，顯然軸，，點軸上方，則，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，，線段的中點為，而直線的斜率為1，因此線段的中垂線方程為，即，由，解得，于是所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.16.在平面直角坐標系中，點P到點的距離比點P到直線的距離小2，記動點P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）已知A，B是W上不同的兩點，，若A，B，C三點共線，求的值．解：（1）由點P到點的距離比點P到直線的距離小2，得點P到點的距離等于點P到直線的距離，因此點P的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以點P的軌跡W的方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設其方程為，，由消去得，恒成立，，所以.17.已知直線：．（1）若直線m與平行，且m，之間的距離為，求m的方程；（2）P為上一點，點，，求取得最大值