高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省牡丹江市第三子共同體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合中所有元素的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的所有元素是，故所有元素的和為.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為復(fù)數(shù)，所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D.3.下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.正四棱柱都是長方體D.直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱【答案】C【解析】對于A，底面是正多邊形且頂點在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故A錯誤；對于B，將兩個相同的棱臺的底面重合得到的多面體滿足有兩個面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺，故B錯誤；對于C，因為正四棱柱是底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是長方體，故C正確；對于D，根據(jù)圓錐的定義可知D不正確.故選：C.4.函數(shù)為冪函數(shù)，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】函數(shù)為冪函數(shù),則，則.故選：C.5.對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則其過點.故選：A.6.從某校高一新生中隨機(jī)抽取一個容量為20的身高樣本，將數(shù)據(jù)從小到大排序（單位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173，則x的值為（）.A.171 B.172 C.173 D.174【答案】B【解析】∵20×90%=18，∴樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是第18項和第19項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故，解得x=172．故選：B7.已知，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，，若，則，所以是的必要不充分條件.故選：B.8.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，下列四個命題中錯誤的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.【答案】B【解析】對于A，在中，由，得，整理得，則都是銳角，是銳角三角形，A正確；對于B：由及正弦定理得，即，則或，即或，因此是等腰三角形或直角三角形，B錯誤；對于C，由及正弦定理，得，即，而是的內(nèi)角，則，是等腰三角形，C正確；對于D，由是的內(nèi)角及正弦定理，得，D正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列判斷正確的是（）A.已知，則的最小值為B.天氣預(yù)報表明在國慶假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為0.46C.函數(shù)的定義域為D.是真命題【答案】ABC【解析】對于A,∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號,故A正確，對于B，兩地中恰有一個地方降雨的概率為，故B正確，對于C,函數(shù)的定義域滿足，解得，故定義域為，C正確，對于D，，故是假命題，故D錯誤，故選：ABC.10.下列判斷正確的是（）A.方程的根是3B.2C.已知是函數(shù)的零點，則m為3D.不等式的解集為或【答案】BC【解析】對于A，方程等價于，即根是3或-2，故錯誤；對于B，，正確；對于C，由，可得：，正確；對于D，不等式的解集為，錯誤；故選：BC.11.定義域為R的函數(shù)在上是減函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所有，即函數(shù)的對稱軸為，又因為在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，對于A，因為在上是增函數(shù)，所有，故A錯誤；對于B，因為，所有，又在上是增函數(shù)，所有，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所有，又在上是增函數(shù)，所有，故D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】，則.13.在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成角的大小為_____________【答案】【解析】在正方體中，連接，由對角面是矩形，得，由分別是的中點，得，則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，因此，所以異面直線與所成角的大小為.14.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為________________【答案】7【解析】因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）求向量，的夾角；解：（1）因為，，所以.（2）由題得因為，所以向量，的夾角.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，底面.（1）若，求四棱錐的體積（2）求證：平面（1）解：因為底面，故四棱錐的高為，而正方形的面積為，故.（2）證明：因為底面，而平面，故，由正方形可得，因平面，故平面.17.從我校高二年級的500名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.（1）求第七組的頻率；（2）估計該校的500名男生的身高的平均數(shù)；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，求出這兩名男生來自同一組的概率.解：（1）第六組的頻率為，∴第七組的頻率為.（2）由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組頻率為，身高在第五組的頻率為，身高在第八組的頻率為，則平均數(shù)為：.（3）第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，記事件“隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組”，所以事件A包含的基本事件為，，，，，，共7種情況.所以.18.已知數(shù)集含有（）個元素，定義集合．（1）若，寫出；（2）寫出一個集合，使得；解：（1）因為，，所以為中元素，故.（2）取，此時，滿足.19.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．解：（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡得，因為，所以．所以．綜上．（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）已知銳角三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，若，求的面積．解：（1），所以函數(shù)的最小正周期．（2）因為，所以．因為是銳角三角形的內(nèi)角，所以或（舍去），所以．又，所以的面積．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.解：（1）由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線MA的斜率為k，點，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.黑龍江省牡丹江市第三子共同體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合中所有元素的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的所有元素是，故所有元素的和為.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為復(fù)數(shù)，所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D.3.下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.正四棱柱都是長方體D.直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱【答案】C【解析】對于A，底面是正多邊形且頂點在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故A錯誤；對于B，將兩個相同的棱臺的底面重合得到的多面體滿足有兩個面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺，故B錯誤；對于C，因為正四棱柱是底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是長方體，故C正確；對于D，根據(jù)圓錐的定義可知D不正確.故選：C.4.函數(shù)為冪函數(shù)，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】函數(shù)為冪函數(shù),則，則.故選：C.5.對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則其過點.故選：A.6.從某校高一新生中隨機(jī)抽取一個容量為20的身高樣本，將數(shù)據(jù)從小到大排序（單位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173，則x的值為（）.A.171 B.172 C.173 D.174【答案】B【解析】∵20×90%=18，∴樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是第18項和第19項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故，解得x=172．故選：B7.已知，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，，若，則，所以是的必要不充分條件.故選：B.8.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，下列四個命題中錯誤的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.【答案】B【解析】對于A，在中，由，得，整理得，則都是銳角，是銳角三角形，A正確；對于B：由及正弦定理得，即，則或，即或，因此是等腰三角形或直角三角形，B錯誤；對于C，由及正弦定理，得，即，而是的內(nèi)角，則，是等腰三角形，C正確；對于D，由是的內(nèi)角及正弦定理，得，D正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列判斷正確的是（）A.已知，則的最小值為B.天氣預(yù)報表明在國慶假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為0.46C.函數(shù)的定義域為D.是真命題【答案】ABC【解析】對于A,∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號,故A正確，對于B，兩地中恰有一個地方降雨的概率為，故B正確，對于C,函數(shù)的定義域滿足，解得，故定義域為，C正確，對于D，，故是假命題，故D錯誤，故選：ABC.10.下列判斷正確的是（）A.方程的根是3B.2C.已知是函數(shù)的零點，則m為3D.不等式的解集為或【答案】BC【解析】對于A，方程等價于，即根是3或-2，故錯誤；對于B，，正確；對于C，由，可得：，正確；對于D，不等式的解集為，錯誤；故選：BC.11.定義域為R的函數(shù)在上是減函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所有，即函數(shù)的對稱軸為，又因為在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，對于A，因為在上是增函數(shù)，所有，故A錯誤；對于B，因為，所有，又在上是增函數(shù)，所有，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所有，又在上是增函數(shù)，所有，故D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】，則.13.在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成角的大小為_____________【答案】【解析】在正方體中，連接，由對角面是矩形，得，由分別是的中點，得，則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，因此，所以異面直線與所成角的大小為.14.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為________________【答案】7【解析】因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）求向量，的夾角；解：（1）因為，，所以.（2）由題得因為，所以向量，的夾角.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，底面.（1）若，求四棱錐的體積（2）求證：平面（1）解：因為底面，故四棱錐的高為，而正方形的面積為，故.（2）證明：因為底面，而平面，故，由正方形可得，因平面，故平面.17.從我校高二年級的500名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.（1）求第七組的頻率；（2）估計該校的500名男生的身高的平均數(shù)；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，求出這兩名男生來自同一組的概率.解：（1）第六組的頻率為，∴第七組的頻率為.（2）由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組頻率為，身高在第五組的頻率為，身高在第八組的頻率為，則平均數(shù)為：.（3）第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，記事件“隨機(jī)抽取的兩名男生在