高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，都可點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是．故選：A.2.直線：的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?故選：.3.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，則點(diǎn)A到BC的中點(diǎn)D的距離為（）A. B. C.7 D.6【答案】C【解析】由，則BC的中點(diǎn)，則．故選：C.4.若直線與直線垂直，且直線與直線?：垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知：直線與直線垂直，則，直線與直線垂直，則，即得.故選：B.5.若直線與直線交點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得：.故選：B.6.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過直線反射后與軸相交于點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可得反射光線經(jīng)過點(diǎn)，易得入射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)，因?yàn)槿肷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)，所以入射光線所在直線的方程為，即.故選：.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】C【解析】在從左往右第一個(gè)圖中，因?yàn)椋?，因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，所以面，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)榉謩e是所在棱的中點(diǎn)，所以所以，，故，即得證，在從左往右第二個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)，所以，，故，所以，在從左往右第三個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)，故，，即，所以不垂直，則3個(gè)直觀圖中滿足的有個(gè)，故C正確.故選：C.8.已知過點(diǎn)的直線l與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.12 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】由題意知直線的斜率存在．設(shè)直線的斜率為，直線的方程為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知四邊形ABCD是平行四邊形，，則（）A. B.C. D.點(diǎn)B到直線AC的距離為【答案】BCD【解析】易得，A錯(cuò)誤．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，設(shè)，得，所以，解得，則，B正確．，C正確．點(diǎn)到直線的距離為，D正確．故選：BCD.10.已知，若直線與線段相交，則m的值可能為（）A. B.4 C.10 D.【答案】BC【解析】由，得，令得則直線過定點(diǎn)．直線的斜率，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，所以或，解得或．故選：BC.11.已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點(diǎn)P滿足，其中，，，則（）A.當(dāng)P為底面的中心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，長度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，長度的最大值為6D.當(dāng)時(shí)，為定值【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，由，則故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在及內(nèi)部，而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得最大值為，故C正確；對(duì)于D，，，而，所以，則為定值，故D正確.故答案選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與直線平行，則______．【答案】【解析】由于兩條直線的系數(shù)均不為零，即兩條直線都有斜率，則，則，直線，則，由直線與直線平行，所以，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)兩直線平行不重合.13.已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.14.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為，兩點(diǎn)之間的“折線距離”．已知，，，，點(diǎn)在矩形內(nèi)（含邊界）且到點(diǎn)，的“折線距離”相等，則點(diǎn)的軌跡長度為______．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在矩形內(nèi)（含邊界），則，，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)，的“折線距離”相等，所以，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則點(diǎn)的軌跡為線段，故點(diǎn)的軌跡長度為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程．解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，則，解得，故直線的方程為．（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，此時(shí)直線的方程為．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，此時(shí)直線的方程為，即．故直線的方程為或．16.如圖，在正六棱柱中，為的中點(diǎn)．設(shè)，，.（1）用，，表示向量，；（2）若求的值．解：（1），；（2）由題意易知，則，，則．17.如圖，在幾何體中，平面，，，，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面．（2）證明：.（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，連接.在中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,，又平面，平面.所以平面.（2）證明：因平面，平面，所以，又,平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所?（3）解：因?yàn)椋灾本€與平面所成角與直線與平面所成角相等，設(shè)為.不妨設(shè)，則.設(shè)到平面的距離為.則.又.在中，，，所以,，.所以.所以.故直線與平面所成角的正弦為.18.如圖，已知四點(diǎn)均在直徑為的球B的球面上，，直線PO與平面AOC所成的角為，點(diǎn)D在線段PC上運(yùn)動(dòng)．（1）證明：（2）設(shè)平面BOC與平面KHD的夾角為，求的最大值．（1）證明：由題意可知為球的直徑，所以．又因?yàn)?，所以，，所以平面，平面，所以，，所以平面．?）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，則，所以，，則，設(shè)平面的法向量為，則，?。O(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，則取，．令，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.19.過點(diǎn)作斜率分別為，的直線，，若，則稱直線，是定積直線或定積直線．（1）已知直線：，直線：，試問是否存在點(diǎn)，使得直線，是定積直線？請(qǐng)說明理由．（2）在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在第一象限，且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）已知直線與是定積直線，設(shè)點(diǎn)到直線，的距離分別為，，求的取值范圍．解：（1）存在點(diǎn)，使得，是定積直線，理由如下：由題意可得，由，解得，故存在點(diǎn)，使得，是定積直線，且．（2）設(shè)直線斜率為，則直線的斜率為，直線的斜率為．依題意得，得，即或．直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，解得或（舍去），，，所以直線的方程為，直線的方程為，由，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）設(shè)直線，直線，其中，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，故的取值范圍為．河北省保定市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，都可點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是．故選：A.2.直線：的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?故選：.3.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，則點(diǎn)A到BC的中點(diǎn)D的距離為（）A. B. C.7 D.6【答案】C【解析】由，則BC的中點(diǎn)，則．故選：C.4.若直線與直線垂直，且直線與直線?：垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知：直線與直線垂直，則，直線與直線垂直，則，即得.故選：B.5.若直線與直線交點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得：.故選：B.6.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過直線反射后與軸相交于點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可得反射光線經(jīng)過點(diǎn)，易得入射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)，因?yàn)槿肷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)，所以入射光線所在直線的方程為，即.故選：.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】C【解析】在從左往右第一個(gè)圖中，因?yàn)?，所以，因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，所以面，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)榉謩e是所在棱的中點(diǎn)，所以所以，，故，即得證，在從左往右第二個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)，所以，，故，所以，在從左往右第三個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)，故，，即，所以不垂直，則3個(gè)直觀圖中滿足的有個(gè)，故C正確.故選：C.8.已知過點(diǎn)的直線l與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.12 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】由題意知直線的斜率存在．設(shè)直線的斜率為，直線的方程為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知四邊形ABCD是平行四邊形，，則（）A. B.C. D.點(diǎn)B到直線AC的距離為【答案】BCD【解析】易得，A錯(cuò)誤．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，設(shè)，得，所以，解得，則，B正確．，C正確．點(diǎn)到直線的距離為，D正確．故選：BCD.10.已知，若直線與線段相交，則m的值可能為（）A. B.4 C.10 D.【答案】BC【解析】由，得，令得則直線過定點(diǎn)．直線的斜率，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，所以或，解得或．故選：BC.11.已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點(diǎn)P滿足，其中，，，則（）A.當(dāng)P為底面的中心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，長度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，長度的最大值為6D.當(dāng)時(shí)，為定值【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，由，則故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在及內(nèi)部，而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得最大值為，故C正確；對(duì)于D，，，而，所以，則為定值，故D正確.故答案選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與直線平行，則______．【答案】【解析】由于兩條直線的系數(shù)均不為零，即兩條直線都有斜率，則，則，直線，則，由直線與直線平行，所以，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)兩直線平行不重合.13.已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.14.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為，兩點(diǎn)之間的“折線距離”．已知，，，，點(diǎn)在矩形內(nèi)（含邊界）且到點(diǎn)，的“折線距離”相等，則點(diǎn)的軌跡長度為______．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在矩形內(nèi)（含邊界），則，，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)，的“折線距離”相等，所以，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則點(diǎn)的軌跡為線段，故點(diǎn)的軌跡長度為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程．解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，則，解得，故直線的方程為．（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，此時(shí)直線的方程為．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，此時(shí)直線的方程為，即．故直線的方程為或．16.如圖，在正六棱柱中，為的中點(diǎn)．設(shè)，，.（1）用，，表示向量，；（2）若求的值．解：（1），；（2）由題意易知，則，，則．17.如圖，在幾何體中，平面，，，，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面．（2）證明：.（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，連接.在中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,，又平面，平面.所以平面.（2）證明：因平面，平面，所以，又,平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，所?（3）解：因?yàn)?，所以直線與平面所成角與直線與平面所成角相等，設(shè)為.不妨設(shè)，則.設(shè)到平面的距離為.則.又.在中，，，所以,，.所以.所以.故直線與平面所成角的正弦為.